训练题 16-“枫叶新希望杯”九年级数学竞赛训练题

!"#$% ６１　 九年级训练题(十六) 一、选择题 １．课间休息时间,有一群同学围在一起聊天,其中男生有４个,老师从中选一人到办公室拿 粉笔,选中女生的概率为１ ３ ,那么这群同学中女生人数是(　　)． A．２人 B．３人 C．４人 D．６人 ２．与直线y＝x＋８关于原点对称的直线是(　　)． A．y＝x＋８ B．y＝x－８ C．y＝－x＋８ D．y＝－x－８ (第３题图) ３．已知二次函数y＝ax２＋bx＋c的图象如图所示,那么一元二次方程 ax２＋bx＋c－３＝０的根的情况是(　　)． A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 ４．一个正多边形,每个中心角的度数与每个内角的度数之比为１∶４,则这个正多边形是 (　　)． A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形 ５．已知点A 为x 轴上不同于原点O 的一个定点,当反比例函数y＝kx (k＞０,x＞０)图象上的 动点B 的横坐标逐渐增大时,△AOB 的面积将会(　　)． A．不变 B．逐渐减小 C．逐渐增大 D．先增大再减小 ６．两个相似三角形的周长之比为２∶３,它们的面积之和为７８cm２,那么它们的面积之差为 (　　)． A．６cm２　　 B．２４cm２ C．３０cm２　 D．５４cm２ ７．按如下方法构造数串:给出一个一位数a,将它乘以２,积若是一位数,则直接得到第二个 数;若积是两位数,则将这个两位数的个位数字作为第二个数;再把第二个数字进行同样 的操作得到第三个数􀆺􀆺后面的每一个数都是将前一个数字按照上述操作方法得到,例 如当a＝１时,得到的数串为１２４８６２４８６􀆺．如果a＝３,那么得到的数串的前１００个数的和 为(　　)． A．４９５　 B．４９７　　 C．５０１　　 　 D．５０３ NEWHOPECUP ６２　 (第８题图) ８．如图,点O 为△ABC三边中垂线的交点,边BC、AC、AB 上的中 点分别为点D、E、F,连接OD、OE、OF,如果边BC、AC、AB 的 长度分别为a、b、c,则OD∶OE∶OF＝(　　)． A．a∶b∶c B．１a∶ １ b∶ １ c C．sinA∶sinB∶sinC D．cosA∶cosB∶cosC 二、填空题 ９．一个飞镖盘被分成了七个相同的扇形区域,且规定射中两个扇形的交线时当作射中右边 的扇形,则在射中镖盘的条件下射中红色区域的概率为 ． (第９题图) 　　　　　　　 (第１０题图) １０．如图的几何体是由一些完全相同的小正方体组成的,组成这个几何体的小正方体共有 个． １１．将点A(８２,０)绕坐标原点按逆时针方向旋转１３５°后得到点B,点B 的坐标是 ． １２．某公司今年的营业额持续增长,十月份为６万元,十一月份和十二月份一共是１４万元． 设十月份到十二月份的月平均增长率为x,则可列方程为 ． １３．已知△ABC 的三边长分别为４５cm、５４cm、６３cm,△DEF 与△ABC 相似且最短边长为 １５cm,则△DEF 的周长为 cm． １４．函数y＝x２－２０１４x ＋２０１５的图象与x轴所有交点的横坐标之和为 ． １５．如图,矩形OABC的对角线相交于点D,反比例函数y＝kx 的图象经过点D,且交BC 于 点E,已知OA＝８,OC＝６,则CE∶BE ． (第１５题图) 　　　　　　　　 (第１６题图) １６．如图,在直角梯形ABCD 中,AD∥BC,AD⊥CD,点E 在梯形内,点F 在梯形外,∠１＝ ∠２,BE＝DF,若AD＝１０cm,BC＝２０cm,tan∠ABC＝２,且CE＝２DE,∠CED＝１３５°, 则sin∠３＝ ． !"#$% ６３　 三、解答题 １７．如图,在一张圆形桌子的正上方有一个亮着的灯泡,如果桌子的高度为１米,桌面的直径 为０．８米,灯泡到地面的距离为２．５米,那么桌子在地面上形成的影子的面积为多少平 方米．(结果保留π) １８．已知一个反比例函数的解析式为y＝k＋１x (k为常数,k≠－１)． (１)若点(－１,－２)在这个反比例函数的图象上,求k的值; (２)若在这个反比例函数图象的每一个分支上,y的值随x 的增大而增大,求k的取值范 围; (３)若k＝９,判断点(２,４)、(５,２)、(－３,－４)是否在这个函数的图象上． NEWHOPECUP ６４　 １９．如图１,△ABC 为等腰直角三角形,∠BAC＝９０°,BC＝６,△ADE 也为直角三角形, ∠ADE＝９０°,∠DAE＝６０°,AE＝７．现将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转１５°得到 △AD１E１,如图２,这时BC与AE１ 相交于点F,与D１E１ 相交于点G．(１)求∠D１GF 的度 数;(２)求线段CE１ 的长度;(３)如果将△AD１E１ 绕点A 按顺时针方向再旋转３０°得到 △AD２E２,那么这时点B 在△AD２E２ 的内部、外部还是边上? 说明理由． 图１　　　　　　　　　图２ ２０．如图,顶点为A(２,３)的抛物线y＝ax２＋bx＋c(a≠０)过点B(０,１),在x轴的正半轴上有 一点C,且OC＝OB． (１)求直线BC的解析式和抛物线的解析式; (２)将直线BC绕点B 按逆时针方向旋转４５°后所得到的直线与抛物线相交于另一点D, 求证:△ABD∽△OBC; (３)在(２)的条件下,若点 M 是线段AD 上的动点,点 N 是线段OC 上的动点,问:在点 M、N 移动的过程中,△MBN 的周长是否存在最小值? 若存在,求出这个最小值;若 不存在,请说明理由． NEWHOPECUP １４６　 九年级训练题(十六) 一、选择题 １．A　提示:设女生有x人,则 xx＋４＝ １ ３ ,解得x＝ ２(人)． ２．B　提示:与直线y＝x＋８上的点(０,８),(－８,０) 关于原点对称的点是(０,－８),(８,０)． ３．C　提示:一元二次方程ax２＋bx＋c－３＝０的根 的个数等同于抛物线y＝ax２＋bx＋c向下平移３ 个单位长度后与x轴交点的个数,或抛物线y＝ ax２＋bx＋c与直线y＝３的交点个数． ４．D　提示:每个中心角度数与每个外角的度数相 等,１８０° １＋４＝３６° ,３６０° ３６°＝１０． ５．B　提示:∵点 A 是定点,∴△AOB 的底边OA 长度确定,当动点B 的横坐标逐渐增大时,点B 的纵坐标逐渐减小,即△AOB 的高逐渐减小,∴ 面积逐渐减小． ６．C　提示:周长之比为２∶３,面积之比为４∶９,设 为４S、９S,则４S＋９S＝７８,S＝６,∴９S－４S＝３０． ７．A　提示:３６２４８６２４８􀆺从第二个数字开始,每４ 个数字为一个周期进行循环,(１００－１)÷４＝２４ 􀆺􀆺３,３＋(６＋２＋４＋８)×２４＋６＋２＋４＝４９５． ８．D　提示:△ABC三边中垂线的交点即为△ABC 外接圆的圆心,设△ABC 外接圆的半径为r,则 OA＝OB＝OC＝r,∠BOD＝∠A,OD＝OBcos ∠BOD＝rcosA,同理OE＝rcosB,OF＝rcosC． 二、填空题 ９．３７ １０．１２　提示:４＋４＋１＋３＝１２(个)． １１．(－８,８)　提示:点B在第二象限的角平分线上． １２．６(１＋x)＋６(１＋x)２＝１４　提示:十一月份为 ６(１＋x),十二月份为６(１＋x)２． １３．５４　提示:设△DEF 的周长为x, x４５＋５４＋６３ ＝１５４５ ,解得x＝５４． １４．０　提示:函数图象与x轴有交点,且函数图象 关于y轴对称． １５．１∶３　提示:点D(４,３),k＝４×３＝１２,∴反比 例函数的解析式为y＝１２x ,当y＝６时,x＝２, ∴CE＝２,BE＝６． １６．１３ 　 提 示:易 得 BC＝CD＝２０cm,△BCE≌ △DCF,∴CE＝CF,∠BCE＝∠DCF, ∴△CEF为等腰直角三角形, ∴∠DEF＝９０°,设 DE＝a,则CE＝CF＝２a, EF＝２ ２a,∴DF＝３a,∴sin∠３＝１３． 三、解答题 １７．解:设桌子在地面上的影子的半径为R,则 ０．８ ２ R ＝２．５－１２．５ ,解得R＝２３ (米), 桌子在地面上形成的影子的面积为πR２＝ ４９π (平方米)．答:略． １８．解:(１)∵点(－１,－２)在这个反比例函数的图 象上,∴k＋１＝－１×(－２),解得k＝１． (２)若在这个反比例函数图象的每一个分支上, y的值随x 的增大而增大,则k＋１＜０,解得k ＜－１． (３)若k＝９,则k＋１＝１０,而２×４＝８≠１０,５×２ ＝１０,－３×(－４)＝１２≠１０, ∴点(５,２)在这个函数的图象上, 点(２,４)、(－３,－４)不在这个函数的图象上． １９．解:(１)∵ ∠BAC ＝ ９０°,∠D１AE１ ＝ ６０°, ∠D１AB＝１５°, ∴∠CAF＝９０°＋１５°－６０°＝４５°, !"#$ 又∠ACF＝４５°,∴∠AFC＝９０°, ∴∠D１GF＝３６０°－９０°－９０°－６０°＝１２０°． (２)由(１)知在直角△ABC中,AF⊥BC, ∴AF＝CF＝１２BC＝３ , ∴E１F＝７－３＝４,∴CE１＝５． (３)点B在△AD２E２ 的内部．理由如下: 设D２E２ 与AB或AB 的延长线相交于点H, 则在直角 △AD２H 中,∠D２AH＝４５°,AH＝ ２AD２＝ ２×１２×AE２＝ ７ ２ ２ , 而AB＝BC ２ ＝３ ２＜７２ ２ , ∴点B在△AD２E２ 的内部． ２０．解:(１)∵点B(０,１),点C 在x 轴的正半轴上, 且OC＝OB,∴点C的坐标为C(１,０)． 设直线BC 的解析式为y＝kx＋n(k≠０),则 １＝n, k＋n＝０．{ 解得n＝１,k＝－１, ∴直线BC的解析式为y＝－x＋１． 设抛物线的解析式为y＝a(x－２)２＋３, 则１＝a(０－２)２＋３,解得a＝－１２． ∴y＝－１２ (x－２)２＋３＝－１２x ２＋２x＋１． (２)证明:由题意可知,∠DBC＝４５°, ∵OC＝OB,且OC⊥OB, ∴△OBC为等腰直角三角形,∠OCB＝４５°, ∴∠DBC＝∠OCB,∴BD∥x轴, ∴点B、D 关于对称轴(直线x＝２)对称, ∴点D 的坐标为(４,１)． 如图１所示,设对称轴(直线x＝２)与BD 相交 于点E,则点E(２,１),∴ED＝BE＝AE＝２, ∴△ADE与△ABE均为等腰直角三角形, ∴△ABD 为等腰直角三角形, 又∵△OBC为等腰直角三角形, ∴△ABD∽△OBC． 图１ (３)存在．如图２所示,作点B 关于直线AD 的 对称点B１,作点B 关于x 轴的对称点B２,连接 B１B２,交OC于点N,交AD 于点M,则△MBN 即为符合题意的周长最小的三角形,由轴对称 的性质可知,△MBN 的周长等于线段B１B２ 的 长度． 图２ 如图３所示,连接B１D, ∵B、B１ 关于直线 AD 对称,△ABD 为等腰直 角三角形,∴△AB１D 为等腰直角三角形, ∴△BB１D 为等腰直角三角形,∴点B１(４,５); ∵B、B２ 关于x轴对称,∴点B２(０,－１)． 过点B１ 作B１F⊥y轴于点F, 则B１F＝４,B２F＝４＋１＋１＝６, 在 Rt△B１FB２ 中, B１B２＝ B１F２＋B２F２ ＝２ １３, 综上所述,在点 M、N 移动的过程中,△MBN 的周长存在最小值,最小值为２ １３． 图３