训练题 13-“枫叶新希望杯”九年级数学竞赛训练题

!"#$% ４９　 九年级训练题(十三) (第１题图) 一、选择题 １．如图,在☉O 中,弦AB、CD 相交于点E,如果∠AEC＝６５°,∠D＝ ６０°,那么∠C＝(　　)． A．４５° B．５５° C．６０° D．６５° ２．已知方程kx２ ＋５x＋k２ －k＝０的一个根是 ０,则k 的取值为 (　　)． A．k≠０　　 B．k＝０ C．k＝１　　 D．k＝０或k＝１ ３．如果两个等边三角形的边长之比为１∶２,那么它们的面积之比为(　　)． A．１∶１ B．１∶ ２ C．１∶２ D．１∶４ ４．欣欣、希希、望望、贝贝四名同学按任意顺序轮流值日,希希值日后,下一个恰好轮到望望 的概率是(　　)． A．１４ B． １ ６ C． １ ８ D． １ １２ ５．已知实数a、b、c满足:a＞０,a－b＋c＜０,则下列不等式成立的是(　　)． A．b２＞４ac B．b２≥４ac C．b２≤４ac D．b２＜４ac ６．在温度不变时,某气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m３)的反比例函数,函数图象 如图所示,当气球内的气压大于１２０kPa时,气球将会涨破,要想气球不破,气球内气体的 体积应满足的条件是(　　)． A．不小于５４m ３ B．小于５４m ３ C．不小于４５m ３ D．小于４５m ３ (第６题图) 　　　　　　　 (第７题图) ７．如图,正方形ABCD 的边长为８cm,把AB、CD 分别绕点B、C 按顺时针方向旋转６０°得到 A′B、CD′,D′A′的延长线交AC 于点O,现有下列结论:①四边形A′BCD′为菱形;②四边 形A′BCD′的面积为正方形ABCD 面积的一半;③OA′＝４(３－１)cm．其中正确的结论有 (　　)． A．３个 B．２个 C．１个 D．０个 NEWHOPECUP ５０　 ８．已知关于x的一元二次方程３x２－ax＋１＝０的两根分别为sinθ、cosθ,则sin４θ＋cos４θ＝ (　　)． A．１ B．７９ C． １ ３ D． ２ ９ 二、填空题 ９．从－８,－６,８这三个数中任选两个不同的数作为点A 的坐标,则点A 在第二象限的概率 为 ． １０．如图,在直角△ABC中,AB＝４cm,AC＝３cm,☉O 与AB、AC 都相切,且圆心在斜边BC 上,则☉O 的半径为 cm． １１．代数式－a２－２b２－２a＋８b－５的最大值为 ． １２．在△ABC中,DE∥BC分别交AB、AC于点D、E,如果AD∶BD＝３∶２,则△ADE 与四 边形BCED 的面积之比为 ． １３．计算(１－cos４５°＋cos６０°)(１＋sin４５°＋sin３０°)＝ ． １４．已知一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝kx 的图象相交于点(－１,－４)、(２,m), 则a＋２b的值为 ． １５．已知在△ABC中,∠B＝９０°,AB＝８,BC＝６,在斜边BC 上有一点G,CG＝６,把△ABC 绕点G 按逆时针方向旋转９０°得到△DEF,则旋转后两个三角形重叠部分(图中阴影部 分)的面积为 ． (第１５题图) 　　　　　　 (第１６题图) １６．如图,抛物线l１:y＝(x－１)２－４与x轴交于点A、B(点A 在点B 的左边),与y轴交于 点C,抛物线l２:y＝x２＋ax＋b由抛物线l１ 向右平移后得到,与x轴交于点D、E(点D 在点E 的左边),且交抛物线l１ 于点F,若△AEF 为等腰直角三角形,则抛物线l２ 的函 数解析式为 ． !"#$% ５１　 三、解答题 １７．两个连续整数的积为１２,求这两个整数． １８．一个正方形铝片的边长为６０cm,现在铝片的四个角上截去两个相同的正方形和两个相 同的长方形,如图所示,剩余部分折合起来恰好构成一个长方体的盒子,其中虚线所示部 分为截去部分,阴影部分分别为盒子的底面与盖子．若底面的短边为盒子高的２倍,求这 个盒子的高． NEWHOPECUP ５２　 １９．如图,过x轴上的点A０、A１、A２、A３、􀆺、An 分别作y 轴的平行线,分别交反比例函数y＝ k x 的图象于点B０、B１、B２、B３、􀆺、Bn,交直线y＝k于点B０、C１、C２、C３、􀆺、Cn,已知OA０ ＝A０A１＝A１A２＝A２A３＝􀆺＝An－１An． (１)求点A０ 的坐标;(２)求B１C１A１B１ 和B２C２ A２B２ 的值;(３)猜想BnCnAnBn 的值,直接写出答案． ２０．如图,在矩形ABCD 中,AD＝ ３AB＝９,过AB 上的动点E(点E 与端点A、B 不重合)作 EF∥AC,交AD 于点F,再把△AEF 沿EF 翻折,点A 的对应点为点G,设AE＝x, △EFG 与矩形ABCD 重叠部分的面积为y． (１)求当x为何值时,点G 落在边BC 上? (２)求出y与x 之间的函数关系式,并求出当x为何值时,y∶S矩形ABCD＝７∶２７? NEWHOPECUP １４０　 九年级训练题(十三) 一、选择题 １．B　提示:∠BED＝∠AEC＝６５°,∴∠B＝１８０°－ ６０°－６５°＝５５°,∴∠C＝∠B＝５５°． ２．D　提示:当x＝０时,有k２－k＝０, 解得k＝０或k＝１,检验知都满足要求． ３．D　提示:面积之比为边长之比的平方． ４．A　提示:６２４＝ １ ４． ５．A　提示:考察二次函数y＝ax２＋bx＋c,当a＞０ 时,开口向上,由a－b＋c＜０知,当x＝－１时, 函数值小于０,图象经过x 轴下方,∴图象与x 轴有两个不同的交点． ６．C　提示:设P＝FV ,则F＝PV＝６０×１．６＝９６, 由P＝FV ＝ ９６ V ≤１２０ 得V≥４５． ７．A　 提示:A′B 与CD′平 行 且 相 等,∴ 四 边 形 A′BCD′为平行四边形,又A′B＝BC＝CD′,∴四 边形A′BCD′为菱形,①正确;∵∠ABA′＝６０°, ∠ABC＝９０°,∴∠A′BC＝３０°,∴点A′到BC 的 距离为A′B 的一半,即为AB 的一半,而四边形 A′BCD′与正方形ABCD 的底边BC 相同,∴② 正确;OD′＝CD′sin６０°＋１２AD＝４ ３＋４ (cm), ∴OA′＝OD′－A′D′＝４(３－１)cm,③正确． ８．B　 提 示:sin２θcos２θ＝ １９ ,sin４θ＋cos４θ＝ (sin２θ＋cos２θ)２－２sin２θcos２θ＝１－２×１９＝ ７ ９． 二、填空题 ９．１３　 提示:点A 的坐标有６种情况,其中点A 在 第二象限的情况有２种． １０．１２７　 提示:４－r r ＝ r ３－r ,解得r＝１２７cm． １１．４　提示:－a２－２b２－２a＋８b－５＝－(a＋１)２－ ２(b－２)２＋４． １２．９∶１６　提示:∵AD∶BD＝３∶２, ∴AD∶AB＝３∶５,∴S△ADE ∶S△ABC＝９∶２５, ∴ △ADE 与 四 边 形 BCED 的 面 积 之 比 为 ９∶１６． １３．７４　 提示:原式＝ １－ ２２＋ １ ２ æ è ç ö ø ÷ １＋ ２２＋ １ ２ æ è ç ö ø ÷ ＝ ７ ４． １４．－２　提示:k＝－１×(－４)＝４,m＝４÷２＝２, ∴ －４＝－a＋b, ２＝２a＋b．{ ∴a＋２b＝－２． １５．１４４２５ 　 提 示:由 已 知 得 AG＝４,由 △AGN ∽ △ABC得ANAC＝ GN BC＝ AG AB＝ ４ ８ ,∴AN＝ １２AC ＝５,GN＝ １２BC＝３． 过点G 作GP⊥AB 交于 点P,作GQ⊥EF 交于点Q,则GP＝AG 􀅰GN AN ＝１２５． 由△GQF∽△DEF 得GQDE＝ GF DF＝ AG AC＝ ４ １０ ,∴GQ＝１２５ ,从而易得△GPN≌△GQH,∴ 阴影部分的面积等于正方形GPMQ的面积, 为１４４ ２５． １６．y＝x２－６x＋５　提示:过点F 作FG⊥x轴,垂 足为点G,则AG＝FG＝EG．设点F(t,－t－１), 则－t－１＝(t－１)２－４,解得t＝－１(舍)或t＝ ２,∴点F(２,－３),易求得点C 的坐标为C(０, －３),向 右 平 移 ２ 个 单 位 长 度 即 得 点 F(２, －３),即抛物线l２ 由抛物线l１ 向右平移２个单 位长度得到,∴抛物线l２ 的函数解析式为y＝ (x－３)２－４,即y＝x２－６x＋５． !"#$ 三、解答题 １７．解:设这两个连续的整数分别为x和x＋１,则 x(x＋１)＝１２,解得x＝３或x＝－４, ∴这连个整数分别为３、４或－４、－３． １８．解:设这个盒子的高为x,则底面的短边为２x, 根据题意有６０÷２－x＝２x,解得x＝１０cm．答: 略． １９．解:(１)∵直线y＝k上的点B０ 也在反比例函数 y＝kx 的图象上,∴点B０(１,k),∴点A０(１,０)． (２)由(１)知,点A０(１,０),∴点A０(１,０),∴点 A１(２,０),点B１ ２,k２( ) ,点C１(２,k),点A２(３, ０),点B２ ３,k３( ) ,点C２(３,k), ∴A１B１＝B１C１＝k２ ,A２B２＝k３ ,B２C２＝２k３ , ∴B１C１A１B１＝１ ,B２C２ A２B２＝２． (３)BnCnAnBn＝n． ２０．解:(１)当点G 落在边BC 上时,∵AE＝EG＝ x,AD＝ ３AB＝９,∴AB＝３ ３,BE＝３ ３－x, 又∵∠AEF＝∠FEG＝∠BEG＝６０°, ∴EG＝２BE,即x＝２(３ ３－x),解得x＝２ ３． (２)当点G落在矩形ABCD 内部或边BC 上时, △EFG 与 矩 形ABCD 重 叠 部 分 的 面 积 即 为 △EFG的面积, 而S△EFG ＝S△AEF ＝ １２AE 􀅰AF＝ １２x 􀅰 ３x＝ ３ ２x ２,０＜x≤２ ３,∴y＝ ３２x ２,０＜x≤２ ３． 当点G 落在矩形ABCD 外部时,设EG、FG 分 别交BC 于点M、N,此时２ ３＜x＜３ ３,如下 图: ∵AE＝EG＝x,∠AEF＝ ∠FEG＝ ∠BEG＝ ６０°, ∴BE＝３ ３－x,FG＝ ３xME＝２BE＝２(３ ３ －x),∠BME＝∠GMN＝３０°, ∴GM＝EG－ME＝x－２(３ ３－x)＝３x－ ６ ３,GN＝ ３x－６, ∴y＝１２EG 􀅰FG－１２GM 􀅰GN＝１２x 􀅰 ３x－ １ ２ (３x－６ ３)􀅰(３x－６)＝－ ３x２＋１８x－ １８ ３, 即当２ ３＜x＜３ ３时,y＝ － ３x２ ＋１８x－ １８ ３． 综上,y与x 之间的函数关系式为 y＝ ３ ２x ２,０＜x≤２ ３, － ３x２＋１８x－１８ ３,２ ３＜x＜３ ３． { ∵７２７S矩形ABCD ＝ ７ ２７×９×３ ３＝７ ３ , 而当０＜x≤２ ３时,y＝ ３２x ２ 随x的增大而增 大,ymax＝６ ３＜７ ３,即此时不可能得到y∶ S矩形ABCD ＝７∶２７; 当２ ３＜x＜３ ３时,由y∶S矩形ABCD ＝７∶２７得 y＝－ ３x２＋１８x－１８ ３＝７ ３,解得x＝３ ３ －２或x＝３ ３＋２, 而x＝３ ３＋２不满足２ ３＜x＜３ ３,∴舍去, ∴x＝３ ３－２． 综上,当x＝３ ３－２时,y∶S矩形ABCD ＝７∶２７．