训练题 8-“枫叶新希望杯”九年级数学竞赛训练题

!"#$% ２９　 九年级训练题(八) 一、选择题 １．某设备的原价是１００万元,若每年折旧率为x,两年后的价格为y,则y与x 之间的函数关 系式为(　　)． A．y＝１００(１－x)２ B．y＝１００(１－２x) C．y＝１００－x２ D．y＝１００(１＋x)２ (第２题图) ２．如 图,将 ∠AOB 绕 点O 按 逆 时 针 方 向 旋 转９０°后 得 到 ∠COD,则下列结论不正确的是(　　)． A．∠AOB＝∠COD B．∠AOC＝∠BOD C．∠BOC＋AOD＝１８０° D．∠AOC＋∠BOC＝１８０° ３．在同一平面直角坐标系中,函数y＝－２x 与y＝－x＋２的图象的交点个数是(　　)． A．０个　　 B．１个　　 C．２个　　 D．３个 ４．设x１、x２ 是方程x２＋x－２０１４＝０的两个实数根,则x２１＋２x１＋x２＋２的值为(　　)． A．２０１４ B．２０１５ C．２０１６ D．２０１７ ５．已知△ABC为☉O 的的外切三角形,点D、E、F 分别是AB、BC、AC 与☉O 的切点,如果 ∠A＝７０°,那么∠DEF＝(　　)． A．７０° B．６０° C．５５° D．５０° ６．某同学的书包里装有５支红笔、６支黑笔和７支蓝笔,这些笔除颜色外其他都相同,现从中 任意摸出１５支笔,摸出的笔中恰好有３支红笔的概率为(　　)． A．１１０ B． １ ５ C． ３ １０ D． ２ ５ ７．如果二次函数y＝mx２＋nx＋m２＋n(m≠０)的图象为下列图象之一,那么 m 的值为 (　　)． 　　图１　　　　　　　　　　图２　　　　　　　　　　图３　　　　　　　　　　图４　　 A．１ B．－１ C．－３ D．－４ NEWHOPECUP ３０　 ８．在平面直角坐标系中,已知点A(－４,０)、B(－１,２),将线段AB 绕原点O 旋转９０°,则线段 AB 所扫过的区域的面积为(　　)． A．１１π４ B． (４－ ５)π C．１３π４ D．１１ 二、填空题 ９．设一元二次方程x２－３x－２＝０的两个根分别为a、b,则a２＋３ab＋b２＝ ． １０．已知抛物线y＝x２－４x＋k的顶点在x 轴上,那么k的值是 ． １１．如图,一副三角板按图示方式叠放在一起,现固定△ABC,将△CDE 绕公共顶点C 按顺 时针方向旋转一定的角度θ(０°＜θ＜１８０°),则△CDE 的某一边与△ABC 的某一边相平 行的情况共有 种． １２．在半径为５cm 的☉O 中,弦AB∥CD,且AB＝８cm,CD＝６cm,则弦AB、CD 之间的距离 为 cm． １３．贝贝在他的画画本上的第一页画了一个等边三角形,在第二页画了一个直角三角形,在 第三页画了一个平行四边形,在第四页画了一个等腰梯形,在第五页画了一个正六边形, 他合上画画本后再任意翻开前５页中的一页,所翻开的这一页上的图形是中心对称图形 的概率为 ． １４．对于任意的实数m、n,定义一种运算“○”为:m○n＝mn＋n．若关于x的方程x○(a○x) ＝－１４ 有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是 ． １５．如图,在平面直角坐标系中,对称轴为x＝－２的抛物线经过不同的三点A、B、C,其中点 A 在第二象限且为抛物线的顶点,点B 在x 轴的负半轴上,点C位于点A、B 之间的抛物 线图象上,若△ABC的周长为８cm,则四边形AOBC的周长为 cm． (第１５题图) 　　　　　　　 (第１６题图) １６．如图,扇形OAB 与扇形OCD 的圆心角都是９０°,连接AC、BD,如果图中阴影部分的面积 为４π,OD＝３,那么OA＝ ． !"#$% ３１　 三、解答题 １７．已知实数a、b、c满足 a－１＋ b＋１ ＋(c＋３)２＝０,解关于x的方程ax２＋bx＋c＝０． １８．如图,AB 为☉O 的直径,弦CD 垂直平分OB,在AB 的延长线上取一点E,使得BE＝ BC． (１)求证:CE 是☉O 的切线; (２)若BC＝２cm,点F 在☉O 上,且CD 上的点G 为△BCF 的内心,求线段DG 的长度． NEWHOPECUP ３２　 １９．如图,将二次函数y＝－x２＋k的图象先向右平移１个单位长度后再向上平移１个单位 长度,得到的新图象与x轴交于点A、B,已知点A 的坐标为(－１,０),点B 在x 轴的正半 轴,平移后的图象的顶点为点C,分别过点C 作x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为点D、E, BE 交CD 于点F．(１)求k的值及点C 的坐标;(２)求△CEF 与△BDF 的面积之比． ２０．体育老师挑选了若干名同学列成８行排练团体操,场外的某同学通过细心观察和思考, 发现体操队伍如果再增加或减少１２０人都能组成正方形的队列,那么体育老师原来挑选 了多少名同学排练团体操? NEWHOPECUP １３２　 九年级训练题(八) 一、选择题 １．A ２．D　提示:∠AOC＝９０°,∠BOC＜９０°． ３．C　提示:由－２x ＝－x＋２ 得x２－２x－２＝０,Δ ＝(－２)２－４×１×(－２)＝１２＞０,方程有两个 解,∴两函数的图象有两个交点． ４．B　提示:∵x１、x２ 是方程x２＋x－２０１４＝０的两 个实数根,∴x２１＋x１＝２０１４,x１＋x２＝－１, ∴x２１＋２x１＋x２＋２＝(x２１＋x１)＋(x１＋x２)＋２＝ ２０１５． ５．C　提示:∵∠A＝７０°,∴∠B＋∠C＝１１０°, ∴∠BED＋∠CEF＝ １２ (１８０°＋１８０°－１１０°)＝ １２５°,∴∠DEF＝５５°． ６．B　提示:设摸出的笔中,红笔有x支,黑笔有y 支,蓝笔有z支,则x、y、z都为整数,且x≤５、y ≤６、z≤７,∵y＋z≤１３,∴x＝２或３或４或５,当 x＝２时,y＋z＝１３,y＝６,z＝７,有一种情况;当x ＝３时,y＋z＝１２,y＝６,z＝６或y＝５,z＝７,有 两种情况;当x＝４时,y＋z＝１１,y＝６,z＝５或y ＝５,z＝６或y＝４,z＝７,有三种情况;当x＝５ 时,y＋z＝１０,y＝６,z＝４或y＝５,z＝５或y＝４, z＝６或y＝３,z＝７,有四种情况;共十种等可能 的情况,其中摸出的笔中恰好有３支红笔的情况 有两种,其概率为２ １０＝ １ ５． ７．B　提示:二次函数y＝mx２＋nx＋m２＋n(m≠ ０)的图象只可能为图３,∵图象过点(－１,０), ∴０＝m－n＋m２＋n,∴m＝０(舍),或m＝－１． ８．A　提示:OA＝４,OB＝ ５,π４ × [４２－(５) ２]＝ １１π ４ ． 二、填空题 ９．７　提示:a２＋３ab＋b２＝(３a＋２)＋(３b＋２)＋３× (－２)＝３(a＋b)－２＝３×３－２＝７． １０．４　提示:由４ac－b ２ ４a ＝０ 得４k－(－４)２＝０,解 得k＝４． １１．５　提示:如下列图形所示,粗线表示的是相平 行的线段．与CD、CE 平行的各有一种,与 DE 平行的有三种． !"#$ １３３　 １２．１或７　提示:圆心到弦AB 的距离为３cm,到 弦CD 的距离为４cm,弦AB、CD 在圆心同侧时 距离为１cm,分居圆心两侧时距离为７cm． １３．２５　 提示:平行四边形和正六边形是中心对称 图形． １４．a＜－１或a＞０　提示:由题意方程x○(a○x) ＝－１４ 可变形为(a＋１)x２＋(a＋１)x＋ １４＝０ , ∵方程有两个不相等的实数根,∴Δ＝(a＋１)２ －４×１４× (a＋１)＞０,解得a＜－１或a＞０． １５．１２　提示:易得OB＝４cm,由对称性可知AO＝ AB,∴四边形 AOBC 的周长等于△ABC 的周 长加上OB 的长度,为８＋４＝１２(cm)． １６．５　提示:４π＝９０π× (OA２－３２) ３６０ ,解得OA＝５． 三、解答题 １７．解:由 a－１＋ b＋１ ＋(c＋３)２＝０得a＝１,b ＝－１,c＝－３,∴x２－x－３＝０, 解得x＝１± １－４×１× (－３) ２ ＝ １± １３ ２ ． １８．(１)证明:连接OC, ∵BE＝BC,∴∠BCE＝∠E, ∴∠OBC＝∠BCE＋∠E＝２∠E, ∵弦CD 垂直平分OB,∴∠OCD＝∠BCD, ∴∠OCB＝∠OCD＋∠BCD＝２∠OCD, ∵OB＝OC,∴∠OBC＝∠OCB, ∴∠E＝∠OCD, ∵∠COE＋∠OCD＝９０°, ∴∠COE＋∠E＝９０°, ∴∠OCE＝９０°, ∴CE是☉O的切线． (２)解:由 (１)得 ∠OCD＝ ∠BCD＝ ∠BCE＝ ∠E＝３０°,∴∠OCB＝６０°,∵OB＝OC, ∴△OBC为等边三角形, ∵BC＝２cm,∴等边△OBC的高为 ３cm, ∴CD＝２ ３cm． ∵CD 上的点G 为△BCF 的内心,且CD 平分 ∠OCB, ∴点C、O、F共线,∴CF为☉O的直径, ∴∠CBF＝９０°, 又∵∠OCB＝６０°,BC＝２cm, ∴CF＝４cm,BF＝２ ３cm, ∴ 直 角 △BCF 的 内 切 圆 ☉G 的 半 径 为 ２＋２ ３－４ ２ ＝ ３－１ (cm), ∴CG＝２ ３－２(cm), ∴DG＝２ ３－(２ ３－２)＝２(cm)．答:略． １９．解:(１)平移后的函数解析式为y＝－(x－１)２ ＋k＋１,∵点A 的坐标为(－１,０), ∴０＝－(－１－１)２＋k＋１,解得k＝３, ∴y＝－(x－１)２＋４＝－x２＋２x＋３, ∴顶点C(１,４)． (２)∵点A(－１,０),平移后的对称轴为直线x ＝１,∴点B(３,０),∴CE＝１,BD＝２, ∵CE∥BD,∴△CEF∽△DBF, ∴S△CEFS△DBF ＝ CE DB( ) ２ ＝１４． ２０．解:设体育老师原来挑选了８x名同学排练团体 操,则 ８x＋１２０＝a２,(１) ８x－１２０＝b２．(２){ 其中a、b都为正整数, 且a＞b,∴a２－b２＝２４０,即(a＋b)(a－b)＝２４０ NEWHOPECUP ＝４２×３×５,由(１)、(２)可知,a２、b２ 都能被８整 除,∴a、b都能被４整除,从而a＋b、a－b都能 被４整除,所以 a＋b＝６０, a－b＝４．{ 或 a＋b＝２０, a－b＝１２．{ 解得 a＝３２, b＝２８．{ 或 a＝１６, b＝４．{ ∴８x－１２０＝２８ ２ 或８x－１２０ ＝４２,∴８x＝９０４或８x＝１３６．答:略．