训练题 20-“枫叶新希望杯”九年级数学竞赛训练题

"#$% ７７　 九年级训练题(二十) 一、选择题 １．已知△ABC为直角三角形,∠A＝９０°,以点A 为圆心,以AB 为半径作☉A,则点C与☉A 的位置关系是(　　)． A．点C在☉A 内 B．点C在☉A 上 C．点C在☉A 外 D．无法确定 ２．用配方法解方程２x２－４３x＝２ 时,配方正确的是(　　)． A．x－１３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１０９ B．x－ １ ３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝８９ C．x＋ １ ３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１０９ D．x－ ２ ３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝０ ３．有下列函数:①y＝－１２x ;②y＝１２x－１ ;③y＝－１２x (x＜０);④y＝１２x ２＋２＋１．当自变量 x在各自的取值范围之内时,其中y随x 的增大而增大的函数有(　　)． A．１个 B．２个 C．３个 D．４个 ４．如图,直角△AOB 的直角顶点A 在x 轴上,反比例函数y＝kx (k＞０,x＞０)的图象经过斜 边OB 的中点C,交直角边AB 于点D,如果顶点B 的坐标为(６,４),那么△BOD 的面积为 (　　)． A．４ B．６ C．９ D．１２ (第４题图) 　　　　　 (第５题图) 　　　　　 (第６题图) ５．如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC,且DE∶FG∶BC＝１∶３∶６,则四边形DFGE 与四边 形BCGF 的面积之比为(　　)． A．１∶２ B．２∶３ C．３∶５ D．８∶２７ ６．如图,△ABC为一个平面内的等边三角形,在同一个平面内有一点P,使得AP＝６,BP＝ ９,则点P 到点C 的最大距离为(　　)． A．１２ B．１５ C．１８ D．３ １３ ７．骰子六个面的点数分别为１、２、３、４、５、６,现将一枚质地均匀的骰子投掷两次,记第一次投 掷时朝上的面上的点数为m,第二次投掷时朝上的面上的点数为n,那么关于x、y的方程 组 mx＋ny＝３, x＋２y＝２{ 的解都为正数的概率为(　　)． A．１１２ B． ２ ９ C． ５ １８ D． １３ ３６ NEWHOPECUP ７８　 ８．已知△ABC的三边长分别为sinθ、cosθ、tanθ􀅰cotθ,其中０°＜θ＜９０°,则△ABC 的外接圆 半径R 和内切圆半径r的和R＋r＝(　　)． A．sinθ＋cosθ２ B． tanθ＋cotθ ２ C．sinθ􀅰cosθ D． １sinθ􀅰cosθ 二、填空题 ９．方程x２－(１＋２３)x＋３＋ ３＝０的解为 ． １０．如图,正方形ABCD 的边长为８cm,则将正方形ABCD 绕边AB 所在的直线旋转一周, 所得几何体的主视图、侧视图与俯视图的周长之和为 cm(结果保留π)． １１．从不大于２０的正整数中任意选出一个数,这个数是３的倍数的概率是 ． １２．武汉地铁某出口的自动扶梯的坡度i＝３∶４,如果某人沿自动扶梯的方向前进了１０m,那 么他所站的位置比原来的位置升高了 m． １３．已知☉O的内接正六边形的面积为９６３cm２,则☉O的外切正三角形的边长为 cm． １４．某同学在分析函数y＝２kx２＋(１－４k)x＋２k－１时得出以下结论:①当k＝１２ 时,函数图 象的顶点坐标为 １ ２ ,－１４ æ è ç ö ø ÷ ;②当k＝－１,x＞１时,函数值y随x 的增大而减小;③无论 k取何值时,函数图象都经过同一个点．其中正确的结论有 ． １５．如图,△AOB 为等边三角形,边长为８,过点C(－８,０)的直线交AO 于点D,交AB 于点 E,如果点E 在反比例函数y＝kx 的图象上,且△ADE 与△COD 的面积相等,那么k的 值为 ． (第１５题图) 　　　　　　　　 (第１６题图) １６．如图,在△ABC中,点D 在BC 上,BD∶DC＝３∶４,AD＝CD,点E 在AC 上,且∠１＝ ∠B,则S△ABDS△CDE ＝ ． !"#$% ７９　 三、解答题 １７．为便于堆放、管理和调运不同类型的石料,某石材厂将堆放石料的场地划分成了６个全 等的矩形场地(如图中阴影部分),每两个矩形场地之间留出４米长的过道,已知整个石 料场的长是宽的２倍,６个矩形场地的面积总和是整个石料场面积的９１６ ,求整个石料场 的宽是多少米? １８．有四张材质相同的扑克牌,其中有２张红桃和２张黑桃,洗匀后背朝上放在桌面上． (１)先从中抽出１张后放回,洗匀后再抽出１张． ①求第一次抽到黑桃,第二次抽到红桃的概率; ②求两次抽出的扑克牌中有１张黑桃和１张红桃的概率． (２)先从中抽出１张牌不放回,再抽出１张牌,则两次抽出的牌中有１张黑桃和１张红桃 的概率是多少? NEWHOPECUP ８０　 １９．在平面直角坐标系中,已知直线y＝－３x－３与x轴、y轴分别相交于点A、B,将直线AB 绕坐标平面上某点旋转１８０°后,点A、B 恰好都落在曲线y＝６x 的图象上,分别记作点 A′、B′,求点A′、B′的坐标． ２０．在平面直角坐标系中,二次函数y＝a x＋１( )２＋ca＞０( ) 的图象与x轴相交于点A(x１, ０),B(x２,０),x１＜x２,与y轴交于点C,其顶点为D．已知直线DC的函数表达式为y＝kx －３,与x轴的交点为E,且cos∠BCO＝３ １０１０ ． (１)求此抛物线的函数解析式． (２)在此抛物线上是否存在异于点C的点P,使得△ECP 是以EC 为一条直角边的直角 三角形? 若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由． (３)过点A 作x 轴的垂线,交直线CD 于点G．若将抛物线沿其对称轴上下平移,使抛物 线与线段EG 总有公共点,则抛物线向上最多可平移多少个单位长度? 向下最多可 平移多少个单位长度? !"#$ 九年级训练题(二十) 一、选择题 １．D　提示:三种情况都可能存在． ２．A　提示:由２x２－４３x＝２ 得x２－２３x＝１ , ∴ x－１３( ) ２ ＝１０９． ３．B　提示:②③． ４．C　提示:∵B(６,４),∴C(３,２),∴k＝３×２＝６, ∴D(６,１),∴S△BOD ＝１２×６×４－ １ ２×６×１＝９． ５．D　提示:S△ADE ∶S△AFG ∶S△ABC ＝１２∶３２∶６２＝ １∶９∶３６,∴所求面积之比为(９－１)∶(３６－９) ＝８∶２７． ６．B　提示:如图,把AP 绕点A 按逆时针方向旋转 ６０°,得AD,则AD＝AP,连接DP、DC、CP, 则易得△ADP 为等边三角形,△ABP≌△ACD, ∴DP＝AP,BP＝CD, ∴CP≤DP＋CD＝AP＋BP＝１５． ７．D　提示:由 mx＋ny＝３, x＋２y＝２{ 得(２m－n)y＝２m－ ３,若２m－n＝０,则方程组无解;若２m－n≠０, 则 x＝６－２n２m－n , y＝２m－３２m－n． ì î í ï ï ïï ∵x、y都为正数, NEWHOPECUP ∴ x＝６－２n２m－n＞０ , y＝２m－３２m－n＞０． ì î í ï ï ïï 解得 m＜３２ , n＞３{ 或 m＞３２ , n＜３．{ ∴当m＝１时,n＝４或５或６,有３种情况; 当m＝２、３、４、５、６时,n各有两种可能取值n＝１ 或２,此时有５×２＝１０(种)情况,而两次投掷骰 子共有６×６＝３６(种)情况, ∴所求概率为３＋１０３６ ＝ １３ ３６． ８．A　提示:∵sin２θ＋cos２θ＝(tanθ􀅰cotθ)２＝１, ∴△ABC为直角三角形,如图,过内切圆圆心点 O１ 作O１D⊥AB,O１E⊥BC,O１F⊥AC,垂足分 别为点D、E、F,则由切线长定理可知AD＝AF, BD＝BE,CE＝CF,∴R＝tanθ 􀅰cotθ ２ ＝ １ ２ ,r＝ sinθ＋cosθ－tanθ􀅰cotθ ２ ＝ sinθ＋cosθ－１ ２ , ∴R＋r＝sinθ＋cosθ２ ． 二、填空题 ９．３或 ３＋１　提示:方程可化为(x－ ３)[x－(１ ＋ ３)]＝０． １０．９６＋１６π　提示:主视图、侧视图与俯视图的周 长分别为４８cm、４８cm、１６πcm． １１．３１０　 提示:不大于２０的正整数有２０个,其中３ 的倍数有６个,６２０＝ ３ １０． １２．６　提示: １０ ３２＋４２ ×３＝６(m)． １３．１６ ３　提示:设☉O的半径为rcm,则☉O 的内 接正六边形的边长为rcm,∴ ３４r ２＝９６ ３６ ,解 得r＝８cm,∴☉O 的外切正三角形的边长为２ × ３r＝１６ ３(cm)． １４．①③ 　 提 示:① 当 k＝ １２ 时,y＝x２ －x＝ x－１２( ) ２ －１４ ,顶点为 １ ２ ,－１４( ) ,正确; ②当k＝－１时,y＝－２x２＋５x－３,开口向下, 对称轴为x＝５４＞１ ,y随x 先增后减,错误; ③无论k取何值(k＝０或k≠０)时,函数都经过 定点(１,０),正确．故正确的结论有①③． １５．１２ ３　提示:由△ADE 与△COD 的面积相等, 知△BCE与△AOB的面积相等, ∴１２BC 􀅰yE＝ ３４OB ２, 即１ ２× (８＋８)􀅰yE＝ ３４×８ ２,解得yE＝２ ３, 易知xE＝６,∴k＝６×２ ３＝１２ ３． １６．７４　 提示:∵AD＝CD,∴∠C＝∠２,又∠B＝ ∠１,∴△ABC∽△EDA,∴BCDA＝ BC DC＝ ７ ４ , ∴S△ABC∶S△EDA ＝４９∶１６,设S△CDE ＝x, 则S△ABD S△ADC ＝ ４９－１６－x １６＋x ＝ ３ ４ ,解得x＝１２, ∴S△ABDS△CDE ＝ ４９－１６－１２ １２ ＝ ７ ４． 三、解答题 １７．解:设整个石料场的宽是x米,则整个石料场的 长是２x 米,小矩形的长为２x－８３ 米,宽为x－４ ２ 米,根据题意得２x－８ ３ × x－４ ２ ×６＝ ９ １６x 􀅰２x,解 得x＝１６７ 或x＝１６,其中x＝１６７ ＜４ ,舍去,∴x ＝１６． 答:整个石料场的宽是１６米． １８．解:(１)有放回地抽出两张牌共有 ４×４＝１６ (种)等可能的结果,其中 ①第一次第一次抽到黑桃,第二次抽到红桃的 概率为２ ４× ２ ４＝ ４ １６＝ １ ４ ; ②两次抽出的扑克牌中有１张黑桃和１张红桃 的概率２ ４× ２ ４＋ ２ ４× ２ ４＝ ４ １６＋ ４ １６＝ ８ １６＝ １ ２． (２)不放回地抽出两张牌,两次抽出的牌中有１ 张黑桃和１张红桃的概率是２４× ２ ３×２＝ ２ ３． １９．解:对直线y＝－３x－３, 当y＝０时,x＝－１,∴点A(－１,０); 当x＝０时,y＝－３,∴点B(０,－３)． !"#$ 　 设点B′ x,６x( ) ,则点A′ x＋１, ６ x－３( ) , ∴(x＋１) ６x－３( ) ＝６,解得x＝１,x＝－２, 经检验,x＝１,x＝－２都是分式方程的解, ∴点A′(２,３),点B′(１,６)或点A′(－１,－６),点 B′(－２,－３)．答:略． ２０．解:示意图如图所示, (１)∵直线CD 的函数表达式为y＝kx－３, ∴点C(０,－３),OC ＝３, ∵cos∠BCO＝ OCBC ＝ ３ １０ １０ ＝ ３ １０ , ∴ BC ＝ １０,∴ OB ＝１,点B(１,０), ∵点B(１,０)、C(０,－３)在抛物线上, ∴ ０＝a(１＋１)２＋c, －３＝a(０＋１)２＋c．{ 即 ４a＋c＝０, a＋c＝－３．{ 解得 a＝１, c＝－４．{ ∴抛物线的解析式为y＝ x＋１( )２－４＝x２＋２x －３; (２)假设在抛物线上存在异于点C的点P,使得 △ECP 是以EC 为一条直角边的直角三角形; ①若EP 为另一条直角边, ∵点D(－１,－４)在直线CD 上, ∴－４＝－k－３,即k＝１, ∴直线CD 的解析式为y＝x－３, 易得直线CD 与x 轴的交点E 的坐标为E(３, ０),∵ OC ＝ OE ＝３,∴∠CEO＝４５°, 在y轴上取点F(０,３),连接EF 交抛物线于点 P,∵ OF ＝ OE ＝３,∴∠OEF＝４５°, ∴∠FEC＝９０°, 联立直线EF的解析式y＝－x＋３和抛物线的 解析式y＝x２＋２x－３得－x＋３＝x２＋２x－３, 解得x１＝－３＋ ３３２ ,x２＝－３－ ３３２ , ∴y１＝９－ ３３２ ,y２＝９＋ ３３２ , ∴满足条件的点为点P１ －３＋ ３３２ ,９－ ３３ ２ æ è ç ö ø ÷ , 点P２ －３－ ３３２ ,９＋ ３３ ２ æ è ç ö ø ÷ ; ②若PC是另一条直角边, ∵点A 是抛物线与x 轴的另一交点,其坐标为 (－３,０), 连接AC,∵ OA ＝ OC ＝３, ∴∠OCA＝４５°,又 ∠OCE＝４５°,∴ ∠ACE＝ ９０°, ∴点A 就是所求的点P３(－３,０), 综上可知,在抛物线上存在满足条件的点有３ 个,分别为点P１ －３＋ ３３２ ,９－ ３３ ２ æ è ç ö ø ÷ , 点P２ －３－ ３３２ ,９＋ ３３ ２ æ è ç ö ø ÷ ,点P３(－３,０)． (３)若抛物线沿其对称轴向上平移,设向上平移 b(b＞０)个单位长度, 则抛物线平移后的解析式为y＝x２＋２x－３＋ b,由 y＝x２＋２x－３＋b, y＝x－３．{ 得x ２＋x＋b＝０, ∴要使抛物线与线段EG 总有交点,则必须 Δ ＝１－４b≥０,即b≤１４ , ∴０＜b≤１４ ,∴若抛物线向上平移,最多可平移 １ ４ 个单位长度; ②若抛物线沿其对称轴向下平移,设向下平移 d(d＞０)个单位长度, 则抛物线平移后的解析式为 y＝x２＋２x－３－d, ∵当x＝－３时,y＝－d;当x＝３时,y＝１２－ d,而点G(－３,－６),点E(３,０), ∴要使抛物线与线段EG 总有交点,必须－d≥ －６或１２－d≥０,即d≤６或d≤１２,∴０＜d≤ １２, ∴若抛物线向下平移,最多可平移１２个单位长 度; 综上可知,若将抛物线沿其对称轴上下平移,使 抛物线与线段EG 总有公共点,则向上最多可 NEWHOPECUP 平移１ ４ 个单位长度,向下最多可平移１２个单位 长度．