训练题 9-“枫叶新希望杯”九年级数学竞赛训练题

!"#$% ３３　 九年级训练题(九) 一、选择题 １．如图,将下面的左图按逆时针方向旋转９０°后可以得到的图案是(　　)． 　　 A． 　　 B． 　　 C． 　　 D． ２．对于反比例函数y＝－３x ,下列说法不正确的是(　　)． A．图象必经过点(－１,３)　 B．y随x 的增大而增大 C．图象在第二、四象限 D．若x＜－１,则y＜３ ３．方程(x－２０１５)(x－２０１４)＝x－２０１５的解是(　　)． A．x＝２０１３ B．x＝２０１４ C．x＝２０１５ D．x＝２０１４或x＝２０１５ ４．若锐角θ满足sinθ＝０．８,则以下结论正确的是(　　)． A．０°＜θ＜３０° B．３０°＜θ＜４５° C．４５°＜θ＜６０° D．６０°＜θ＜９０° ５．已知点A、B 为抛物线y＝x２－８x＋１５与x轴的交点,点C 为该抛物线上的一个动点,其 中使得△ABC的面积为１的点C的个数有(　　)． A．１个 B．２个 C．３个 D．４个 ６．一个圆柱形空心零件的上面有个孔,截面图如图所示,若OA∶OD＝OB∶OC＝１n ,且量 得AB＝a,则厚度x可表示为(　　)． A．b＋na４ B． b－na ４ C． b＋na ２ D． b－na ２ (第６题图) 　　　　　　　　 (第７题图) ７．如图,在☉O 中,AB 为直径,点C、D 分别为OA、OB 的中点,CE、DF 都垂直AB,且分别 交☉O 于点E、F,现有下列结论:①CE＝DF;②AE︵＝EF︵＝FB︵;③AF＝２CE;④四边形 CDFE 为正方形,其中正确的结论是(　　)． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ NEWHOPECUP ３４　 ８．有一枚质地均匀的正方体骰子,六个面上的点数分别为１、２、３、４、５、６,现将这枚骰子先后 抛掷两次,记下抛掷后朝上的面上的点数,第一次记下的点数为m,第二次记下的点数为 n,则关于x、y的二元一次方程组 x＋２y＝２, mx＋ny＝３{ 只有非负解的概率为(　　)． A．１１２ B． １ ４ C． １３ ３６ D． １９ ３６ 二、填空题 ９．已知一条弧长为３０π,它所对的圆心角为１５０°,则这条弧所在的圆的半径为 ． １０．过点(－２,３),对称轴方程是x＝－１,且形状与抛物线y＝－x２－２相同的抛物线的解析 式为 ． (第１１题图) １１．如图,一根竹竿AB 斜靠在墙上,底端B 到墙角的距离BC＝１．６米,竹 竿上一点D 到墙面的距离DE＝１．４米,BD＝０．５５米,则竹竿的长度为 米． １２．在一个不透明的袋子中装有若干支红色中性笔芯,为了估计袋中红色 笔芯的数量,某同学又往袋子中放入了１０支黑色中性笔芯(黑、红两种 笔芯除颜色外其余都相同),然后将袋中笔芯搅拌均匀,再从袋子中任 意摸出一支笔芯,记下颜色后又放回袋子中􀆺􀆺如此重复操作后发现, 摸到黑色笔芯的概率为２ ７ ,则袋子中红色笔芯有 支． １３．如果一个正多边形共有１４条对角线,那么这个多边形的边数是 ． １４．已知直线y＝３x＋６与x 轴交于点A,与y 轴交于点B,点C 在线段AB 上,且CD 为 △AOB 的中位线,CD 的延长线交反比例函数y＝kx 的图象于点E,若△DOE 的面积为 ３,则点E 的坐标为 ． １５．如图,将边长为３cm 的正方形 ABCD 绕点D 按顺时针方向旋转３０°后得到正方形 DEFG,EF 交BC 于点H,则图中阴影部分的面积为 cm２． (第１５题图) 　　　　　　　　　 (第１６题图) １６．一个士兵因犯错被罚站军姿,如图中AB 所示,在他的左上方有一个路灯O,BC 为他在 路灯下站军姿时形成的影子(BC＞AB)．站了军姿后又被命令卧倒,并匍匐前进．在他向 右卧倒的过程中,设他的影子的长度的最大值为a,最小值为b,现有下列结论:①a＞BC; ②a＝BC;③b＝AB;④影子的长度先增后减．其中正确结论的序号是 ． !"#$% ３５　 三、解答题 １７．如图为一个４×４的正方形格子,现在给其中的三个小正方形染色,求被染色的三个小正 方形不同行也不同列的概率． １８．如图为某种杯子的示意图,其上、下两个面都是圆形,周长分别为２４π、１２π,其中一条母 线长AB＝５０,求这种杯子的侧面积． NEWHOPECUP ３６　 １９．一段时间内,某地区某种商品的市场需求数量y(千克)与市场价格x(元/千克)满足如下 函数关系式:y＝１０００００x ＋６０００ (０＜x＜１００);供给数量z(千克)与市场价格x(元/千克) 成正比例关系:z＝４００x(０＜x＜１００),在不考虑其他因素影响的前提下,如果需求数量y (千克)与供给数量z(千克)相等,即供需平衡,此时市场处于平衡状态． (１)根据以上条件,当市场处于平衡状态时,该地区这种商品的市场价格与这段时间内的 销售收入各是多少? (２)根据市场需要,该商品生产者改变了生产方式,减少生产数量,同时也大力提高产品 质量,此时供给数量z(千克)与市场价格x(元/千克)的函数关系发生了变化,而需求 数量y(千克)与市场价格x(元/千克)的函数关系并没有发生改变,当市场再次处于 平衡状态时,该商品的市场价格上涨了a(０＜a＜２５)元,那么在此后相同的时间段 内,该种商品的销售收入是否发生变化? 若有变化,变化多少? ２０．如图,已知二次函数y＝ax２－４ax＋４a＋b的图象与x 轴交于点A、B,与y轴正半轴交 于点C,且点A 的坐标为(１,０),OB＝OC． (１)求这个二次函数的解析式; (２)在此二次函数的图象上是否存在一点D,使得∠CDB＝９０°,若存在,求出点D 的坐 标;若不存在,说明理由． NEWHOPECUP １３４　 九年级训练题(九) 一、选择题 １．D ２．B　提示:在每一个象限内,y 随x 的增大而增 大． ３．C　提示:移项得(x－２０１５)(x－２０１４)－(x－ ２０１５)＝０,即(x－２０１５)２＝０,∴x＝２０１５． ４．C　提示:sin４５°＝ ２２ ≈０．７０７ ,sin６０°＝ ３２ ≈ ０􀆰８６６,０．７０７＜０．８＜０．８６６,∴４５°＜θ＜６０°． ５．C　提示:当y＝０时,x２－８x＋１５＝０,解得x＝３ 或x＝５,∴AB＝２,而S△ABC＝１,∴ yC ＝１, ∴yC＝１或yC＝－１,∴x２－８x＋１５＝１或x２－ ８x＋１５＝－１,即x２－８x＋１４＝０或x２－８x＋１６ ＝０,∴Δ１＝(－８)２－４×１４＞０,Δ２＝(－８)２－４ ×１６＝０,即x的不同解有三个． ６．D　提示:aCD＝ １ n ,CD＝na＝b－２x． ７．A　提示:易得△AOE、△EOF、△BOF都为等边 三角形,所以正确的结论是①②③． ８．D　提示:当２m－n＝０时,方程组无解;当２m－ n≠０时, x＝６－２n２m－n , y＝２m－３２m－n． ì î í ï ï ïï 由题意,得 ６－２n ２m－n≥０ , ２m－３ ２m－n≥０． ì î í ï ï ïï 即 ２m－n＞０, m≥３２ , n≤３． ì î í ï ï ï ï 或 ２m－n＜０, m≤３２ , n≥３． ì î í ï ï ï ï ∴ m＝２,３,４,５,６, n＝１,２,３．{ 或 m＝１, n＝３,４,５,６．{ 共有５×３＋ １×４＝１９(种)情况．所求概率为 １９６×６＝ １９ ３６． 二、填空题 ９．３６　提示:１５０３６０×２πr＝３０π ,解得r＝３６． １０．y＝x２＋２x＋３或y＝－x２－２x＋３　提示:设 抛 物 线 解 析 式 为 y＝ (x＋１)２ ＋k１ 或 y＝ －(x＋１)２＋k２,由抛物线过点(－２,３),可得k１ ＝２,k２＝４,∴抛物线解析式为y＝(x＋１)２＋２ 或y＝－(x＋１)２＋４,即y＝x２＋２x＋３或y＝ －x２－２x＋３． １１．４．４　提示:设竹竿的长度为x 米,则x－０．５５x ＝１．４１．６ ,解得x＝４．４． １２．２５　提示:１０１０＋x＝ ２ ７ ,解得x＝２５． １３．７　提示:n (n－３) ２ ＝１４ ,解得n＝－４(舍)或n＝ ７． １４．(２,３)或(－１,－６)　提示:点 A(－２,０),点 B(０,６),∴点C(－１,３),∴点E的横坐标为－１ 或纵坐标为３,又△DOE 的面积为３,∴k＝６, 由题意点E在第一象限或第三象限,所以点E 的坐标为(－１,－６)或(２,３)． １５．９－３ ３ 　 提 示:连 接 DH,则 △DEH ≌ △DCH,易得∠CDH＝３０°,∴CH＝ ３cm, ∴S△DCH ＝S△DEH ＝１２×３× ３＝ ３ ３ ２ (cm２), ∴所 求 面 积 为 ３×３－２×３ ３２ ＝９－３ ３ (cm２)． １６．①③④　提示:当AB 与光线OC 垂直时,影子 的长度最大,∴①正确,②不正确;当AB 与BC 重合时,影子的长度最小,③正确;由上述分析 可知,④正确． 三、解答题 １７．解:给其中任意三个小正方形染色共有１６×１５ ×１４种情况,其中三个小正方形不同行也不同 列的共有 １６×９×４ 种 情 况,∴ 所 求 概 率 为 １６×９×４ １６×１５×１４＝ ６ ３５． 答:略． １８．解:设两条相对的母线的延长线相交于点C,则 BC AC＝ １２π ２４π ,即 BC ５０＋BC＝ １２π ２４π ,解得BC＝５０, 杯子的侧面积为 １ ２ ×２４π× (５０＋５０)－ １２ × １２π×５０＝９００π．答:略． １９．解:(１)市场处于平衡时,y＝z,即１０００００x ＋６０００ !"#$ ＝４００x,解得x＝－１０或x＝２５, 经检验,x＝－１０不合题意,舍去;x＝２５满足条 件,∴z＝４００x＝１００００(千克), 故这 段 时 间 内 的 销 售 收 入 为 ２５×１００００＝ ２５００００(元)． (２)∵需求函数y＝１０００００x ＋６０００ 不变, ∴平衡点仍在需求函数的图象上, 当市场价格变为x＋a＝２５＋a(元/千克)时, 需求函数为y＝１０００００２５＋a＋６０００ , 当市场再次处于平衡状态时,销售收入为(２５＋ a)􀅰 １０００００２５＋a＋６０００( ) ＝２５００００＋６０００a(０＜a ＜２５), ２５００００＋６０００a－２５００００＝６０００a, 即销售收入增加了６０００a元．答:略． ２０．解:(１)∵点A(１,０)在函数图象上,∴０＝a－４a ＋４a＋b,得b＝－a,∴y＝ax２－４ax＋３a, 令y＝０,则ax２－４ax＋３a＝０, 即a(x－１)(x－３)＝０, ∵a≠０,∴x＝１或x＝３,∴点A(１,０),B(３,０), ∵OB＝OC,∴点C(０,３),即３a＝３,a＝１, ∴y＝x２－４x＋３． (２)设点D(x,x２－４x＋３),连接BC,取BC 的 中点E,则点E的坐标为 ３２ ,３ ２( ) , 要∠CDB＝９０°,则点 D 在以BC 为直径的圆 上,∴DE＝１２BC ,即 x－３２( ) ２ ＋ x２－４x＋３－３２( ) ２ ＝３ ２２ , 整理得x４－８x３＋２０x２－１５x＝０,即x(x－３) (x２－５x＋５)＝０,解得x＝０(舍)或x＝３(舍)或 x＝５＋ ５２ 或x＝５－ ５２ ． 点D 的 坐 标 为 (５＋ ５２ , １＋ ５ ２ ) 或 ( ５－ ５ ２ , １－ ５ ２ ) ．