训练题 14-“枫叶新希望杯”九年级数学竞赛训练题

!"#$% ５３　 九年级训练题(十四) 一、选择题 １．下列几何体中,主视图、侧视图、俯视图相同的是(　　)． A．圆锥　　 B．棱锥　　 C．球体　　 D．圆柱 ２．一个三角形的三边长分别为２cm、３cm 和４cm,另一个与其相似的三角形最小的边长为 ４cm,则与其相似的三角形的周长为(　　)． A．１４cm　　 B．１８cm　　 C．２２cm　 D．２６cm (第３题图) ３．如图,点A 为反比例函数y＝kx 图象上一点,过点A 垂直于两坐 标轴的垂线段与两坐标轴所围成的矩形(阴影部分)的面积为８, 则这个反比例函数的解析式为(　　)． A．y＝８x B．y＝－ ８ x C．y＝４x　　 　 D．y＝－ ４ x ４．已知关于x的方程x２＋bx－a＝０有且只有一个根x＝a(a≠０),则b的值为(　　)． A．２ B．－２　　 C．±２　　 　 D．以上都不是 ５．有六张扑克牌,上面的数字分别是１,２,３,４,５,６,从中任意抽取一张记下数字a,然后放回 洗匀,再任意抽取一张记下数字b,则抛物线y＝x２＋ax＋b与x 轴至多只有一个交点的 概率为(　　)． A．４９ B． １７ ３６ C． １ ２ D． １９ ３６ ６．在△ABC中,∠A＝７５°,∠B＝９０°,若BC＝１,则AB＝(　　)． A．２－１ B．２＋１ C．２－ ３ D．２＋ ３ ７．如图,在等边△ABC内有一点P,使得∠APC∶∠APB∶∠BPC＝５∶６∶７,那么以AP、 BP、CP 的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为(　　)． A．２∶３∶４ B．３∶４∶５　　 C．４∶５∶６　　 　 D．５∶６∶７ (第７题图) 　　　　　　　 (第８题图) ８．如图,已知四边形ABCD 为☉O 的内接四边形,点E 为BC 上一点,其中☉O 的半径为 NEWHOPECUP ５４　 １０cm,AB＝AD＝AE＝DE＝８cm,则CD 的长度为(　　)． A．８cm B．９cm C．１０cm D．１２cm 二、填空题 ９．如图,一张长方形的纸片被分成了１２个相同的小正方形,其中阴影部分是一个正方体平 面展开图的一部分,现从其余小正方形中任选一个,能与阴影部分共同构成正方体平面展 开图的概率是 ． １０．已知与点(６,８－４a)关于原点对称的点在第三象限内,则a的取值范围是 ． １１．如果关于x 的方程２x(ax－４)－x２ ＋６＝０没有实数根,那么a 的最小整数值为 ． １２．反比例函数y＝kx 的图象交直线y＝mx＋１于点(n,２),且与反比例函数y＝２x 的图象关 于x 轴对称,则m 的值为 ． １３．某地面是由三种正多边形的大理石地板镶嵌铺成的,记这三种正多边形的边数分别为a、 b、c,则１a＋ １ b＋ １ c＝ ． １４．如图,正方形ABCD 的边长为２,点E 为AD 的中点,点F、G 分别为BC、CD 上的动点, 且FG＝１,当△ABE 与以点C、F、G 为顶点的三角形相似时,CF＝ ． (第１４题图) 　　　　　　　 (第１５题图) １５．如图,☉O 为△ABC 的外接圆,OC 的延长线上有一点D,使得∠CAD＝３０°,若OD⊥ AB,sinB＝１２ ,BC＝８cm,则AD＝ cm． １６．已知二次函数y＝－１２x ２＋x＋４的图象与x轴交于点A、B(点A 在点B 左边),与直线 x＝２交于点C,若点 D 在y 轴正半轴上,且△BCD 为等腰三角形,则点 D 的坐标为 ． !"#$% ５５　 三、解答题 １７．解方程(５－２x)２＝x２－６x＋９． １８．按相同路线行驶完同一条路,开车的速度不同,所用的时间也不相同．下表列出了几个不 同的司机按相同路线行驶完同一条路时速度和时间的一些数据． (１)写出时间t(小时)关于速度v(千米/小时)的函数关系式; (２)将表格填写完整; (３)如果某人上午１１:００从这条路的一个端点开始出发,以每小时１２０千米的速度行驶, 那么他行驶完这条路时是什么时候? NEWHOPECUP ５６　 １９．如图,四边形ABCD 为正方形,点E 为BC 延长线上一点,连接AE,交BD 于点F,交 CD 于点G,连接CF． (１)求证:CF 与△CEG 的外接圆相切; (２)当CE＝CF 时,判断CG 和EF 有怎样的数量关系? 并说明理由; (３)在(２)的条件下,求DG 与CG 的比值． ２０．已知抛物线y＝ax２＋bx＋c(a＞０)的图象与x轴相交于A、B 两点,与y轴相交于点C, 顶点为D 点,且方程x２＋４x－５＝０的根同时满足一元二次方程ax２＋bx＋c＝０． (１)求△ACD 的面积与△ABC的面积之比; (２)若∠ADC＝９０°,求抛物线y＝ax２＋bx＋c(a＞０)的解析式． !"#$ 九年级训练题(十四) 一、选择题 １．C　提示:球体的三视图都是相同的圆． ２．B　提示:易知相似比为２∶４＝１∶２, ∴周长比也为１∶２． ３．B　提示:k ＝８,又图象在第二、四象限, ∴y＝－８x． ４．A　提示:由题意有a２＋ab－a＝０,∵a≠０, ∴a＋b＝１,又 Δ＝b２＋４a＝０,解得b＝２． ５．D　提示:基本事件总数为６×６＝３６,满足 Δ＝ NEWHOPECUP １４２　 a２－４b＞０的a、b有１７对,满足 Δ＝a２－４b≤０ 的a、b有１９对,∴所求概率为１９３６． ６．C　提示:设AC的中垂线交BC 于点D,AB＝x, 则BD＝ ３x,CD＝AD＝２x,∴ ３x＋２x＝１,x ＝２－ ３． ７．A　提示:如图,将△ABP 绕点A 逆时针方向旋 转６０°到△ACQ 的位置,连接 PQ,则BP＝CQ, △APQ为等边三角形,PQ＝AP,∴△PCQ 是一 个以 AP、BP、CP 的 长 度 为 边 长 的 三 角 形, ∠CPQ＝３６０°× ５５＋６＋７－６０°＝４０° ,∠PQC＝ ３６０°× ６５＋６＋７－６０°＝６０° ,∴ ∠PCQ＝１８０°－ ６０°－４０°＝８０°． ８．C　提示:连接OA、OD,∵四边形ABCD 为☉O 的内接四边形,∴∠B＋∠ADC＝１８０°,即∠B＋ ∠ADE＋ ∠CDE＝１８０°,∵AB＝AD＝AE＝ DE,∴∠B＝∠AEB,∠ADE＝∠AED＝６０°, ∴∠AEB＋∠AED＋ ∠CDE＝１８０°,又 ∠AEB ＋∠AED＋∠CED＝１８０°,∴∠CDE＝∠CED, ∴△CDE为等腰三角形,∵AB＝AD＝DE,∴ ∠AOD＝∠C,∴等腰△AOD≌等腰△ECD,∴ OD＝CD＝１０cm． 二、填空题 ９．４７　 提示:共有７种等可能的选法,其中满足条 件的选法有４种． １０．a＜２　提示:与点(６,８－４a)关于原点对称的点 是(－６,４a－８),∴４a－８＜０,a＜２． １１．２　提示:方程可整理为(２a－１)x２－８x＋６＝０, ∵方程没有实数根,∴Δ＝(－８)２－４×６(２a－ １)＜０,解得a＞１１６． １２．－１　提示:由反比例函数y＝kx 的图象与y＝ ２ x 的图象关于x 轴对称知k＝－２,当y＝２时, x＝－１,即n＝－１,∴２＝－m＋１,∴m＝－１． １３．１２ 　 提 示:(a－２)×１８０° a ＋ (b－２)×１８０° b ＋ (c－２)×１８０° c ＝３６０° ,解得１ a＋ １ b＋ １ c＝ １ ２． １４．５５ 或２ ５ ５ 　 提示:AB＝２,AE＝１,BE＝ ５, ∴CF１ ＝ １ ５ 或CF ２ ＝ １ ５ ,解得CF＝ ５５ 或２ ５ ５ ． １５．８ ３　提示:连接OA,易证AD 为☉O 的切线, ∠D＝ ∠B＝３０°,OA＝BC＝８cm,∴AD ＝ ８ ３cm． １６．０,１２( ) 或(０,２)　提示:易得点B(４,０),C(２, ４),BC２＝２０,设点 D(０,d),①若BD＝CD,则 d２＋４２＝(４－d)２＋２２,解得d＝ １２ ;②若BC＝ CD,则(４－d)２＋２２＝２０,解得d＝０(舍)或d＝ ８(舍);③若BC＝BD,则d２＋４２＝２０,解得d＝ －２(舍)或d＝２,所以点D 的坐标为 ０,１２( ) 或 (０,２)． 三、解答题 １７．解:原方程可化为(５－２x)２＝(x－３)２,∴５－２x ＝x－３或２x－５＝x－３,解得x＝２或x＝８３． １８．解:(１)路程为１５０×４＝６００(千米),路程一定 时,时间和速度成反比例函数关系,即t＝６００v ． (２)填表如下: (３)６００÷１２０＝５(小时),１１:００＋５＝１６:００,即 下午４时．答:略． １９．(１)证明:∵四边形ABCD 为正方形, ∴AD＝CD,∠ADF＝∠CDF,又DF＝DF, ∴△ADF≌△CDF,∴∠DAF＝∠２, ∵AD∥BE,∴∠DAF＝∠E,∴∠２＝∠E, !"#$ 取EG的中点H,连接CH, 则CH＝EH＝GH 为△CEG外接圆的半径, ∴∠１＝∠E,∠４＝∠５,∴∠１＝∠２, ∵∠１＋∠４＝９０°,∴∠２＋∠４＝９０°, ∴CF⊥CH,所以CF与△CEG的外接圆相切． (２)EF＝３CG．理由如下:∵CE＝CF, ∴∠３＝∠E＝∠１＝２,∴CG＝FG,∠５＝∠２＋ ∠３＝２∠E,而∠５＋∠E＝９０°,∴∠E＝３０°, ∴EG＝２CG,∴EF＝３CG． (３)设CG＝x,则FG＝x,CE＝CF＝AF＝ ３x, ∴AG＝(３＋１)x, 由(２)知∠DAF＝∠E＝３０°, ∴DG＝１２AG＝ (３＋１)x ２ ,∴DGCG＝ ３＋１ ２ ． ２０．解:(１)解x２＋４x－５＝０得x＝－５或x＝１, ∴点A(－５,０)、B(１,０)或点 A(１,０)、B(－５, ０), ∴y＝a(x＋５)(x－１)＝a(x＋２)２－９a,a＞０, 对称轴方程为x＝－２,顶点的坐标为 D(－２, －９a), 令x＝０,得y＝－５a,∴点C(０,－５a),得到图 象如图１或图２: 图１ 图２ 过点D 作DE⊥y 轴于点E,则 DE＝２,OE＝ ９a,CE＝OE－OC＝４a,∴S△ACD ＝S梯形ADEO － S△CDE－S△AOC ＝１５a,或S△ACD ＝S△ADE －S△CDE －S△ACE ＝３a,而S△ABC＝１２AB 􀅰OC＝１５a, ∴S△ACD ∶S△ABC＝１∶１或S△ACD ∶S△ABC ＝１∶ ５． (２)若∠ADC＝９０°,则AD２＋CD２＝AC２． 而在图１的情况下, AD２＝AF２＋DF２＝９＋８１a２,CD２＝CE２＋DE２ ＝４＋１６a２,AC２＝OA２＋OC２＝２５＋２５a２, ∴９＋８１a２＋４＋１６a２＝２５＋２５a２, 解得a＝ ６６ ,满足条件; 在图２的情况下,AD２＝AF２＋DF２＝９＋８１a２, CD２＝CE２＋DE２＝４＋１６a２,AC２＝OA２＋OC２ ＝１＋２５a２, ∴９＋８１a２＋４＋１６a２＝１＋２５a２,方程无实根． 综上,a＝ ６６ , ∴抛物线的解析式为 y＝ ６６ (x＋５)(x－１)＝ ６６x ２＋２ ６３ x－ ５ ６ ６ ．