训练题 22-“枫叶新希望杯”九年级数学竞赛训练题

!"#$% ８５　 九年级训练题(二十二) 一、选择题 １．在相同的光源照射下,两个不同物体的影子可能是(　　)． A．相同的方向 B．不同的方向 C．相反的方向 D．以上都有可能 ２．如图,在△ABC中,AD 为中线,将△ACD 旋转１８０°后得到△EBD,若AB＝５,AD＝７,则 AC的取值范围是(　　)． A．１＜AC＜２９ B．４＜AC＜２４ C．５＜AC＜１９　 D．９＜AC＜１９ ３．若方程x２－６x＋a＝０可配方成(x－b)２＝７的形式,则方程x２－６x＋a＝２可配方成 (　　)． A．(x－b)２＝５ B．(x－b＋２)２＝５ C．(x－b)２＝９　 D．(x－b＋２)２＝９ ４．某同学要用焦老师的电脑查资料,但是打开电脑需要输入密码,焦老师告诉这名同学:“我 的生日是１９８２年０８月２６日,电脑的密码就是这串数字中连续的６位.”那么这名同学输 入密码３次能正确输入的最大概率是(　　)． A．０ B．１ C．１３ D． ３ ４ ５．已知二次函数y＝ax２＋bx＋c(a＞０)的顶点坐标为(２,３),则二次函数y＝ax２＋bx＋c－３ 的图象与x轴的交点个数为(　　)． A．０个 B．１个 C．２个 D．无法确定 (第７题图) ６．方程组 x＋６ ＋y＝４, x＋ y＋８ ＝０{ 的解的个数有(　　)． A．４个 B．３个 C．２个 D．１个 ７．如图,☉O以△ABC的边AB为直径,交AC于点D,交CB的延 长线于点E,若AB＝１２cm,cosC＝２３ ,则DE的长度为(　　)． A．４cm B．６cm C．８cm D．１０cm NEWHOPECUP ８６　 (第８题图) ８．如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC 为菱形,且在第一象 限,点D 为对角线AC、OB 的交点,曲线y＝kx 与BC 的延长线 相交于点E,若点A(１０,０),OB􀅰AC＝１６０,则以下结论不正确 的是(　　)． A．曲线的解析式为y＝２０x (x＞０) B．点E 的坐标是E(４,８) C．sin∠COA＝４５ D．AC＋OB＝１２５ 二、填空题 ９．在平面直角坐标系中,点(a,２)与点(３,－２)关于原点对称,则a＝ ． １０．若关于x的方程x２－２(k－１)x＋９＝０的等号左边是完全平方式,则k的值为 ． １１．一个圆锥体的高和底面直径都是１０cm,则表面积为 cm２(结果保留π和根号)． １２．如图,已知反比例函数y＝k－２x 的图象经过面积为８的矩形ABOC 的顶点A,则k的值 为 ． (第１２题图) 　　　　 (第１３题图) 　　　　 (第１４题图) １３．如图,在直角△ABC 中,直角边AC＝６,BC＝８,现要在BC 上找一点D,使得将△ACD 沿AD 翻折后,点C落在斜边AB 上,则CD＝ ． １４．如图,在等腰直角△ABC 中,斜边BC＝１,以BC 边上的高AD 为腰作第二个等腰直角 △ADE,再以△ADE 的斜边DE 上的高AF 为腰作第三个等腰直角△AFG􀆺􀆺以此类 推,这样作出的第n个等腰直角三角形的腰长为 ． １５．已知点A(m,n)的坐标满足:m 为不大于３的正整数,n为小于５的正整数,则当直线y＝ －x＋b(２≤b≤７,b为整数)经过点A 的概率最大时,b＝ ． １６．如果抛物线y＝x２＋mx＋n与x 轴交于点A(a,０)、B(b,０),且OA＋OB≤１,记n的最大 值为nmax,n的最小值为nmin,那么 nmax ＋ nmin ＝ ． !"#$% ８７　 三、解答题 １７．已知关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ２x２ ＋mx＋n＝０ 有 两 个 相 等 的 实 数 根,求 代 数 式 m２n (n－４)２＋ m＋４( ) m－４( ) 的值． １８．如图,已知四边形ABCD 为平行四边形,连接BD,过点A 的直线交BD 于点E,交BC 于点F,交DC的延长线于点G．求证:AE２＝EF􀅰EG． NEWHOPECUP ８８　 １９．已知反比例函数y＝kx 的图象与正比例函数y＝１２x 的图象相交于点A、B,与另一个正 比例函数的图象相交于点C、D,其中点A、C 在第一象限,且点A 的横坐标为４．若四边 形ACBD 的面积为２４,求点C的坐标． ２０．如图,抛物线y＝x２＋bx＋c(c≠０)的图象与x轴交于点A、B(点A 在点B 左侧),与y轴 交于点C,点D(－２,m)(m＜０)在抛物线上,且AB∥CD,OC∶CD＝３∶２． (１)求m 的值; (２)求抛物线的函数解析式; (３)在线段AC上是否存在点P,使得△AOP 为等腰三角形? 若存在,求出点P 的坐标; 若不存在,请说明理由． NEWHOPECUP 九年级训练题(二十二) 一、选择题 １．D ２．D　提示:AE＝１４,∴９＜BE＜１９, ∴９＜AC＜１９． ３．C　提示:∵x２－６x＋a＝０可化为(x－b)２＝７, ∴x２－６x＋a＝(x－b)２－７,∴x２－６x＋a＝２可 化为(x－b)２－７＝２,即(x－b)２＝９． ４．B　 提示:只有 三 种 情 况 １９８２０８ 或 ９８２０８２ 或 ８２０８２６． ５．B　提示:将二次函数y＝ax２＋bx＋c(a＞０)的 图象向下平移３个单位长度后得到y＝ax２＋bx ＋c－３的图象． ６．D　提示:当x＋６≥０时, x＋６＋y＝４, x＋ y＋８ ＝０．{ ∴ y＋８ ＝y＋２,若y＋８≥０,则y＋８＝y＋２, 无解;若y＋８＜０,则－y－８＝y＋２,得y＋８＝３, 不符,舍去;当x＋６＜０时, －x－６＋y＝４, x＋ y＋８ ＝０．{ ∴ y＋８ ＋y＝１０,若y＋８＜０,则－y－８＋y＝ １０,无解;若y＋８≥０,则y＋８＋y＝１０, 解得y＝１,符合,进而得x＝－９, ∴原方程组的解为 x＝－９, y＝１．{ ７．C　提示:连接 BD,则 BD⊥AC,cosC＝CDBC ＝ ２ ３ ,又 △ABC∽ △EDC,∴ABED ＝ BC DC ,∴DE＝ ２ ３AB＝８cm． ８．A　提示:如图,过点C作CF⊥x轴于点F, ∵OB􀅰AC＝１６０,点 A(１０,０),∴OA􀅰CF＝ １ ２OB 􀅰AC＝８０,菱形边长为１０,∴CF＝８０OA＝ ８,∴OF＝６,∴ 点 C(６,８),∴ 点 D 的 坐 标 为 １０＋６ ２ ,８ ２( ) ,即(８,４),∴k＝４×８＝３２,∴y＝ ３２ x (x＞０),A错误．易得B、C、D都正确． 二、填空题 ９．－３　提示:两点关于原点对称相当于将其中一 个绕原点旋转１８０°,两点相应坐标互为相反数． １０．－２或４　提示:k－１＝± ９,解得k＝－２或 ４． １１．(２５ ５＋２５)π　提示:π×５２＋１２×π×１０×５ ５ ＝２５π＋２５ ５π． １２．－６　提示:由矩形面积为８知 k－２ ＝８, ∵图象在第二象限,∴k－２＝－８,∴k＝－６． １３．３　提示:由AC＝６,BC＝８得AB＝１０, ∴根据相似有８－x１０ ＝ x ６ ,解得x＝３． １４． ２ ２ æ è ç ö ø ÷ n 　提示: １ ２ æ è ç ö ø ÷ n ＝ ２ ２ æ è ç ö ø ÷ n ． １５．４或５　提示:m＝１、２、３,n＝１、２、３、４, ∴点A 有１２种情况,对应的b也有１２种情况: ２、３、３、４、４、４、５、５、５、６、６、７,其中b＝４或５的 概率最大,为３ １２ ,即１ ４． １６．１２　 提示:a＋b＝－m,ab＝n,∵OA＋OB≤１, ∴ a ＋ b ≤１,∴ a＋b ≤ a ＋ b ≤１, a－b ≤ a ＋ b ≤１, n＝ab＝ (a＋b)２－(a－b)２ ４ ≥ (a＋b)２－１ ４ ≥ －１４ ,即nmin＝－１４ ;由 Δ＝m２－４n≥０,得n≤ m２ ４ ＝ (a＋b)２ ４ ≤ １ ４ ,即 nmax ＝ １４ , nmax ＋ nmin ＝１４＋ １ ４＝ １ ２． 三、解答题 １７．解:由题意,Δ＝m２－４×２n＝０,∴m２＝８n, ∴ 原 式 ＝ m ２n n２－８n＋１６＋m２－１６＝ ８n２ n２－８n＋８n ＝８n ２ n２ ＝８． １８．证明:∵AB∥CD,AD∥BC, !"#$ ∴△ABE∽△GDE,△ADE∽△FBE, ∴AEEG＝ BE DE ,AE EF＝ DE BE ,∴AEEG＝ EF AE , ∴AE２＝EF􀅰EG． １９．解:∵xA＝４,∴yA ＝ １２ ×４＝２ ,即点A(４,２), ∴k＝４×２＝８,∴反比例函数的解析式为y＝ ８ x． 根据对称性,OA＝OB,OC＝OD, ∴四边形ACBD 是平行四边形, ∴S△AOC＝１４S▱ACBD ＝ １ ４×２４＝６． 设点C m,８m( ) ,分别过点A、C作x 轴的垂线, 垂足分别为点E、F,∵点A、C 在反比例函数y ＝kx 的图象上,∴S△AOE ＝S△COF ＝１２k＝４． 当０ ＜m＜４时,如图１,则S△AOE ＋S△AOC ＝S△COF ＋ S梯形ACFE , ∴S梯形ACFE ＝S△AOC＝６,即 １２× (２＋ ８m )×(４－ m)＝６,解得m＝－８(舍)或 m＝２,∴点C(２, ４)． 图１ 当m＞４时,如图２,则S△AOE ＋S梯形ACFE ＝S△COF ＋S△AOC,∴S梯形ACFE ＝S△AOC＝６, 即１ ２× ８ m＋２( ) ×(m－４)＝６, 解得m＝－２(舍)或m＝８,∴点C(８,１)． 图２ 综上,点C的坐标为C(２,４)或C(８,１)． ２０．解:(１)由点D(－２,m)(m＜０),AB∥CD 得CD ＝２,∵OC∶CD＝３∶２,∴OC＝３, ∴点D(－２,－３),∴m＝－３． (２)∵点C(０,－３),点D(－２,－３),∴c＝－３, －３＝(－２)２－２b－３,b＝２,∴y＝x２＋２x－３． (３)存在．当y＝x２＋２x－３＝０时,解得x＝１或 x＝－３,∵点A 在点B 左侧,∴点A(－３,０)． 设直线AC的解析式为y＝kx＋h, 则 ０＝－３k＋h, －３＝k×０＋h．{ 解得 k＝－１, h＝－３．{ ∴y＝－x－３． 若△AOP 为等腰三角形,则 ①当PA＝PO时,点P 的横坐标为－３２ , ∴纵坐标为y＝－ －３２( ) －３＝－ ３ ２ , ∴点P１ －３２ ,－３２( ) ; ②当PO＝AO时,点P 与点C 重合, ∴点P２(０,－３); ③当 PA＝OA 时,设 点 P３ (x,－x－３),则 (x＋３)２ ＋ (－x－３)２ ＝３２,解 得 x＝ －３± ３ ２ ２ ,其中x＝－３－ ３２ ２＜－３ ,舍去,∴x＝ －３＋３２ ２ ,∴点P３ －３＋３２ ２ ,－３２ ２( ) ． 综上,存 在 点 P１ －３２ ,－３２( ) 、P２ (０,－３)、 P３ －３＋３２ ２ ,－３２ ２( ) 使得△AOP 为等腰三 角形．