训练题 15-“枫叶新希望杯”九年级数学竞赛训练题

!"#$% ５７　 九年级训练题(十五) (第１题图) 一、选择题 １．如图,在△ABC中,∠ACB＝９０°,将△ABC 绕点C 按顺 时针方向旋转４０°后得到△CDE,则∠ACD＝(　　) A．３０° B．４０° C．５０° D．６０° ２．某同学身高１４０cm,那么这名同学的正投影的长(　　)． A．小于１４０cm B．等于１４０cm C．大于１４０cm D．小于或等于１４０cm ３．春节过年时,有x个同学每两人通话一次,共通话１０次,则可列方程为(　　)． A．x２－x－１０＝０ B．x２＋x－１０＝０ C．x２－x－２０＝０ D．x２＋x－２０＝０ ４．已知反比例函数y＝kx 的图象交第四象限的角平分线于点A,如果点A 到原点O 的距离 为２２,那么该反比例函数的解析式为(　　)． A．y＝－４x B．y＝ ４ x C．y＝－ ２ x 　　 C．y＝ ２ x ５．某同学的笔袋中有若干支黑色中性笔和红色中性笔(除笔芯颜色不同外,其他都相同),从 中随机取出一支笔,取出的是黑色中性笔的概率为２ ５ ,如果再往笔袋中放进６支红色中性 笔,这时从中随机取出一支笔是黑色中性笔的概率变为１ ４ ,则笔袋中的黑色中性笔有 (　　)． A．８支 B．６支 C．４支 　　　 D．２支 ６．如图,在平行四边形ABCD 中,点E 是CD 的中点,AC、BE 相交于点F,则图中阴影部分 的面积与平行四边形ABCD 的面积之比为(　　)． A．１∶３ B．１∶４ C．１∶６　　　 D．５∶１２ ７．在△ABC中,AB＝３cm,AC＝４cm,BC＝５cm,AD 为BC 边上的高,则△ABC、△ABD、 ACD 的内切圆的半径之和为(　　)． A．３cm B．４cm C．５cm　 　　　 　 D．１２５cm NEWHOPECUP ５８　 ８．已知开口向上的抛物线y＝ax２＋bx＋c经过点A(x１,０)、B(x２,０)、C １,－a２ æ è ç ö ø ÷ ,且a＞２c ＞b,则 x１－x２ 的取值范围是(　　)． A．０＜|x１－x２|＜１ B．１２＜|x１－x２|＜ ３ ２ C．２＜|x１－x２|＜ ３ 　　 D．１＜|x１－x２|＜２ (第９题图) 二、填空题 ９．如图,在等边△ABC 中,边长为１８cm,点 D 为BC 的中点,将 △ABD 按逆时针方向旋转６０°后得到△ACE,则CE＝ cm． １０．已 知 非 零 实 数 a、b 满 足 等 式a２ －５ab＝６b２,则 ab 的 值 为 ． １１．如果两个相似三角形的相似比为４∶５,周长之和为１８cm,那么这两个三角形的周长之差 为 cm． １２．一个扇形的圆心角为２４０°,半径为６cm,则由这个扇形所围成的圆锥的底面圆的最大半 径为 cm． １３．如图,已知反比例函数y＝kx 的图象与矩形OABC 的边AB、BC相交于点D、E,且点D、 E 分别为AB、BC的中点,四边形OEBD 的面积为８,则k的值为 ． (第１３题图) 　　　　　 (第１６题图) １４．妈妈外出前吩咐淘淘做家务,淘淘不想自己做,想让弟弟来做,便哄弟弟说玩一个游戏, 谁输了谁做家务．他拿出５张扑克牌,跟弟弟约定每次只能取１张或２张扑克牌,由淘淘 自己先取,谁取到最后一张扑克牌谁赢．淘淘如果要确保自己获胜的概率为１,那么他第 一次应该取走 张扑克牌． １５．在钓鱼岛上某点A 的北偏东５３°方向上,一艘中国海警船在点B 处巡航,之后这艘海警船 又沿着北偏西２２°方向航行１０海里到达点C处,如果点C在点A 北偏东２３°的方向上,那 么此时这艘海警船与钓鱼岛上点A 的距离为 海里(结果保留根号)． １６．如图,已知直线y＝１２x＋２ 与x轴相交于点A,与抛物线y＝ax２＋bx＋c相交于y 轴上 的点B,抛物线y＝ax２＋bx＋c与x 轴只有唯一的交点C,且OC＝２．设直线y＝１２x＋２ 与抛物线y＝ax２＋bx＋c的另一个交点为点D,已知点 P 为x 轴上的一个动点,且 △PBD 为直角三角形,则点P 的坐标为 ． !"#$% ５９　 三、解答题 １７．按要求解下列方程． (１)用配方法解方程x２－４x＋１＝０; (２)用公式法解方程３x２＋５(２x－１)＝０; (３)用因式分解法解方程３(x－５)２＝２(５－x)． １８．如图,AB 为☉O 的直径,弦CD⊥AB,点E 为弦CD 上一点,且BE＝DE． (１)求证:△BCD∽△EBD;(２)若BD＝６cm,BE＝４cm,求CE 的长度． NEWHOPECUP ６０　 １９．在正方形ABCD 内找一点E,连接AE、BE、DE． (１)将△ABE 按顺时针方向旋转９０°到△ADF 的位置,如图１． ①设AB＝a,AE＝b,a＞b,求△ABE 旋转到△ADF 的过程中边BE 所扫过的区域 (图中阴影部分)的面积; ②若AE＝４,BE＝２,∠AEB＝１３５°,求DE 的长度． (２)如图２,若２AE２＝BE２＋DE２,求证:点E 在对角线BD 上． 图１　　　　　　　　　图２ ２０．已知二次函数y＝－x２＋bx＋c的图象经过点A(a,０)、B(０,b),其中实数a、b是方程x２ －６x＋５＝０的两个根,且a＜b． (１)求这个二次函数的解析式; (２)若(１)中的二次函数y＝－x２＋bx＋c的图象与x 轴的另一个交点为点C,顶点为点 D,求△BCD 的面积; (３)过线段OC上的一点E 作x 轴的垂线EF 交(１)中的二次函数的图象于点F,如果 △CEF 被直线BC 分成的两部分的面积之比为２∶３,求点E 的坐标． !"#$ 九年级训练题(十五) 一、选择题 １．B　提示:∠ACD 为旋转角． ２．D　提示:跟光线的角度有关． ３．C　提示:x(x－１)＝１０×２． ４．A　提示:点A(２,－２),k＝－２×２＝－４． ５．C　提示:设原来笔袋中黑色中性笔有x 支,红 色中性笔有y支,则 x x＋y＝ ２ ５ , x x＋y＋６＝ １ ４． ì î í ï ï ïï 解得 x＝４, y＝６．{ ６．A　提示:EFBF＝ CE AB＝ CE CD＝ １ ２ , S△AEF ＝ １３S△ABE ＝ １ ３ × １ ２S▱ABCD ＝ １ ６S▱ABCD , S△AEF∶S▱ABCD＝１∶６． ７．D　提示:易得△ABC为直角三角形,∴△ABC、 △ABD、ACD 的内切圆半径分别为 １２ (AB＋AC －BC),１２ (AD＋BD－AB)、１２ (AD＋CD－ NEWHOPECUP １４４　 AC),和为AD＝３×４５ ＝ １２ ５ (cm)． ８．C　 提 示:∵ 抛 物 线y＝ax２ ＋bx＋c 经 过 点 C １,－a２( ) ,∴－ a ２＝a＋b＋c , ∴２c＝－３a－２b, 由a＞２c＞b得a＞－３a－２b＞b, ∵抛物线开口向上,∴a＞０, ∴１＞－３－２ba ＞ b a ,解得－２＜ba ＜－１ , ∵抛 物 线 y＝ax２ ＋bx＋c 经 过 点A(x１,０)、 B(x２,０), ∴x１＋x２＝－ba ,x１x２＝ca ＝－ ３ ２－ b a , ∴ x１－x２ ＝ (x１＋x２)２－４x１x２ ＝ b a ＋２( ) ２ ＋２,∴ ２＜ x１－x２ ＜ ３． 二、填空题 ９．９　提示:CE＝BD＝１２BC＝９cm． １０．－１或６　提示:由a２－５ab＝６b２ 得a２－５ab－ ６b２＝０,∴a＝－b或a＝６b,又b为非零实数, ∴ab ＝－１ 或６． １１．２　提示:∵相似比为４∶５,∴周长之比为４∶ ５,周长之差为１８×５－４５＋４＝２． １２．４　提示:设圆锥的底圆半径为rcm,则２π×６× ２４０° ３６０°＝２πr ,解得r＝４cm． １３．８　 提示:连接 OB,则 S△AOD ＝S△BOD ＝ １２k , S△BOE＝S△COE ＝１２k ,k＝S△AOD ＋S△COE ＝S△BOD ＋S△BOE ＝SOEBD ＝８． １４．２　提示:２,１,２或２,２,１． １５．５ ２＋５ ６　提示:如图,过点B 作BD⊥AC于 点D,∠１＝２３°,∠３＝２２°,∴∠２＝５３°－２３°＝ ３０°,∠４＝１８０°－５３°－２２°－(９０°－３０°)＝４５°, ∴CD＝BD＝１０ ２ ＝５ ２(海里),AD＝ ３BD＝ ５ ６(海里),∴AC＝５ ２＋５ ６(海里)． １６．P１ (１,０)或 P２ ２９４ ,０( ) 　 提 示:由 题 意 得 点 A(－４,０)、B(０,２)、C(２,０),设y＝ax２＋bx＋c ＝a(x－２)２,则２＝a(０－２)２,解得a＝１２ ,∴y ＝ax２＋bx＋c＝１２ (x－２)２＝１２x ２－２x＋２, 即抛物线y＝ax２＋bx＋c的解析式为y＝１２x ２ －２x＋２． (Ⅰ)当点B 为直角顶点时,过点 B 作BP１⊥ AD 交x 轴 于 点 P１,连 接 DP１,如 图 １．由 Rt△AOB∽Rt△BOP１得AOBO＝ BO P１O , ∴４２＝ ２ OP１ ,解得OP１＝１, ∴点P１(１,０)． 图１ (Ⅱ)当点 D 为直角顶点时,过点 D 作DP２⊥ AD 交x 轴 于 点 P２,连 接 BP２,如 图 ２．则 △ABO∽△AP２D,∴ABAP２＝ AO AD , 由 y＝１２x＋２ , y＝１２x ２－２x＋２． ì î í ï ï ïï 得点D ５,９２( ) , 则AD＝９２ ５ ,∴２ ５AP２＝ ４ ９ ２ ５ , 解得AP２＝４５４ , 则OP２＝４５４－４＝ ２９ ４ ,∴点P２ ２９４ ,０( ) ． !"#$ １４５　 图２ (Ⅲ)当点P 为直角顶点时,过点 D 作DE⊥x 轴于点E,设点P３(x,０),如图３．由 Rt△OBP３ ∽Rt△EP３D 得OP３DE＝ OB P３E ,∴x９ ２ ＝ ２５－x ,方程 无解,∴ 点 P３ 不 存 在．综 上,点 P 的 坐 标 为 P１(１,０)或P２ ２９４ ,０( ) ． 图３ 三、解答题 １７．解:(１)原方程可变形为x２－４x＋４－４＋１＝０, 即(x－２)２＝３,x－２＝± ３,x＝２± ３． (２)原 方 程 可 变 形 为 ３x２ ＋１０x－５＝０,x＝ －１０± １０２－４×３×(－５) ２×３ ＝ －５±２ １０ ３ ． (３)原方程可变形为(x－５)(３x－１３)＝０, ∴x－５＝０或３x－１３＝０,∴x＝５或x＝１３３． １８．解:(１)∵BE＝DE,∴∠D＝∠１, ∵弦CD⊥直径AB,∴BC＝BD, ∴∠C＝∠D,∴∠C＝∠１, 又∠D＝∠D,∴△BCD∽△EBD． (２)∵△BCD∽△EBD, ∴CDBD＝ BC BE , ∵BD＝６cm,BE＝４cm, ∴BC＝BD＝６cm,DE＝BE＝４cm, ∴CD６ ＝ ６ ４ ,解得CD＝９cm, ∴CE＝CD－DE＝９－４＝５(cm)． １９．解:(１)①所求面积相当于下图中 １４ 环形的面 积,为１ ４π (AB２－AE２)＝１４π (a２－b２)． ②连接EF,则△AEF为等腰直角三角形, ∴EF＝ ２AE＝４ ２,∠AFE＝４５°, 而∠AEB＝１３５°,即∠AFD＝１３５° ∴∠DFE＝１３５°－４５°＝９０°, ∴DE＝ DF２＋EF２ ＝６． (２)如图,将△ABE绕点A 顺时针方向旋转９０° 到△ADG的位置,则△AEG 为等腰直角三角 形,∴ ∠EAG＝９０°,EG２ ＝２AE２,而 ２AE２ ＝ BE２＋DE２, ∴EG２＝BE２＋DE２,∴EG２＝DG２＋DE２, ∴∠EDG＝９０°,∴∠EAG＋∠EDG＝１８０°, ∴∠AED＋∠AGD＝１８０°, 即∠AED＋∠AEB＝１８０°, ∴点E在对角线BD 上． ２０．解:(１)解x２－６x＋５＝０得x＝１或x＝５, ∴a＝１,b＝５,∴点A(１,０)、B(０,５), 代入y＝－x２＋bx＋c得 b＝－４, c＝５．{ ∴这个二次函数的解析式为y＝－x２－４x＋５． (２)y＝－x２－４x＋５＝－(x＋２)２＋９, ∴点D(－２,９), 令y＝０,则－(x＋２)２＋９＝０, 解得x＝１或x＝－５,∴点C(－５,０), ∴△BCD 的面积为１２× (２＋５)×９－ １２ ×２× NEWHOPECUP (９－５)－１２×５×５＝１５． (３)直线 BC 的函数解析式为y＝x＋５,设点 E(x,０),直线BC 与线段EF 相交于点G(x,x ＋５)、F(x,－x２－４x＋５), 当FG EG＝ ２ ３ 时,FG EF＝ ２ ５ , ∴－x ２－４x＋５－(x＋５) －x２－４x＋５ ＝ ２ ５ , 解得x＝－５(舍),或x＝－２３ ; 当EG FG＝ ２ ３ 时,EG EF＝ ２ ５ ,∴ x＋５－x２－４x＋５＝ ２ ５ , 解得x＝－５(舍),或x＝－３２ , 因此点E的坐标为 －２３ ,０( ) 或 －３２,０( ) ．