训练题 18-“枫叶新希望杯”九年级数学竞赛训练题

"#$% ６９　 九年级训练题(十八) 一、选择题 １．将方程x２－４x－１＝０变形后,能够得到的方程是(　　)． A．(x－２)２＝１ B．(x－２)２＝３ C．(x－２)２＝４　 D．(x－２)２＝５ ２．把一个三角形放大成与它相似的三角形,如果三条边长都扩大到原来的１０倍,那么周长 扩大到原来的(　　)． A．１０倍 B．３０倍 (第３题图) C．１００倍 D．１０００倍 ３．某同学的卧室地面形状是一个如图所示的四边形,现在量 得AB＝BC,∠B＝∠D＝９０°,若点B 到CD 的距离为４ 米,则该同学的卧室地面的面积为(　　)． A．８m２ B．１２m２ C．１６m２　 D．２４m２ ４．在△ABC中,∠C＝９０°,则下列结论正确的是(　　)． A．sinA＞cosA B．０＜tanA＜１ C．sinA＋cosA＝１ D．sin２A＋cos２A＝１ ５．在同一个圆中,内接正三角形、正四边形、正六边形的边长之比为(　　)． A．６∶４∶３ B．３∶ ２∶１ C．３∶ ２∶２　 　　 D．２３∶２∶ ２ ６．希希问望望的书包里有多少本数学作业本? 望望告诉他:“我的书包里只有英语作业本和 数学作业本这两种作业本,如果从中随机抽取一本,那么取出的是英语作业本的概率为 ２ ５ ;如果你另外给我３本数学作业本放进去的话,那么再取出一本是英语作业本的概率就 变成１ ４ 了．”则望望的书包里数学作业本有(　　)． (第７题图) A．１本 B．２本 C．３本　 D．４本 ７．如图,点M 是反比例函数y＝４x 的图象在第一象限上的一个动点,过点 M 分别作x、y轴的垂线,垂足分别为点A、B,且垂线分别交反比例函 数y＝１x 的图象于点C、D,连接 OC、OD,则下列说法不正确的是 (　　)． A．MC＝MD 始终成立 B．MC∶AC＝３∶１ NEWHOPECUP ７０　 C．AB∥CD D．S四边形MCOD＝３ ８．如图,抛物线y＝ax２＋bx＋c(a≠０)的图象经过点(－１,２),且与x轴交于点(x１,０)、(x２, ０),其中０＜x１＜１,－２＜x２＜－１,则在结论①４a－２b＋c＜０;②２a－b＜０;③b２＋８a＞ ４ac;④a＋１＜０中,正确的个数有(　　)． A．１个 B．２个 C．３个 D．４个 (第８题图) 　　　　　　 (第１１题图) 二、填空题 ９．两个同心圆的半径分别为６cm 和１０cm,大圆的弦AB 与小圆相切,则弦AB 的长度为 cm． １０．已知一元二次方程x２－x－１＝０的两根为x１、x２,则代数式x２１＋x１(x２２－２)＝ ． １１．如图,在 △ABC 中,DE∥BC,AE＝BD,如 果 AB＝１５cm,AC＝３０cm,那么 AE＝ cm． １２．在△ABC中,∠C＝９０°,如果AC＝８cm,sinA＝ ３２ ,则AB＝ cm． １３．一个分数的分母是６,分子是不大于２２的自然数,则这个分数是不可约分数或整数的概 率是 ． １４．已知直线y＝kx(k＞０)与反比例函数y＝８x 的图象相交于点A(x１,y１)、B(x２,y２),则 ２０１４x１y２－２０１５x２y１ 的值为 ． １５．已 知 正 整 数 n 满 足 不 等 式 ７８ ＜ １ ２＋２ ＋ １ ２３＋３２ ＋ １ ３４＋４３ ＋ 􀆺 ＋ １ n n＋１＋(n＋１)n ＜８９ ,则n的最大值与最小值之差为 ． １６．如图,二次函数y＝－x２＋４x－３与x轴交于点A、B(点A 在点B 左边),与y轴交于点 C,点D 为线段BC 上一点,将线段OD 按逆时针方向旋转９０°后得到线段OE,若点E 恰 好落在二次函数在第一象限的图象上,则点D 的坐标为 ． "#$% ７１　 三、解答题 １７．如图,在五子棋的棋盘上面有三颗棋子,所在位置分别记作(４,３)、(４,７)、(６,５),请你再 放一颗棋子,使得四颗棋子组成一个中心对称图形,有几种方法? 在图中标出你所放棋 子的位置,并用前述记位置的方法写出来． １８．有一种传染病传染性很强,研究发现,在某地区如果有一个人染上该病,那么经过两轮传 染后,理论上就共有１２１人染上该病,请问该传染病在每轮传染中平均一个人会传染几 个人? 如果疫情不能得到有效控制,那么经过三轮传染后将会有多少人染上这种病? NEWHOPECUP ７２　 １９．某经销商销售某种产品的累积利润y(万元)与销售时间x(月)之间满足如下关系式:y＝ １ ２x ２－２x(x＞０)． (１)求出这个函数的顶点坐标,画出函数图象,并根据图象判断销售这种产品是从什么时 候开始盈利的? (２)这个经销商第６个月的利润是多少? ２０．如图,过反比例函数y＝kx (k＞０,x＞０)图象上的点P 分别作x 轴、y轴的垂线段,垂足 分别为点A、B． (１)求四边形PAOB 周长的最小值,并求出此时点P 的坐标; (２)过点P 右边的另一点Q 分别作x 轴、y轴的垂线段,垂足分别为点C、D,如果点P、Q 的横坐标分别为m、n,试比较四边形PAOB 与四边形QCOD 周长的大小． NEWHOPECUP １５０　 九年级训练题(十八) 一、选择题 １．D　提示:由x２－４x－１＝０得(x－２)２－５＝０． ２．A　提示:周长比等于边长比． ３．C　提示:利用割补法易得所求面积为４×４＝１６ (平方米)． ４．D　 提示:sin２A＋cos２A＝ BCAB( ) ２ ＋ ACAB( ) ２ ＝ BC２＋AC２ AB２ ＝１． ５．B　提示:设圆的半径为r,则正三角形、正四边 形、正六边形的边长分别为 ３r、２r、r． ６．C　提示:设望望的书包里数学作业本和英语作 业本分别有x本、y本,则 y x＋y＝ ２ ５ , y x＋y＋３＝ １ ４． ì î í ï ï ïï 解得x＝３． ７．A　提示:当且仅当点 M 的横坐标与纵坐标相等 时,MC＝MD 才成立． ８．D　提示:当x＝－２时,y＜０,∴①正确; ∵０＜x１＜１,－２＜x２＜－１,∴－２＜x１＋x２＜０, 即－１＜x１＋x２２ ＜０ ,∴－１＜－b２a＜０ ,又a＜０, ∴２a－b＜０,②正确; 由－１＜－b２a＜０ 知点(－１,２)不是顶点, ∴４ac－b ２ ４a ＞２ ,即b２＋８a＞４ac,③正确; 因为抛物线过点(－１,２), ∴a－b＋c＝２,∴b＝a＋c－２,∵b＞２a, ∴a＋c－２＞２a,∴a＜c－２,而根据图象知c＜１, ∴a＜c－２＜－１,即a＋１＜０,故④正确． 二、填空题 ９．１６　提示:AB＝２ １０２－６２ ＝１６(cm)． １０．０　提示:x２１＋x１(x２２－２)＝x２１＋x１x２２－２x１＝x２１ －x１＋x１x２􀅰x２－x１＝１－(x２＋x１)＝０． １１．１０　提示:１５－BD１５ ＝ AE ３０ ,∴１５－AE１５ ＝ AE ３０ , 解得AE＝１０cm． １２．１６　提示:由sinA＝ ３２ 得cosA＝１２ , ∴ACAB＝ １ ２ ,即 ８ AB＝ １ ２ , ∴AB＝１６cm． １３．１１２３　 提示:不大于２２的自然数中,分子取０、１、 ５、６、７、１１、１２、１３、１７、１８、１９这１１个数时都能使 这个分数不可约或为整数． １４．８　提示:２０１４x１y２－２０１５x２y１ ＝２０１４x１􀅰(－y１)－２０１５(－x１)􀅰y１＝x１􀅰y１ ＝８． １５．１５　提示: １ k k＋１＋(k＋１)k ＝ (k＋１)k－k k＋１ k(k＋１)２－k２(k＋１)＝ １ k － １ k＋１ , ∴原不等式可化为７８＜１－ １ n＋１ ＜８９ , 解得６３＜n＜８０, ∴nmin＝６４,nmax＝７９,nmax－nmin＝１５． １６．(１,－２)　提示:如图,设抛物线的顶点为点F, 易得点A(１,０)、B(３,０)、C(０,－３),F(２,１), 则∠OCD＝４５°,∠OBF＝４５°, 易证△OCD≌△OBE, ∴∠OCD＝∠OBE＝４５°, ∴∠OBF＝∠OBE,∴点E、F重合, ∴点E(２,１),∴点D(１,－２)． !"#$ 三、解答题 １７．解:有三种方法,位置分别为(２,５),(６,１),(６, ９),如图所示． １８．解:设该传染病在每轮传染中平均一个人会传 染x个人,则１＋x＋(１＋x)x＝１２１, 解得x＝－１２(舍),或x＝１０, ∴１＋１０＋(１＋１０)×１０＝１２１,１２１＋１２１×１０＝ １３３１(人)．答:略． １９．解:(１)y＝ １２x ２－２x＝ １２ (x２－４x＋４－４)＝ １ ２ (x－２)２－２,x＞０,顶点坐标为(２,－２),图 象如下: 从图象可看出,当x＞４时,y＞０,所以４个月后 开始盈利． (２)当x＝６时,y＝１２x ２－２x＝６(万元), 当x＝５时,y＝１２x ２－２x＝２．５(万元), ６－２．５＝３．５(万元),即第６个月的利润是３．５ 万元．答:略． ２０．解:(１)设四边形PAOB的周长为M,点P 的坐 标为P(xP,yP), 则 M＝２(xP＋yP)＝２xP＋kxP( ) , 由题意,xP＞０,k＞０,∵ xP － k xP æ è ç ö ø ÷ ２ ≥０, 即xP＋kxP －２k≥０ , ∴xP＋kxP ≥２k ,∴M＝２xP＋kxP( ) ≥４k, ∵当且仅当 xP ＝ k xP 时等号成立, ∴当且仅当xP ＝ k时,M 取得最小值４k,此 时点P 的坐标为P(k,k)． (２)设 四 边 形 PAOB 的 周 长 为 M,四 边 形 QCOD 的周长为N, 则 M－N＝２ m＋km( ) －２n＋ k n( ) ＝２(m－n)􀅰mn－kmn , 由题意,m－n＜０,mn＞０, ∴当 mn＞k,即 mn－k＞０时,M－N＜０, 即 M＜N,∴四边形PAOB 的周长小于四边形 QCOD 的周长; 当 mn＝k,即 mn－k＝０时,M－N＝０, 即 M＝N,∴四边形PAOB 的周长等于四边形 QCOD 的周长; 当 mn＜k,即 mn－k＜０时,M－N＞０, 即 M＞N,∴四边形PAOB 的周长大于四边形 QCOD 的周长．