训练题 19-“枫叶新希望杯”九年级数学竞赛训练题

"#$% ７３　 九年级训练题(十九) 一、选择题 １．下列图形是中心对称图形的有(　　)． ①正方形;②长方形;③等边三角形;④线段;⑤平行四边形． A．１个 B．２个 C．３个 D．４个 ２．下列方程中,与方程x２－４x＝６的解相同的方程是(　　)． A．(x－２)２＝０ B．(x－２)２＝８ C．(x－２)２＝１０ D．(x－４)２＝２２ ３．反比例函数y＝kx 与一次函数y＝kx＋k(k≠０)在同一平面直角坐标系中的图象可能是 (　　)． A． 　 B． 　 C． 　 D． ４．学校会议室的地面是用等边三角形和正六边形镶嵌铺成的,在每个等边三角形或正六边 形的顶点周围有m 个等边三角形和n 个正六边形(mn≠０),则m 与n 的和为(　　)． A．３或４ B．４或５ C．５或６ D．４ ５．在△ABC中,如果cosA＝sin(９０°－B)＝ ３２ ,那么△ABC的形状是(　　)． A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 ６．已知一个矩形的长为１８cm,宽为１２cm,现沿着其中一边的平行线剪去一个矩形后,使得 留下来的矩形与原矩形相似,则留下来的矩形面积为(　　)． A．２４cm２ B．４８cm２ C．７２cm２ D．９６cm２ ７．连接一个正方形的两条对角线后会构成若干个三角形,从这些三角形中任意选取两个,则 这两个三角形的面积不相等的概率为(　　)． A．１７ B． ３ ７ C．４７ D． １ ２ NEWHOPECUP ７４　 (第８题图) ８．如图,二次函数y＝１－x２ 的图象与x轴的正半轴相交于点A,现将 OA 进行n 等分,分点分别为点A１、A２、A３、􀆺、An－１,过各分点的垂 线分别交二次函数的图象于点B１、B２、B３、􀆺、Bn－１,记△OA１B１、 △A１A２B２、△A２A３B３、􀆺、△An－２An－１Bn－１的面积分别为S１、S２、 S３、􀆺、Sn－１,当n越来越大时,S１＋S２＋S３＋􀆺＋Sn－１最接近的常 数是(　　)． A．１４ B． １ ３ C．１２ D．１ 二、填空题 ９．由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图如图所示,则构成该几何体所需的小正方 体的个数是 个． 主视图　　　　　　　　　　　　　侧视图　　　　　　　　　　　　 俯视图 １０．某同学抛掷一颗骰子做实验,并记录下每次投掷后骰子朝上的面上的点数,当这名同学 抛掷骰子的次数不断增多时,记录的点数为３的频率在理论上最接近的数是 ． １１．已知△ABC∽△A′B′C′,且AB＝２A′B′,如果△ABC 的周长为２５cm,那么△A′B′C′的 周长为 cm． １２．在△ABC中∠A＝４５°,BC＝８cm,则△ABC的外接圆的直径为 cm． １３．定义 a　b c　d ＝ad－bc,若 x＋１　x－２ １－x　x＋１ ＝６,则x＝ ． １４．直线y＝２x－２绕原点旋转９０°后得到的直线解析式为 ． (第１５题图) １５．如图,直线y＝－x＋a与反比例函数y＝４x (x＞０)只有唯一的公共 点A,与反比例函数y＝kx (x＞０)交于点C,如果AC＝３BC,则k的 值为 ． １６．在平面直角坐标系中,经过点A(１,２)、B(３,１)的抛物线l由抛物线 l０:y＝x２ 平移后得到,抛物线l的顶点为点C,在y轴上有一点D,使 得S△ABD＝S△ABC,则点D 的纵坐标为 ． !"#$% ７５　 三、解答题 １７．如图所示为一个几何体的三视图,已知俯视图为菱形,请说明该几何体的形状,并根据图 示信息求出该几何体的侧面积． 主视图　　 　　侧视图　　　俯视图 １８．已知实数a、b分别满足方程a２＋４a＋２＝０,２b２＋４b＋１＝０,求a∶b的值． NEWHOPECUP ７６　 １９．如图,在△ABC中,AB＝１３cm,AC＝５cm,☉O 是△ABC的外接圆,且以AB 为直径． (１)设AB︵的中点为点D,求AD 的长度;(２)设劣弧BC︵的中点为点E,求AE 的长度． ２０．如图,在平面直角坐标系中有一点A(２,４),将二次函数y＝x２ 的图象从点O 沿OA 的方 向平移,直到顶点B 与点A 重合为止． (１)设二次函数y＝x２ 的图象在平移的过程中与直线x＝２的交点为点C,且顶点B 的横 坐标为b,①用含b的代数式表示点C 的坐标;②当b为何值时,点C到x 轴的距离最 短? 最短距离是多少? (２)当点C到x 轴的距离最短时,相应的抛物线上是否存在点D,使得△ABD 的面积与 △ABC的面积相等? 若存在,请求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由． !"#$ 九年级训练题(十九) 一、选择题 １．D　提示:①②④⑤． ２．C　提示:由x２－４x＝６得(x－２)２＝１０． ３．A　提示:k＞０时,反比例函数y＝kx 的图象在 第一、三象限,一次函数y＝kx＋k过第一、二、三 象限． ４．B　提示:６０°m＋１２０°n＝３６０°,即m＋２n＝６, ∴m＝２,n＝２或m＝４,n＝１,∴m＋n＝４或５． ５．A　提示:由cosA＝sin(９０°－B)＝ ３２ 得∠A＝ ３０°,９０°－B＝６０°,∴∠A＝∠B＝３０°． ６．D　提示:设留下来的矩形的宽为x, 则x １２＝ １２ １８ ,解得x＝８,而长为原长方形的宽, ∴面积为８×１２＝９６． ７．C　提示:共构成８个三角形,４个大的全等三角 形和４个小的全等三角形,任选两个有７＋６＋５ ＋４＋３＋２＋１＝２８(种)选法,选定一个大三角形 后,再选一个小三角形,其面积不相等,有４种选 法,而大三角形有４个,所以面积不相等的选法 NEWHOPECUP 有４×４＝１６(种),∴概率为１６２８＝ ４ ７． ８．B　提示:由题意Sk＝n ２－k２ ２n３ (１≤k≤n－１), ∴S１＋S２＋S３＋􀆺＋Sn－１ ＝n ２－１２ ２n３ ＋ n２－２２ ２n３ ＋ n２－３２ ２n３ ＋ 􀆺＋n ２－(n－１)２ ２n３ ＝ (n－１)n２－[１２＋２２＋３２＋􀆺＋(n－１)２] ２n３ ＝１３－ １ ４n－ １ １２n２ , 当n越来越大时,最接近的值为１３． 二、填空题 ９．５ １０．１６　 提示:每次抛掷都是独立事件,且每个点数 出现的概率都是１ ６． １１．１２．５　提示:∵AB＝２A′B′,∴相似比为２∶１, ∴周长比为２∶１． １２．８ ２　提示:在△ABC 的外接圆中作以点B 为 端点的直径BD,则∠D＝∠A＝４５°,∠BCD＝ ９０°,∴BD＝ ２BC＝８ ２cm． １３．－１或３２　 提示:由 x＋１x－２ １－xx＋１ ＝６ 得(x＋１)２－(１－x)(x－２)＝６, 即２x２－x－３＝０,解得x＝－１或３２． １４．y＝－１２x－１ 或y＝－ １２x＋１　 提示:分顺时 针方向旋转和逆时针方向旋转两种情况． １５．－５　提示:联立y＝－x＋a与y＝４x (x＞０) 得x２－ax＋４＝０,由 Δ＝a２－４×１×４＝０ 得a＝－４(舍)或a＝４,∴x２－４x＋４＝０, 解得x＝２,∴点A(２,２)．设点C的纵坐标为yC ＜０,则yA－yC－yC ＝ AC BC ,即２－yC －yC ＝３ ,解得yC ＝ －１,∴点C(５,－１),∴k＝－５． １６．２５１６ 或５５ １６　 提示:设抛物线l的解析式为y＝x２ ＋bx＋c,则 ２＝１２＋b＋c, １＝３２＋３b＋c．{ 解得 b＝－９２ , c＝１１２． ì î í ï ï ïï ∴y＝x２－９２x＋ １１ ２ ,即y＝ x－９４( ) ２ ＋７１６ , ∴点 C ９４ ,７ １６( ) ．直 线 AB 的 解 析 式 为 y＝ －１２x＋ ５ ２ ,过点C 平行于直线AB 的直线方 程为y＝ － １２x＋ ２５ １６ ,与 y 轴 交 点 坐 标 为 ０,２５１６( ) ,∴D１ 的纵坐标为 ２５ １６ 时能使得S△ABD ＝S△ABC,在直线AB上方满足条件的还有一点 D２ ０,５５１６( ) ． 三、解答题 １７．解:该 几 何 体 为 四 棱 柱,底 面 菱 形 的 边 长 为 ４０ ２( ) ２ ＋ ３０２( ) ２ ＝５０２ (cm), 侧面积为５０ ２×８０×４＝８０００ (cm２)．答:略． １８．解:∵实数b满足方程２b２＋４b＋１＝０, ∴２＋４×１b＋ １ b２ ＝０ , 即 １ b( ) ２ ＋４􀅰１b＋２＝０ , 又a２＋４a＋２＝０, ∴a、１b 可视为一元二次方程x２＋４x＋２＝０的 两根, ∴a􀅰１b＝２ ,即a∶b＝２． １９．解:(１)连接OD,∵AB 为直径,点D 为AB︵的中 点,∴OD⊥AB,且OD＝OA＝ １２AB＝ １３ ２cm , ∴AD＝１３２ ２cm ; (２)过点E 作EF⊥AB,垂足为点F,连接OE, 则OE⊥BC,OE＝１３２cm , ∵AB为直径,∴∠ACB＝９０°, ∵AB＝１３cm,AC＝５cm,∴BC＝１２cm, ∵OE⊥BC,∠ACB＝９０°,∴AC∥OE, ∴∠EOF＝∠BAC,∴Rt△OEF∽Rt△ABC, ∴EFBC＝ OF AC＝ OE AB＝ １ ２ , ∴EF＝１２BC＝６cm ,OF＝１２AC＝ ５ ２cm , 在 Rt△AEF中,AF＝AO＋OF＝９cm, !"#$ ∴AE ＝ AF２＋EF２ ＝ ９２＋６２ ＝３ １３ (cm)． ２０．解:(１)直线OA 的方程为y＝２x, 在抛物线平移的过程中顶点 B 的坐标为(b, ２b),(０≤b≤２) 抛物线的方程为y＝(x－b)２＋２b, ①当x＝２时,y＝b２－２b＋４(０≤b≤２), ∴点C的坐标为(２,b２－２b＋４); ②∵b２－２b＋４＝(b－１)２＋３,０≤b≤２, ∴当b＝１时,点C 到x 轴的距离最短,最短距 离为３． (２)当点C 到x 轴的距离最短时,点C 的坐标 为(２,３),相应的抛物线方程为y＝(x－１)２＋ ２,即y＝x２－２x＋３, 假设此时在抛物线上存在点D(x,x２－２x＋３), 使S△ABD ＝S△ABC． ①当点D 在直线OA 的下方时, 过点C作CE∥OA 交y 轴于点E, ∵点C到x 轴的距离为３,点A 到x 轴的距离 为４,∴OE＝AC＝１,∴点E(０,－１), ∴直线CE的解析式为y＝２x－１, ∵S△ABD ＝S△ABC, ∴点D 落在直线CE:y＝２x－１上, 又点D 为抛物线y＝x２－２x＋３上的点, ∴x２－２x＋３＝２x－１, 解得x１＝x２＝２,即点 D 与点C 重合,坐标为 (２,３),∴ 此时抛物线上存在点 D(２,３)使得 S△ABD ＝S△ABC． ②当点D 在直线OA 的上方时, 作点C关于点A 的对称点F,则点F(２,５), 过点F作FG∥OA 交y 轴于点G,则点G(０, １), ∴直线FG的解析式为y＝２x＋１, ∵S△ABD ＝S△ABC, ∴点D 落在直线FG:y＝２x＋１上, 又点D 为抛物线y＝x２－２x＋３上的点, ∴x２－２x＋３＝２x＋１,解得x＝２± ２, ∴此时抛物线上存在点D１(２＋ ２,５＋２ ２)和 D２(２－ ２,５－２ ２)使得S△ABD ＝S△ABC． 综上,当点C到x 轴的距离最短时,相应的抛物 线上存在点D１(２＋ ２,５＋２ ２)、D２(２－ ２,５ －２ ２)和 D３ (２,３),使 得 △ABD 的 面 积 与 △ABC的面积相等．