训练题 24-“枫叶新希望杯”九年级数学竞赛训练题

!"#$% ９３　 九年级训练题(二十四) 一、选择题 １．在平面直角坐标系中,将点(－８,０)绕原点按顺时针方向旋转９０°后,坐标变为(　　)． A．(－８,０) B．(０,－８) C．(８,０) D．(０,８) (第２题图) ２．如图,线段AB∥CD∥EF,AD、BC 相交于点O,点E、F 分 别在线段OC、OD 上,则图中与 △AOB 位似的三角形是 (　　)． A．△AOB B．△COD C．△EOF D．△EOF 与△COD ３．在一个不透明的盒子中有若干个白色和黄色的乒乓球,它们除了颜色不同之外,其余都相 同,从中随意摸出一个球,它是黄球的概率是３ ５ ,如果已知其中白球有４个,那么黄球的个 数为(　　)． A．５个　 B．６个 C．８个 D．１０个 ４．已知关于x的方程x２＋４x＋k＋１＝０有实数根,则关于x的方程kx２＋４x＋１＝０的根的 情况,下列说法正确的是(　　)． A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根 C．有一个实数根或两个不相等的实数根 D．没有实数根 ５．在同一平面直角坐标系中,一条平行于x轴的直线分别与反比例函数y＝６x 和y＝８x 的图 象相交于点A、B,则△AOB 的面积为(　　)． A．１ B．２ C．３ D．４ (第７题图) ６．已知抛物线过点A(１,２)、B(３,２)、C(５,７)、D(－２,y１)、E(－１,y２)、F(８,y３),则下列结论 中正确的是(　　)． A．y１＜y２＜y３ B．y２＜y１＜y３ C．y３＜y１＜y２　 D．y３＜y２＜y１ ７．如图,☉A 与x 轴负半轴相切于点B,交y轴于点C(０,２)、D(０,８), 则点A 的坐标为(　　)． A．(－３,５) B．(－３,４) C．(－４,５) D．(－５,３) NEWHOPECUP ９４　 ８．在△ABC中,３AB＝２BC,∠A＝６０°,则cosB＝(　　)． A．３± ６２ B． ３－ ６ ２ C．３± ６６ D． ３－ ６ ６ 二、填空题 ９．一个正方形的内切圆的半径为r,外接圆的半径为R,则r与R 的关系是 ． １０．翻开一本书前１００页中的任意一页,页码能被５整除的概率为 ． １１．将直线y＝６x绕坐标原点按顺时针方向旋转９０°后得到的直线解析式为 ． １２．已知方程x２－x－１＝０的一个根是a,则代数式a３－２a＋７＝ ． １３．在△ABC中,DE、FG、MN 分别是三个内接正方形的边,若 DE＝９、FG＝６,则 MN＝ ． (第１３题图) 　　 　　　　　　 (第１４题图) １４．如图,已知反比例函数y＝kx (k＞０,x＞０)上的两点A、B 到y 轴的距离之比为１∶２,连 接AB 并延长交x 轴于点C,如果S△AOC＝１２,那么k的值为 ． １５．一个等腰梯形的两条对角线所夹的锐角为６０°,如果上底与下底的和为８cm,那么这个等 腰梯形的面积为 cm２．(结果保留根号) １６．已知在平面直角坐标系中有两点A(１,０)、B(２,０),抛物线y＝x２＋(k－３)x＋３与线段 AB 有且只有一个交点,则k的取值范围是 ． 三、解答题 １７．已知关于x的方程２x２－mx＋１＝０有一个解满足方程２x＋１＝４(１－x),求方程２x２－ mx＋１＝０的另一个解． !"#$% ９５　 １８．某商店有一批进价为２元的练习本,此练习本的日销售单价x(元/个)与日销售量y(个) 之间有如下关系: 设销售此种练习本的利润为w 元,试求w 与x 之间的函数关系式;如果物价局规定这种 练习本的售价最高不能超过１０元/个,那么日销售单价x定为多少时,才能获得最大的 日销售利润? １９．如图,已知在△ABC中,∠ABC＝９０°,将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转一定的角度 得到△ADE,连接CE、BD,BD 与AC 相交于点F,BD 的延长线与CE 相交于点G． (１)求证:∠ABD＝∠ACE; (２)探究当∠BAD 与∠ACB 满足什么关系时,△ABF≌△GCF． ２０．如图,△ABC的顶点坐标分别为点A(－４,０)、B(２,０)、C(０,４),四边形DEFG 为△ABC 的内接矩形,其中点D、E 在AB 上,点F、G 分别在BC、AC上． (１)求经过点A、B、C的抛物线的函数解析式; (２)设点D 的横坐标为d,矩形DEFG 的面积为S,求出S关于d 的函数关系式,并写出 d的取值范围; (３)当矩形DEFG 的面积S 取最大值时,连接EG 并延长交抛物线于点M,求MGEG 的值． !"#$ 九年级训练题(二十四) 一、选择题 １．D　提示:旋转后的点落在y轴正半轴． ２．D ３．B　提示:设黄球有x个,则 xx＋４＝ ３ ５ ,解得x＝ ６,经检验,x＝６符合题意． ４．C　提示:∵关于x的方程x２＋４x＋k＋１＝０有 实数根,∴Δ＝４２－４×(k＋１)≥０,解得k≤３, ∴４２－４k≥４＞０,∴关于x的方程kx２＋４x＋１ ＝０可能有两个不相等的实数根,但当k＝０时, 方程kx２＋４x＋１＝０仍成立,且只有一个实数 根． ５．A　提示:８２ － ６ ２ ＝１． ６．B　提示:由抛物线过点A(１,２)、B(３,２)、C(５, ７)知,对称轴为x＝２,且开口向上． ７．C　提示:过点 A 作AE⊥CD,垂足为点 E,则 CE＝３,∴半径r＝OE＝５,∴AE＝４,∴点A 的 坐标为(－４,５)． ８．D　提示:过点C作CD⊥AB于点D,设AB＝２k ＞０,BC＝３k,BD＝x＞０,则AD＝２k－x＞０,CD ＝ ３(２k－x),由 BD２ ＋CD２ ＝BC２,得 x２ ＋ ３(２k－x)２＝９k２,解得x＝３± ６２ k ,∵AD＝２k－ x＞０,∴x＜２k,∴x＝３＋ ６２ k 舍去,所以x＝ ３－ ６ ２ k ,∴cosB＝BDBC＝ ３－ ６ ２ k ３k ＝ ３－ ６ ６ ． 二、填空题 ９．R＝ ２r　提示:r为正方形边长的一半,R 为正 方形对角线的一半． １０．１５　 提示:１００以内的整数中,能被５整除的数 有２０个,２０１００＝ １ ５． １１．y＝－１６x　 提示:直线y＝６x过点(１,６),旋转 后,点(１,６)到达点(６,－１)的位置． １２．８　提示:∵a２－a－１＝０,∴a２＝a＋１, ∴a３－２a＋７＝a􀅰a２－２a＋７＝a􀅰(a＋１)－２a ＋７＝a２－a＋７＝１＋７＝８． １３．４　提示:易得△MNG∽△FGE, ∴MNFG ＝ MG EF ,∴MN６ ＝ ６－MN ９－６ ,解得 MN＝４． １４．８　提示:设点A a,ka( ) ,则点B ２a, k ２a( ) ,求得 直线AB的函数解析式为y＝－ k２a２x＋ ３k ２a , NEWHOPECUP 当y＝０时,x＝３a,∴点C的横坐标为３a, ∴S△AOC＝１２ 􀅰３a􀅰ka ＝１２ ,解得k＝８． １５．１６ ３３ 或１６ ３　提示:两条对角线所夹的锐角 为６０°有两种情况,６０°的角可能是底边所对的 角,也可能是腰所对的角． １６．k＝３－２ ３,或－１≤k≤－１２　 提示: １＜－k－３２ ＜２ , Δ＝(k－３)２－４×３＝０{ 或 １＋k－３＋３≤０, ４＋２(k－３)＋３≥０{ 或 １＋k－３＋３≥０, ４＋２(k－３)＋３≤０．{ 三、解答题 １７．解:解方程２x＋１＝４(１－x)得x＝１２ , ∴２× １２( ) ２ －１２m＋１＝０ ,解得m＝３, ∴２x２－３x＋１＝０,即(x－１)(２x－１)＝０, ∴x＝１或x＝１２． 故方程２x２－mx＋１＝０的另一个解为x＝１． １８．解:设y＝kx ,则２０＝k３ ,解得k＝６０, ∴y＝６０x． 把x、y的实数对(４,１５)、(５,１２)、(６,１０)代入函 数关系式y＝６０x 都能满足, ∴x、y的函数关系式为y＝６０x (x＞０)． w＝(x－２)y＝(x－２)􀅰６０x＝６０－ １２０ x , ∴当x＝１０时,w 有最大值, 最大值为６０－１２＝４８(元)． 答:w 与x 之间的函数关系式为w＝６０－１２０x , 日销售单价x为１０元/个时,才能获得最大的 日销售利润４８元． １９．证明(１)∵AB＝AD,AC＝AE, ∴∠ABD＝１２ (１８０°－∠BAD), ∠ACE＝１２ (１８０°－∠CAE), ∵∠BAC＝∠DAE, ∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD, 即∠BAD＝∠CAE,∴∠ABD＝∠ACE． (２)当∠BAD＝２∠ACB 时,△ABF≌△GCF． 证明如下: ∵∠ABD＝ １２ (１８０°－ ∠BAD)＝ １２ (１８０°－ ２∠ACB)＝９０°－ ∠ACB,而 ∠ABD＝９０°－ ∠CBF,∴∠ACB＝∠CBF, ∴CF＝BF,又 ∠CFG＝ ∠BFA,且 由 (１)知 ∠ABD＝∠ACE,即∠ABF＝∠FCG, ∴△GCF≌△ABF． ２０．解:(１)由抛物线过点A(－４,０)、B(２,０)可设抛 物线的解析式 为y＝a(x－２)(x＋４),将 点 C(０,４)代入,得 ４＝a(０－２)(０＋４),解得a＝－１２． 即y＝－１２ (x－２)(x＋４)． (２)由题意,d＜０,ADAO＝ DG OC ,即４＋d ４ ＝ DG ４ , ∴DG＝４＋d; 又△CGF∽△CAB,∴高之比等于对应边之比, 即OC－DG OC ＝ GF AB ,∴４－ (４＋d) ４ ＝ GF ２＋４ , ∴GF＝－３２d , ∴S＝－３２d (４＋d)＝－ ３２d ２－６d(－４＜d＜ ０)． (３)S＝－３２d ２－６d＝－３２ (d＋２)２＋６, ∴当d＝－２时,矩形的面积最大, 此时点G(－２,２),点E(１,０), 设直 线 EG 的 解 析 式 为 y ＝kx ＋b,则 ２＝－２k＋b, ０＝k＋b．{ 解得 k＝－２３ , b＝２３． ì î í ï ï ïï ∴y＝－２３x＋ ２ ３ , 令－２３x＋ ２ ３＝－ １ ２ (x－２)(x＋４), 解得x＝－１± ６１３ ,其中x＝－１＋ ６１３ 舍去, ∴x＝－１－ ６１３ , !"#$ ∴点 M 的横坐标为－１－ ６１３ ． 过点 M 作x 轴的垂线,垂足为点 H, 则点 H 的坐标为 －１－ ６１ ３ ,０ æ è ç ö ø ÷ , ∴MGEG＝ HD DE＝ －２－－１－ ６１３ １－(－２) ＝ －５＋ ６１ ９ ．