训练题 17-“枫叶新希望杯”九年级数学竞赛训练题

!"#$% ６５　 九年级训练题(十七) 一、选择题 １．下列说法正确的是(　　)． A．要了解一批炮弹的杀伤半径,采用抽样调查的方式 B．抛掷一枚硬币正面朝上的机会与抛掷一支铅笔笔尖朝上的机会一样大 C．某彩票的中奖率为１％,九年级每个班有５０人,其中三个班的同学每人买一张这种彩 票则一定会有同学中奖 D．某同学对武汉某社区家庭调查后发现,拥有小轿车的家庭占６５％,于是他得出结论:武 汉市拥有小轿车的家庭的百分比为６５％ ２．将方程x２－２x－５＝０变形为(x＋a)２＝b后,下列结论正确的是(　　)． A．a＝１,b＝６ B．a＝－１,b＝６ C．a＝２,b＝９ D．a＝－２,b＝９ ３．在平面直角坐标系中,将点(０,２)绕点(１,０)按顺时针方向旋转９０°后得到的点为(　　)． A．(－１,１) B．(１,－３) C．(３,１) D．(１,３) (第４题图) ４．如图,在△ABC中,过AB 上一点D 且平行于边BC 的直线将△ABC 分成面积相等的两个部分,则ADAB 的值为(　　)． A．２２ B． １ ２ C．１４ D． ２ ３ ５．已知反比例函数y＝kx (k＞０)的图象上有三个点(x１,y１)、(x２,y２)、(x３,y３),其中x１＜x２ ＜０＜x３,则y１、y２、y３ 的大小关系是(　　)． A．y１＜y２＜y３ B．y２＜y１＜y３ C．y３＜y１＜y２　 D．y３＜y２＜y１ ６．等腰直角三角形的内切圆半径与外接圆半径的比值为(　　)． A．２－１ B．２＋１ C．２－１２ 　　　 D． ２＋１ ２ ７．已知同一个平面直角坐标系中有三点A －１２a ,５ ２a æ è ç ö ø ÷ 、B １２a ,９ ２a æ è ç ö ø ÷ 、C(２a,０),其中a＞０, 如果二次函数y＝x２－(５a－３)x－a的图象上有一点D,使得以点A、B、C、D 为顶点的四 边形为平行四边形,则满足条件的点D 的个数有(　　)． A．１个 B．２个 C．３个 D．４个 NEWHOPECUP ６６　 ８．如图,在直角梯形ABCD 中,AD∥BC,AB⊥AD,AB＝BC＝２AD,AB 上有一点E 使得 ∠DCE＝４５°,则tan∠CED 的值为(　　)． A．６ B．５ C．４　　　 D．３ (第８题图) 　　　　　　 (第９题图) 二、填空题 ９．如图,点 A、B 分别为半圆O 上的三等分点,如果 ☉O 的半径为 ８cm,那么弦 AB＝ cm． １０．如果两个相似三角形的相似比为３∶４,那么这两个三角形对应中线的比为 ． １１．贝贝的书包里有数学作业本、语文作业本和英语作业本共２０个,从中任意抽取一本作业 本时,取出的是数学作业本的概率为１ ２ ,取出的是语文作业本的概率是１ ５ ,则英语作业本 有 个． １２．在锐角△ABC中,AC＝６cm,BC＝４cm,若sinA＝ ３３ ,则cosB＝ ． １３．将边长为a的等边△ABC绕它的中心旋转６０°后得到△DEF,其中点A、B、C 的对应点 分别为点D、E、F,则AE＝ ． １４．若一元二次方程x２＋mx＋n＝０和x２＋nx＋m＝０有且只有一个公共解,则m＋n＝ ． １５．如图,反比例函数y＝kx 在第二象限的图象上有一点A,AB⊥x轴于点B,AC⊥y轴于点 C,直线y＝－x＋a与y＝－ ３３x＋２ 都与y轴相交于点C,分别交x轴于点D、E,如果梯 形ABDC的面积为８,那么k的值为 ． (第１５题图) 　　　　　　　　　 (第１６题图) １６．如图,已知点A、B 在x 轴上,AB＝４,点C 的坐标为(０,－８),二次函数y＝ax２＋bx＋c 的图象经过点A、B,顶点为点D,若四边形ABCD 为平行四边形,且二次函数的图象向 下平移后恰好经过点C,则平移后的图象所对应的函数解析式为 ． !"#$% ６７　 三、解答题 １７．已知关于x的方程x２－(a－３)x－３a－５＝０有两个整数根,求整数a的值． １８．欢欢和乐乐下围棋的棋艺相当,他们经常在一起下围棋．有一次为了活跃气氛,他们各拿 １００元钱出来,规定谁先赢３局,谁就能赢取这２００元钱．欢欢先胜出两局后,他们临时有 事不能再下第三局了,那么怎样分配这２００元钱才合理呢? 请结合概率的知识,给出恰 当的分配方案． NEWHOPECUP ６８　 １９．如图１,已知四边形ABCD 和DEFG 都为正方形,且边CD 在边DG 上,连接AG、CE． (１)猜想AG 与CE 有怎样的数量关系和位置关系,并证明你的结论; (２)将正方形DEFG 绕点D 按逆时针方向旋转,使得顶点G 落在CB 边的延长线上,如 图２,连接AG、CE,那么(１)中的结论是否仍然成立? 说明理由． 图１　　　　　　　　　　　　　　　 图２ ２０．如图,已知抛物线y＝１２x ２ 与直线y＝mx＋２m＋４相交于点A、B． (１)求证:直线y＝mx＋２m＋４过定点,并求出这个定点的坐标; (２)当m＝－１２ 时,在直线AB 下方的抛物线上是否存在点C,使得S△ABC ＝５? 若存在, 求出点C的坐标,若不存在,请说明理由; (３)如果在抛物线上存在定点D,使得AD２＋BD２＝AB２,求点D 到直线AB 的距离的最 大值． !"#$ 九年级训练题(十七) 一、选择题 １．A ２．B　提示:由x２－２x－５＝０得(x－１)２＝６． ３．C　提示:在第一象限,到y轴的距离为１＋２＝ ３,到x轴的距离为１． NEWHOPECUP １４８　 ４．A　提示:小三角形与大三角形的面积之比为 １∶２,∴对应边之比为１∶ ２． ５．B　提示:图象在第一、三象限． ６．A　提示:设等腰直角三角形的直角边为a,则内 切圆半径为a＋a－ ２a ２ ＝ ２－ ２ ２ a ,外接圆半径为 ２ ２a． ７．C　提示:①若平行四边形为ABCD,则点D１(a, －２a),∴－２a＝a２－(５a－３)a－a, 解得a＝０(舍),或a＝１,∴点D１(１,－２); ②若平行四边形为ABDC,则点D２(３a,２a), ∴２a＝(３a)２－３a(５a－３)－a, 解得a＝０(舍),或a＝１,∴点D２(３,２); ③若平行四边形为ACBD,则点 D３(－２a,７a), ∴７a＝(－２a)２－(－２a)􀅰(５a－３)－a, 解得a＝０(舍),或a＝１,∴点D３(－２,７), 故满足条件的点D 共有３个． ８．D　提示:如图,过点C 作AD 延长线的垂线,垂 足为点F,在AF的延长线上截取FG＝BE,则易 得 △BCE ≌ △FCG,∴CE ＝CG,∠BCE ＝ ∠FCG,从而易证△DCE≌△DCG,∴∠CED＝ ∠CGD．设CF＝２x,FG＝y,则AD＝x,AE＝２x －y,DE＝x＋y,∴x２＋(２x－y)２＝(x＋y)２,２x ＝３y,∴tan∠CED＝tan∠CGD＝CFFG＝ ２x y ＝３． 二、填空题 ９．８　提示:△AOB为等边三角形． １０．３∶４　提示:对应线段的比等于相似比． １１．６　提示:２０× １－１２－ １ ５( ) ＝６(个)． １２．１２　 提示:过点C 作AB 的垂线,垂足为点D, 则由sinA＝ ３３ 得CD ６ ＝ ３ ３ ,∴CD＝２ ３cm, ∴BD＝２cm,∴cosB＝BDBC＝ ２ ４＝ １ ２． １３．３３a 或２ ３ ３a　 提示:分按顺时针方向旋转和按 逆时针方向旋转两种情况． １４．０或８或－１　提示:设两方程的公共解为x０, 则 x２０＋mx０＋n＝０, x２０＋nx０＋m＝０．{ 得(m－n)x０＝m－n,若m －n＝０,即m＝n,则两方程相同,而两方程有且 只有一个公共解,则 Δ＝m２－４n＝０,∴m＝n＝ ０或m＝n＝４,从而m＋n＝０或m＋n＝８;若m －n≠０,则x０＝１,∴m＋n＝－１． １５．－６　提示:直线y＝－x＋a与y＝－ ３３x＋２ 都与y轴相交于点C,∴点C(０,２),a＝２,∴点 D(２,０),∴１２ (AC＋AC＋２)×２＝８,解得AC＝ ３,∴点A(－３,２),∴k＝－３×２＝－６． １６．y＝２x２－１６x－８　提示:若四边形ABCD 为平 行四边形,则CD＝AB＝４,∴点D(４,－８), ∴点A(６,０),点B(２,０),设y＝ax２＋bx＋c＝ a(x－４)２－８,把B(２,０)代入可得a＝２,设平移 后的抛物线为y＝２(x－４)２－８－k,把C(０, －８)代入得k＝３２, ∴平移后的抛物线的解析式为y＝２(x－４)２－ ４０,即y＝２x２－１６x－８． 三、解答题 １７．解:原方程可变为(x＋３)(x－a)＝５, ∵a、x都是整数,∴x＋３、x－a也都是整数, ∴ x＋３＝１, x－a＝５{ 或 x＋３＝５, x－a＝１{ 或 x＋３＝－１, x－a＝－５{ 或 x＋３＝－５, x－a＝－１．{ 解得a＝－７或a＝１．答:略． １８．解:如果继续下去,有４种结果: ①第３局欢欢胜,结束; ②第３局乐乐胜,第４局欢欢胜,结束; ③第３局乐乐胜,第４局乐乐胜,第５局欢欢 胜,结束; ④第３局乐乐胜,第４局乐乐胜,第５局乐乐 胜,结束． 欢欢先赢３局的概率为 １２＋ １ ２× １ ２＋ １ ２× １ ２ ×１２＝ ７ ８ , !"#$ １４９　 乐乐先赢３局的概率为１２× １ ２× １ ２＝ １ ８ , ∴２００×７８＝１７５ (元),２００×１８＝２５ (元)． 即欢欢应分得１７５元,乐乐应分得２５元．答: 略． １９．解:(１)AG＝CE,且AG⊥CE．证明如下: 延长EC交AG 于点M, ∵AD＝CD,∠ADG＝∠CDE＝９０°,DG＝DE, ∴△ADG≌△CDE, ∴AG＝CE,∠DAG＝∠DCE, 而∠AEC＋∠DCE＝９０°, ∴∠AEC＋∠DAG＝９０°, ∴AG⊥EM,即AG⊥CE． 综上得AG＝CE,且AG⊥CE． (２)仍然成立．证明如下: 如图,延长EC交AG 于点N, ∵AD＝CD,∠ADG＝∠CDE＝９０°－∠CDG, DG＝DE, ∴△ADG≌△CDE, ∴∠１＝∠２,AG＝CE, 而∠２＋∠４＝９０°,∠３＝∠４, ∴∠１＋∠３＝９０°, ∴AG⊥EN,即AG⊥CE． 综上得AG＝CE,且AG⊥CE． ２０．解:(１)由y＝mx＋２m＋４得y－４＝m(x＋２), 当x＋２＝０,即x＝－２时,y－４＝０,即y＝４, ∴直线y＝mx＋２m＋４过定点(－２,４)． (２)当m＝－ １２ 时,直线方程为y＝－ １２x＋３ , 再联立y＝ １２x ２ 可解得点 A －３,９２( ) 、B(２, ２)． 如图１,过直线AB下方的抛物线上一点C 作y 轴的平行线CE,交直线AB于点E, 设点Cc,１２c ２( ) ,则点Ec,－１２c＋３( ) , ∴CE＝－１２c ２－１２c＋３ , ∴S△ABC＝S△ACE ＋S△BCE ＝１２× (２＋３)× －１２c ２－１２c＋３( ) ＝－５４c ２－５４c＋ １５ ２ , 若－５４c ２－５４c＋ １５ ２＝５ ,解得c＝１或c＝－２, ∴当m＝－ １２ 时,在直线AB 下方的抛物线上 存在点C １,１２( ) 或C(－２,２),使得S△ABC＝５． 图１ (３)由AD２＋BD２＝AB２ 知,∠ADB＝９０°,过点 D 作直线 MN ∥x 轴,过点 A、B 分别作直线 MN 的垂线,垂足分别为点 M、N,如图２,则 Rt△AMD∽Rt△DNB,∴AMDN＝ MD NB． 设点A a,１２a ２( ) 、B b,１２b ２( ) 、D d,１２d ２( ) ,a、 b、d互不相等, 则 １ ２a ２－１２d ２ b－d ＝ d－a １ ２b ２－１２d ２ , 化简得ab＋(a＋b)d＋d２＝－４, 而联立y＝mx＋２m＋４和y＝ １２x ２ 得x２－ ２mx－(４m＋８)＝０, ∴a＋b＝２m,ab＝－４m－８, ∴－４m－８＋２md＋d２＝－４, 即d２＋２m(d－２)－４＝０, ∵点D 为抛物线上使得AD２＋BD２＝AB２ 的 定点,即与m 的取值无关, ∴d－２＝０,d＝２,∴点 D(２,２),与直线AB 上 NEWHOPECUP 定点(－２,４)的距离为 (－２－２)２＋(４－２)２ ＝２ ５, 过点D 作DF⊥AB,则DF≤２ ５, ∴当点D 与定点(－２,４)的连线垂直AB时,点 D 到直线AB 的距离最大,为２ ５． 图２