训练题 21-“枫叶新希望杯”九年级数学竞赛训练题

%$#" ８１　 九年级训练题(二十一) 一、选择题 １．已知点A(－８,８)与点B 关于x 轴对称,点B 与点C 关于原点对称,则点C 的坐标为 (　　)． A．(８,８) B．(－８,８) C．(８,－８) D．(－８,－８) ２．用配方法解下列方程时,变形不正确的是(　　)． A．x２＋２x－１＝０化为(x＋１)２＝２ B．２x２－７x－４＝０化为 x－７４ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝８１１６ (第３题图) C．x２－２x－８＝０化为(x－１)２＝９ D．３x２－４x－２＝０化为 x－２３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１ ３．如图,在△ABC中,点D、E、F、G、H 分别为AB、BC、AC、DE、 EF 的中点,则△EGH 与△ABC的面积之比为(　 )． A．１∶４ B．１∶８ C．１∶１６ D．１∶３２ ４．在一个直角三角形中,两直角边的长度分别为６cm 和８cm,则它的外心到直角顶点的距离 为(　　)． A．１０cm B．５cm C．２７cm D．７cm ５．下列各问题中的两个变量成反比例关系的是(　　)． A．圆的面积S(cm２)与其周长C(cm)的关系 B．王同学完成８００m 赛跑时,所用时间t(s)与他的平均速度v(m/s)的关系 C．一根弹簧原长１０cm,在其弹性范围内所挂物体的质量m(kg)与弹簧拉伸的长度x(cm) 的关系 D．一个容器的容积是８０cm３,该容器盛满溶液时溶液的质量m(g)与其密度ρ(g/cm３)的 关系 米的C地去,她先沿北偏东７０°方向到达B 地,然后再沿北偏西２０°方向走了５００米到达 ６．在一次“创新希望”数学夏令营活动中,某同学从营地点A 出发,到与点A 的距离为１０００ 目 的地C,此时这名同学在营地点A 的(　　)． A．北偏东６０°方向上 B．北偏东３０°方向上 (第７题图) C．北偏西３０°方向上 D．北偏东４０°方向上 ７．已知抛物线y＝ax２＋bx＋c的图象如图所示,则代数式 ２a－b － ２a＋b ＋ ４a－２b＋c ＋ a＋b＋c 的值(　　)． A．大于０　　 B．等于０ C．小于０ D．无法确定符号 NEWHOPECUP ８２　 ８．从同一副扑克牌中挑出５张红桃、６张黑桃、７张方块,将这１８张扑克牌洗匀后背面朝上, 再从中抽出１５张牌,抽出的这１５张牌中恰好有４张红桃的概率是(　　)． A．１５ B． ２ ５ C． １ １０ D． ３ １０ 二、填空题 ９．经过２０分钟,钟表上的分针旋转了 度． １０．一个圆锥的轴截面是斜边长为８cm 的等腰直角三角形,则这个圆锥的侧面积为 cm２(结果保留π)． １１．如图,正比例函数y＝kx(k≠０)与反比例函数y＝４x 的图象相交于点A、B,过点A 作AC ⊥y轴于点C,连接BC,则△BOC的面积为 ． (第１１题图) 　　　　　　　 (第１２题图) １２．如图,在△ABC中,点D 为BC 的中点,连接AD,∠ADC＝４５°,将△ACD 沿AD 对折后 得到△AED,连接BE,则BEBC＝ ． １３．已知一元二次方程x２＋ax＋２b＝０和x２＋２bx＋a＝０(a＞０,b＞０)都有实数解,则a＋b 的最小值为 ． １４．骰子六个面的点数分别为１、２、３、４、５、６,投掷一枚质地均匀的骰子,记第一次投掷时朝上 的面上的点数为a,第二次投掷时朝上的面上的点数为b,则直线y＝２x＋１经过点(a,b) 的概率为 ． １５．已知二次函数y＝ax２＋bx＋c的图象与x 轴交于点A、B,与y轴交于点C,且△ABC 为 直角三角形,则ac的值为 ． １６．如图,在☉O 中,AB 是直径,AC 是切线,点C、O 的连线交☉O 于点D,CO 的延长线交 ☉O 于点E,BD 的延长线交AC 于点F,若ACAB＝ ２ ,则tan∠CDF 的值为 ． !"#$% ８３　 三、解答题 １７．解关于x的方程(a２－１)x＋ax２＝a２(x２－x＋１)＋a． １８．如图,在平面直角坐标系中,点A 在y 轴上,点B 在x 轴上,图中每一个小正方形方格的 边长都为１． (１)在图中画出线段AB 关于y 轴的对称线段AC; (２)在(１)的条件下,将线段AC 绕点C 旋转一定的角度得到对应线段CD,使得AD∥x 轴,画出满足条件的线段CD; (３)在(２)的条件下,若有一条直线y＝kx将四边形ABCD 的面积平分为相等的两部分, 请直接写出满足条件的实数k,并在图中画出这条直线． NEWHOPECUP ８４　 １９．如图,直线y１＝４x与双曲线y＝mx 相交于A、B 两点,直线y２＝kx－４k过点A,交x轴于 点C,已知S△OAC＝８． (１)求双曲线的解析式． (２)点P 为双曲线第三象限图象上的一个动点,连接PA、PB、PO,PA 交y 轴于点D．若 S△OPB＝７S△OAD,求点P 的坐标． ２０．如图,抛物线y＝x２＋bx＋c的顶点M 在矩形ABCD 的边CD 上,且过矩形ABCD 的顶 点A、B,已知AB＝２AD． (１)求矩形ABCD 的面积; (２)若将抛物线“y＝x２＋bx＋c”改为抛物线“y＝ax２＋bx＋c”,其他条件不变,求矩形 ABCD 的面积(用a、b、c表示,并直接写出答案)． (３)若将抛物线“y＝x２＋bx＋c”改为“y＝ax２＋bx＋c”,条件“AB＝２AD”不要,其他条件 不变,当矩形ABCD 的面积为常数时,矩形ABCD 的长和宽分别为多少? 说明理由． NEWHOPECUP 九年级训练题(二十一) 一、选择题 １．A　提示:点B(－８,－８),∴点B(８,８)． ２．D　提示:３x２－４x－２＝０化为 x－２３( ) ２ ＝１０９． ３．C　提示:S△EGH ＝ １４S△DEF ＝ １ ４ × １ ４S△ABC ＝ １ １６． ４．B　提示:斜边长为１０cm,外心即为斜边的中点, 到直角顶点的距离等于斜边的一半． ５．B　提示:t＝８００v ． ６．D　提示:∠ABC＝１８０°－７０°－２０°＝９０°, ∵AC＝１０００米,BC＝５００米,即AC＝２BC, ∴∠BAC＝３０°． ７．C　提示:开口向下,∴a＜０, 由－１＜－b２a＜１ 得２a－b＜０,２a＋b＜０; 当x＝－２时,y＞０,∴４a－２b＋c＞０; 当x＝１时,y＜０,∴a＋b＋c＜０, ∴原式＝－(２a－b)＋(２a＋b)＋４a－２b＋c－a －b－c＝a＋２a－b＜０． ８．D　提示:设抽出的牌中有x张红桃、y张黑桃、z 张方块,则x、y、z都为正整数,且x≤５、y≤６、z ≤７,x＋y＋z＝１５,∵y＋z≤１３,∴x≥２, ∴x的可能取值有２、３、４、５． ①当x＝２时,y＋z＝１３,∴y＝６,z＝７,只有１种 可能; ②当x＝３时,y＋z＝１２,∴y＝６,z＝６或y＝５,z ＝７,有２种可能; ③当x＝４时,y＋z＝１１,∴y＝６,z＝５或y＝５,z ＝６或y＝４,z＝７,有３种可能; ④当x＝５时,y＋z＝１０,∴y＝６,z＝４或y＝５,z ＝５或y＝４,z＝６或y＝３,z＝７,有４种可能,共 １０种可能,其中恰好有４张红桃的可能有３种, ∴所求概率为３１０． 二、填空题 ９．１２０　 提示:分针 １分钟旋转 ６°,２０分钟旋转 １２０°． １０．１６ ２π　提示:底面半径为４cm,母线长为４ ２ cm,侧面积为１２×８π×４ ２＝１６ ２π (cm２)． １１．２　 提示:根据对称性,S△BOC ＝S△AOC ＝ １２ × ４ ＝２． １２．２２　 提示:由题意BD＝DE＝DC,DE⊥BC, ∴BEBC＝ ２BD ２BD ＝ ２ ２． １３．６　提示:由 Δ１＝a２－４×２b≥０,Δ２＝(２b)２－４a ≥０得a２≥８b,b２≥a,∴a４≥６４b２≥６４a,∴a(a３ －６４)≥０,∵a＞０,∴a３≥６４,a≥４,∴b２≥a≥ ４,∵b＞０,∴b≥２,∴a＋b的最小值为６． １４．１１８　 提示:共有３６种结果,每种结果出现的可 能性相同．整点(a,b)在直线y＝２x＋１上须满 足的条件是 １≤a≤６, １≤２a＋１≤６．{ 解得１≤a≤ ５ ２ , ∴ a＝１, b＝３．{ 或 a＝２, b＝５．{ 所求概率为 ２ ３６＝ １ １８． １５．－１　提示:设点 A(x１,０)、B(x２,０),由题意 x１、x２ 必异号,∴x１􀅰x２＝ca ＜０ ,由射影定理 OC２＝OA􀅰OB,即c２＝ x１ 􀅰 x２ ＝ ca , ∴ ac ＝１,∵ca ＜０ ,∴ac＝－１． １６．２２　 提示:如图,连接AD、AE,则∠２＝∠E, ∴△ADC∽△EAC,∴ADAE＝ CD AC＝ AC EC , ∵∠CDF＝∠１＝∠B＝∠E, ∴tan∠CDF＝tan∠E＝ADAE＝ CD AC． ∵AC２ ＝CD􀅰EC＝CD􀅰(CD＋DE),ACAB＝ ２,DE＝AB, ∴(２AB) ２ ＝CD􀅰EC＝CD􀅰(CD＋AB)＝ CD２＋CD􀅰AB, ∴CD２＋CD􀅰AB－２AB２＝０, 解得CD＝－２AB(舍)或CD＝AB, ∴tan∠CDF＝ AB ２AB ＝ ２２． !"#$ 三、解答题 １７．解:原方程可整理为a(a－１)x２－(２a２－１)x＋ a(a＋１)＝０, ①当a(a－１)＝０,即a＝０或a＝１时,方程为一 元一次方程,由a＝０得x＝０;由a＝１得x＝２; ②当a(a－１)≠０,即a≠０且a≠１时,方程为一 元二次方程,变形得[ax－(a＋１)][(a－１)x－ a]＝０,即ax＝a＋１或(a－１)x＝a,∴x＝a＋１a 或x＝ aa－１． 故原方程的解为x＝０或x＝２或 x＝a＋１a 或x＝ aa－１． １８．解:k＝－４３ ,如图, １９．解:(１)令kx－４k＝０,解得x＝４,即点C(４,０), 又S△OAC＝８,所以点A 的纵坐标为８×２÷４＝ ４,点A(１,４),所以双曲线的解析式为y＝４x． (２)作 AE⊥y 轴于点E,PF⊥y 轴于点F,则 AE＝１,由双曲线的对称性可知OA＝OB, 所以S△OPB ＝S△OPA ,又S△OPB ＝７S△OAD , 所以S△OPA ＝７S△OAD ,则S△OPD ＝６S△OAD , 即１ ２OD×PF＝６× １ ２OD×AE , 所以PF＝６AE＝６,代入y＝ ４x 得点P 的坐标 为 －６,－２３( ) ． ２０．解:(１)解法一:设顶点 M 的坐标为(h,k),AD ＝m≠０, 则抛物线y＝x２＋bx＋c＝(x－h)２＋k,AB＝ ２m,MD＝m,∴点A 的坐标为(h－m,k＋m), ∴k＋m＝(h－m－h)２＋k,得m＝m２,∵m≠０, ∴m＝１,∴矩形ABCD 的面积为１×２＝２． 解法二:∵抛物线y＝x２＋bx＋c与抛物线y＝ x２ 的开口方向、开口程度相同, ∴可以将矩形随同抛物线y＝x２＋bx＋c移到 抛物线y＝x２ 的位置,点O、M 重合,如下图: 则AD＝DM,而点A 在抛物线y＝x２ 上, ∴AD＝DM＝１,AB＝２AD＝２, ∴矩形ABCD 的面积为１×２＝２． (２)设抛物线y＝ax２＋bx＋c＝a(x－h)２＋k, AD＝m≠０,则AB＝２m,MD＝m, ∴点A 为(h－m,k＋m), ∴k＋m＝a(h－m－h)２＋k,得m＝am２, ∵m≠０,∴m＝１a , ∴矩形ABCD 的面积为２m２＝２a２ ． (３)只需考虑y＝ax２ 的情形,设矩形的面积为 S,若BC＝ ax２ ,则OC＝ x ,CD＝２ x , ∴S＝２ x 􀅰 ax２ , 不妨设a＞０,则x＝± ３ S ２a , 则矩形的长为CD＝２ x ＝２ ３ S ２a , 宽为BC＝ ax２ ＝a ３ S ２a( ) ２ ＝ ３ aS２ ４ ． NEWHOPECUP 若a＜０,则矩形的长为CD＝２ x ＝－２ ３ S ２a , 宽为BC＝ ax２ ＝－a ３ S ２a( ) ２ ＝－ ３ aS２ ４ ．