训练题 10-“枫叶新希望杯”九年级数学竞赛训练题

!"#$% ３７　 九年级训练题(十) (第１题图) 一、选择题 １．如图的几何体是由若干个相同的小正方体组成的,下列说法正确 的是(　　)． A．正视图面积最小 B．侧视图面积最小 C．俯视图面积最小 D．三种视图的面积相等 ２．已知方程x２＋２x＋k＝０有两个同号的实数根,则k的取值范围是(　　)． A．k＜１　　 B．０＜k≤１　　 C．０≤k＜１　　 D．k＞０ ３．已知一个梯形两底长分别为６cm 和１０cm,高为３cm,则两腰延长线的交点到较长底边的 距离为(　　)． A．５cm　　 B．５．５cm　　 C．６cm　　 　 D．７．５cm ４．已知点A 是第一象限内的点,且在反比例函数y＝４x 的图象上,将点A 绕原点O 旋转１８０° 后得到点B,过点B 作BC⊥y轴于点C,过点A 作AD⊥x轴于点D,则四边形ABCD 的 面积为(　　)． A．２ B．４ C．６　 D．８ ５．在同一坐标系中,直线y＝ax＋b和抛物线y＝ax２＋bx的图象可能为(　　)． A． 　　 B． 　　 C． 　　 D． ６．某班体育委员的抽屉里有５个乒乓球,其中有三个是白色的,两个是黄色的,上体育课的 时候,他随手从抽屉里同时拿了两个乒乓球,则他所拿的乒乓球恰好一个白色一个黄色的 概率为(　　)． A．３５ B． ２ ５ C． １ ５ D． １ ６ ７．已知在一个圆中,直径为 AB,弦 AC、BD 相交于点E,若BC︵＝CD︵,∠BEC＝６０°,则 tan∠ACD＝(　　)． A．１２ B．２ C． ３ ３ D．３ NEWHOPECUP ３８　 ８．如图,有一个圆桶,里面装有两个不变形的球体,其中大球的半径为R＝３０cm,小球的半径 为r＝２０cm,两球顶部到桶的顶部的距离分别为a＝４０cm,b＝２０cm,那么桶的内部直径x 为(　　)． A．６０cm B．７０cm C．８０cm D．９０cm 二、填空题 ９．操场上的旗杆高８米,阳光下的影子长为６米,同时测得旁边一建筑物的影子长为２１米, 则该建筑物的高度为 米． １０．如图,在等腰直角△ABC 中,∠A＝９０°,点 D 为△ABC 内一点,且AD＝８cm,如果将 △ABD 按逆时针方向旋转到△ACE 的位置,那么DE 的长度为 cm． １１．从同一副扑克牌中抽出a张红桃,b张黑桃,１０张方块,然后洗匀,再从洗匀的这叠扑克 牌中抽取一张牌,如果抽出的牌是方块的概率与不是方块的概率相同,那么a、b之间的 关系是 ． １２．已知☉O１ 的半径为８cm,☉O２ 是一个动圆,如果☉O２ 与☉O１ 有且只有一个公共点,且 O１O２＝６cm,则☉O２ 的半径为 cm． １３．若方程k２x２＋kx－１＝０和x２－kx－k２＝０有公共的实数根,则k的值有 个． (第１４题图) １４．如图,点A、B 在第一象限,且为反比例函数y＝４x 图象上的两点, 点A、B 关于原点对称的对应点分别为点C、D,若点B 的横坐标是 点A 横坐标的４倍,则图中阴影部分的面积为 ． １５．在△ABC中,∠ACB＝９０°,∠ACB 的平分线CD 交AB 于点D,如 果CD＝AC－BC,那么tanA 的值为 ． １６．抛物线y＝x２－３２x－１ 与x轴交于点A、B(点A 在点B 左边),与 y轴交于点C,若在该抛物线上存在另一点D,使得以点A、B、C、D 为顶点的四边形是直 角梯形,则点D 的坐标为 ． !"#$% ３９　 三、解答题 １７．如图为一个立体图形的两种视图,其中三角形为主视图,高为９cm;圆为俯视图,直径为 ８cm．求出这个立体图形的体积． 主视图　　　　　　　　　 俯视图 １８．一个不透明的笔袋里装有若干支黑色、红色和蓝色这三种颜色的中性笔(除笔芯颜色外, 其余都相同),其中黑色中性笔有２支,红色中性笔有１支,从中任意摸出的一支笔是黑 色中性笔的概率为１ ２． (１)求笔袋中蓝色中性笔有多少支? (２)第一次任意摸出一支笔(不放回),第二次再摸出一支笔,请用树状图或列表法求出两 次摸到的都是黑色中性笔的概率． NEWHOPECUP ４０　 １９．如图,在平面直角坐标系xOy中有一个任意锐角∠AOB,其中OA 在x 轴上,OB 在第一 象限,且与函数y＝１x 的图象相交于点C,以点C为圆心、以２OC的长度为半径的圆与点 C 右方的函数图象相交于点D,过点C、D 分别平行x 轴、y 轴的直线相交于点E,CD、 OE 相交于点F,过点 D、C 分别平行x 轴、y 轴的直线相交于点G．求证:∠AOE＝ １ ３∠AOB． ２０．已知抛物线y＝ax２＋bx过定点(１,２),一条直线经过点(０,２)和(１,２－b),其中a、b为实 数,且a＞b＞０． (１)用含b的式子表示这条直线的函数解析式; (２)求证:已知抛物线与直线有两个不同的交点; (３)过(２)中的两个交点分别作x轴的垂线,垂足分别为点A、B,求 AB 的取值范围． !"#$ １３５　 九年级训练题(十) 一、选择题 １．B　提示:正视图有５个正方形,侧视图有４个正 方形,俯视图有６个正方形． ２．B　提示:由２２－４k≥０得k≤１;由两根同号得k ＞０,∴０＜k≤１． ３．D　提示:设所求距离为x厘米,则x－３x ＝ ６ １０ ,解 得x＝７．５． ４．C　提示:S△AOD ＝S△BOC＝S△COD ＝２． ５．D　提示:抛物线开口向下与直线向右下倾斜一 致,∴a＜０;由直线与y轴交于负半轴,知b＜０, ∴x＝－b２a＜０ ,与对称轴在y轴左侧一致;又直 线与抛物线相交于x轴上的同一点 －ba ,０( ) , 且抛物线过原点(０,０)． ６．A　提示:所拿的球共有５×４÷２＝１０(种)情况, 恰好一个白色一个黄色的有３×２＝６(种),概率 为３ ５． ７．C　提示:如图,连接AD,则AD⊥BD,∵∠BEC ＝６０°,BC︵＝CD︵,∴∠BAC＝∠CAD＝３０°,从而 ∠ABD＝∠ACD＝３０°,∴tan∠ACD＝ ３３． ８．D　提示:O１O２＝R＋r＝５０cm,AO２＝a＋R－(b ＋r)＝３０cm,∴AO１＝４０cm,∴x＝AO１＋R＋r ＝９０cm． 二、填空题 ９．２８　提示:设该建筑物的高度为x,则x２１＝ ８ ６ ,解 得x＝２８． １０．８ ２　提示:DE＝ ２AD＝８ ２． １１．a＋b＝１０　提示:方块的张数是整叠扑克牌张 数的一半． １２．２或１４　提示:☉O２ 是☉O１ 的内切圆或☉O１ 是☉O２ 的内切圆． １３．４　提示:联立方程k２x２＋kx－１＝０和x２－kx －k２＝０得(k２＋１)(x２－１)＝０,解得x＝±１, ∴k２＋k－１＝０ 或k２ －k－１＝０,解 得k＝ －１± ５ ２ 或k＝１± ５２ ,即k的值共有４个． NEWHOPECUP １３６　 １４．１５　提示:设点A 的横坐标为a,则点B的横坐 标为４a,S△AOB ＝４＋１２ ４ ４a＋ ４ a( ) 􀅰(４a－a)－ ４＝１５２ ,∴阴影部分面积为１５． １５．６－ ２２ 　 提示:过点D 作DE∥AC交BC 于点 E,设AC＝a,BC＝b,则CD＝a－b,DE＝CE＝ ２ ２ (a －b),由 DEAC ＝ BE BC 得 ２ ２ (a－b) a ＝ b－ ２２ (a－b) b ,即b２＋ ２ab－a２ ＝０, ba( ) ２ ＋ ２􀅰ba －１＝０ ,解得b a ＝ － ６－ ２ ２ (舍),或b a ＝ ６－ ２２ ,∴tanA＝ ６－ ２２ ． １６． ５２ ,３ ２( ) 或 － ５ ２ ,９( ) 　 提示:由已知可得点 A －１２ ,０( ) 、B(２,０)、C(０,－１),易得∠ACB＝ ９０°,直线AC的解析式为y＝－２x－１,直线BC 的解析式为y＝１２x－１． (１)若BC为一条底边,则过点A 作AD１∥BC 交抛物线于点D１,则直线AD１ 的解析式为y＝ １ ２x＋ １ ４ ,联立y＝x２－ ３２x－１ 解得点 D１ 的 坐标为 ５ ２ ,３ ２( ) ;(２)若 AC 为一条底边,则过 点B 作BD２∥AC 交抛物线于点D２,则直线 BD２ 的解析式为y＝－２x＋４,联立y＝x２－ ３ ２x－１ 解得点D２ 的坐标为 －５２ ,９( ) ． 三、解答题 １７．解:该立体图形是一个圆锥,体积为 １３ ×π× ８ ２( ) ２ ×９＝４８π(cm３)．答:略． １８．解:(１)设 笔 袋 中 蓝 色 中 性 笔 有 x 支,则 ２ ２＋x＋１＝ １ ２ ,解得x＝１．答笔袋中蓝色中性笔 有１支． (２)解法一:树状图法 由树状图可知,共有１２种等可能的结果,其中两 次摸到的都是黑色中性笔的情形有２种,∴两次 摸到的都是黑色中性笔的概率为２ １２＝ １ ６． 解法二:列表法 由列表可知,共有１２种等可能的结果,其中两 次摸到的都是黑色中性笔的情形有２种, ∴两次摸到的都是黑色中性笔的概率为 ２１２＝ １ ６． １９．证明:设点C a,１a( ) 、D b, １ b( ) , 则点E的坐标为 b,１a( ) , ∴直线OE的函数关系式为y＝１abx , 而点G的坐标为 a,１b( ) ,满足y＝ １ abx , ∴点G在直线OE 上． ∵四边形CEDG为矩形, ∴FG＝CF＝DF＝１２CD ,∴∠FGD＝∠FDG, ∵CD＝２OC,∴OC＝CF＝ １２CD ,∴∠COF＝ ∠CFO,而 ∠CFO ＝ ∠FGD ＋ ∠FDG ＝ ２∠FGD,∠FGD＝∠FOA, ∴∠COF＝∠CFO＝２∠FGD＝２∠FOA, ∴∠FOA＝１３∠AOB ,即∠AOE＝１３∠AOB． ２０．解:(１)设直线的函数解析式为y＝kx＋２,则２ －b＝k＋２,得k＝－b,∴直线的函数解析式为 y＝－bx＋２． (２)∵抛物线y＝ax２＋bx过定点(１,２), ∴a＋b＝２,由 y＝ax２＋bx, y＝－bx＋２, a＋b＝２． ì î í ïï ï 可得方程(∗): ax２＋２(２－a)x－２＝０, ∵Δ＝４(２－a)２＋８a＝４(a－１)２＋１２＞０, ∴方程(∗)有两个不相等的实数根, !"#$ ∴方程组有两个不同的解, ∴已知抛物线与直线有两个不同的交点． (３)设(２)中两个交点的横坐标分别为x１、x２, 则点A(x１,０)、B(x２,０), 由方程(∗):ax２＋２(２－a)x－２＝０可得x１＋ x２＝２ (a－２) a ,x１􀅰x２＝－２a , ∴ x１－x２ ＝ (x１＋x２)２－４x１􀅰x２ ＝ ４(a－２)２ a２ ＋ ８ a ＝ ４ a－１( ) ２ ＋３, ∵a＞b＞０,a＋b＝２,∴１＜a＜２, 当１＜a＜２时,４＜ ４a－１( ) ２ ＋３＜１２, ∴２＜ ４a－１( ) ２ ＋３＜２ ３, ∴２＜ x１－x２ ＜２ ３,即２＜ AB ＜２ ３．