训练题 7-“枫叶新希望杯”九年级数学竞赛训练题

!"#$% ２５　 九年级训练题(七) 一、选择题 １．一元二次方程x２＋ax－２＝０的一个根是２,则a的值为(　　)． A．１ B．２ C．－１ D．－２ ２．下列图形的四个顶点一定在同一个圆上的是(　　)． A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．矩形 (第３题图) ３．如图,在等边△ABC 中,点 D 为BC 上一点,连接 AD,将 △ABD 绕点A 按逆时针方向旋转６０°得到△ACE,连接DE, 若AB＝１０cm,AD＝８cm,则下列结论错误的是(　　)． A．∠CDE＝∠ADB B．CE∥AB C．△CDE 的周长是１８cm D．△ADE 是等边三角形 ４．在一个不透明的布袋中装有若干支红色、黑色和蓝色的中性笔芯,这些笔芯除颜色外,其 余都完全相同,某同学就利用这一袋笔芯来做实验,他从这袋笔芯中随机摸出一支笔芯, 记下颜色后放回袋中,摇匀后再随机摸出一支,记下颜色后又放回袋中􀆺􀆺如此进行大量 的摸笔芯实验后,这名同学发现摸出红笔芯的频率稳定于２０％,摸出黑色笔芯的频率稳定 于５０％,对此实验,有以下结论:①若进行大量的摸笔芯实验,摸出蓝色笔芯的频率稳定于 ３０％;②若从这袋笔芯中任意摸出一支笔芯,这支笔芯是黑色笔芯的概率最大;③若再进 行摸笔芯实验１００次,必有２０次摸出的是红色笔芯．其中正确的结论是(　　)． A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ ５．已知二次函数y＝x２＋４x－５的图象上有三点A －１３４ ,y１æ è ç ö ø ÷ 、B －５４ ,y２æ è ç ö ø ÷ 、C １４ ,y３æ è ç ö ø ÷ ,则 y１、y２、y３ 的大小关系是(　　)． A．y１＜y２＜y３　 B．y１＜y３＜y２ C．y３＜y１＜y２ D．y２＜y１＜y３ ６．已知关于x的一元二次方程x２－kx＋２k－１＝０的两个实数根分别为x１、x２,且x２１＋x２２＝ ７,那么(x１－x２)２ 的值为(　 )． 　(第７题图) A．１３或－１１ B．１３　 C．－１１ D．１１ ７．在△ABC中,∠A＝５０°,如果☉O 截三条边所得的三条弦的长度相等,那 么∠BOC的度数为(　　)． A．１１５° B．１２０° C．１２５° D．１３０° NEWHOPECUP ２６　 (第８题图) ８．如图,抛物线l１:y＝ax２＋b(a＜０,b＞０)交x轴于点A、B(点A 在 点B 右侧),交y轴于点C．将抛物线绕点A 旋转１８０°,得到抛物 线l２,它与x轴的另一个交点为点D,顶点为点E．若四边形BCＧ DE 为矩形,则a、b应满足的关系式为(　　)． A．ab＝－５ B．ab＝－４ C．ab＝－３ D．ab＝－２ 二、填空题 ９．已知关于x 的一元二次方程８(x－１)(x－a)＝０的两根分别为１和２,则a 的值为 ． １０．如图所示的太极图是一个中心对称图形,整个图形呈圆形,若其直径为８cm,则黑色部分 的面积为 cm２(结果保留π)． (第１０题图) 　　　　　　 (第１４题图) １１．有下列事件:①测得武汉八月份某一天的最高气温是７２°C;②测量一个五边形的内角和, 结果是５４０°;③抛掷一枚骰子,向上的面上的点数是６;④随意翻到一本书的某一页,这一 页的页码是偶数．其中是随机事件的序号有 ． １２．图象过点(－１,０)、(３,０),且顶点纵坐标为４的二次函数的解析式为 ． １３．某校准备组织一次篮球比赛,每两个队之间都要比赛一场,赛程计划安排７天,每天安排 ４场比赛,则共有 个队参赛． １４．如图,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC＝９０°,CD∥AB,且∠D＝３０°,已知AC＝８,如 果将△ACD 逆时针方向旋转至AD 与AC 重合,那么两个三角形重叠部分的面积为 ． １５．已知抛物线y＝ax２＋bx＋c交x 轴于A、B 两点,点A 在y 轴左侧,该图象对称轴为x＝ －１,最高点的纵坐标为４,且 OA ＝２－１a． 若点M 在x 轴上方的抛物线上,且S△MAB＝ ６．则点M 的坐标为 ． １６．从－１,１,２这三个数字中随机抽取一个数字记作k,其中使得直线y＝２x＋k与两坐标轴 所围成的三角形的面积为 １ ４ ,且使得关于 x 的不等式组 x＋２≤k, １－x≤２k{ 有解的概 率为 ． !"#$% ２７　 三、解答题 １７．如图,在△ABC中,∠BAC＝９０°,∠B＝６０°,将△ABC绕点A 按逆时针方向旋转一定的 角度后得到△ADE,且点D 正好落在线段BC 上．(１)求旋转角的度数;(２)若点F 为DE 的中点,判断四边形ABDF 的形状,并说明理由． １８．在一个盒子中有２０个质地、形状、大小都相同,只有颜色不同的玻璃球,其中红色玻璃球 有７个,黑色玻璃球有８个,黄色玻璃球有５个． (１)求搅拌均匀后从盒子中随意摸出一个球是黄色玻璃球的概率; (２)从盒子中取出x个黑色玻璃球,然后搅拌均匀,使得再从盒子中随意摸出一个球是黑 色玻璃球的概率是１ ３ ,求x的值． NEWHOPECUP ２８　 １９．如图,AB 为半圆的直径,点O 为圆心,点C为半圆上一点,点D 为AB 延长线上一点,且 ∠１＝∠２． (１)求证:CD 为☉O 的切线; (２)过点A 作☉O 的切线AE 交DC 的延长线于点E,若☉O 的半径为３cm,BD＝２cm, 求CE 的长度． ２０．已知二次函数y＝ax２＋bx＋c的图象经过点A(０,－２)、B(３,４),对称轴为x＝１． (１)求这个二次函数的解析式; (２)设点C与点B 关于原点对称,若对称轴x＝１上有一个动点D,使得直线CD 与点A、 B 之间的抛物线图象(包括点A、B)有公共点,求点D 的纵坐标d 的取值范围． NEWHOPECUP 九年级训练题(七) 一、选择题 １．C　提示:２２＋２a－２＝０,解得a＝－１． ２．D　提示:矩形的四个顶点一定在以它的对角线 为直径的圆上． ３．A　提示:易得∠ADE＝６０°,∠ADB＞６０°, ∴∠CDE＜６０°＜∠ADB． ４．B　提示:再摸１００次,摸出红色笔芯的次数不一 定是２０次． ５．D　提示:二次函数y＝x２＋４x－５图象的对称 轴为x＝ －２,开口向上,而 －１３４－ (－２) ＝ ５ ４ , －５４－ (－２) ＝ ３４ , １ ４－ (－２) ＝ ９４ , ３ ４＜ ５ ４＜ ９ ４ ,∴y２＜y１＜y３． ６．B　提示:由x２１＋x２２＝７得(x１＋x２)２－２x１x２＝ ７,即k２－２(２k－１)＝７,解得k＝５(舍)或k＝ －１．∴(x１－x２)２＝x２１＋x２２－２x１x２＝７－２(２k－ １)＝９－４k＝１３． ７．A　提示:∵三条弦长相等,∴圆心到三条弦的 距离相等,即点O 到△ABC三边的距离相等,∴ 点O为△ABC的内心,即为△ABC 三条角平分 线的 交 点,∴ ∠ABC＋ ∠ACB＝１８０°－５０°＝ １３０°,∴∠OBC＋∠OCB＝６５°,∴∠BOC＝１８０° －６５°＝１１５°． ８．C　提示:点 A －ba ,０ æ è ç ö ø ÷ 、B － －ba ,０ æ è ç ö ø ÷ 、 C ０,b( ) ,∴AB＝２ －ba ,AC＝ OC２＋OA２ ＝ b２－ba ,要使四边形BCDE 为矩形,则AB ＝AC,即２ －ba ＝ b ２－ba ,解得ab＝－３． !"#$ １３１　 二、填空题 ９．２　提示:８(２－１)(２－a)＝０,∴a＝２． １０．８π　提示:１２π× ８ ２( ) ２ ＝８π． １１．③④　提示:①是不可能事件;②是必然事件． １２．y＝－x２＋２x＋３　提示:由点(－１,０)、(３,０) 知,顶点的横坐标为１,设这个二次函数的解析 式为y＝a(x－１)２＋４,将点(３,０)代入即可求 得a＝－１, ∴y＝－(x－１)２＋４＝－x２＋２x＋３． １３．８　提示:设共有x个队参赛,则x (x－１) ２ ＝７× ４,解得x＝８． １４．４８－１６ ３　提示:如图,过交点E 作EF⊥AC, 垂足为点F,设 AF＝x,则CF＝EF＝ ３x,∴ ３x＋x＝８,x＝ ８ ３＋１ ＝４(３－１),所求面积为 １ ２×８× ３×４ (３－１)＝４８－１６ ３． １５．(０,３)或(－２,３)　提示:设抛物线的解析式为 y＝a(x＋１)２＋４,由 OA ＝２－ １a ,解得a＝ －１,∴抛物线的解析式为y＝－(x＋１)２＋４, 即y＝－x２－２x＋３; 设点 M 的坐标为M(xM ,yM), 由S△MAB ＝６得 １２ × (－２)２－４×(－１)×３ －１ 􀅰yM ＝６,解得yM ＝３,代入y＝－x２－２x＋３得 xM ＝０或xM ＝－２,∴点 M 的坐标为M(０,３) 或 M(－２,３)． １６．１３　 提示:当k＝－１时,y＝２x－１,交两坐标 轴于点 １ ２ ,０( ) 、(０,－１),所得三角形的面积为 １ ２× １ ２×１＝ １ ４ ;当k＝１时,y＝２x＋１,交两坐 标轴于点 －１２ ,０( ) 、(０,１),所得三角形的面积 为１ ２× １ ２×１＝ １ ４ ;当k＝２时,y＝２x＋２,交两 坐标轴于点(－１,０)、(０,２),所得三角形的面积 为 １ ２ ×２×１＝１ ,舍 去;当 k＝ －１ 时, x＋２≤－１, １－x≤－２．{ 得 x≤－３, x≥３．{ 无解,舍去;当k＝１ 时, x＋２≤１, １－x≤２．{ 得 x≤－１, x≥－１．{ 解得x＝－１．∴所求 概率为１ ３． 三、解答题 １７．解:(１)∵AB＝AD,∠B＝６０°,∴△ABD 为等 边三角形,∴∠BAD＝６０°,即旋转角的度数为 ６０°． (２)由(１)知,△ABD 为等边三角形, ∴AB＝BD＝AD． 点F为直角△ADE斜边DE 的中点, ∴AF＝１２DE＝DF , 又∵∠BAC＝９０°,∠B＝６０°, ∴∠C＝∠E＝３０°, ∴AD＝１２DE＝DF , ∴AB＝BD＝AF＝DF, ∴四边形ABDF为菱形． １８．解:(１)搅拌均匀后从盒子中随意摸出一个球是 黄色玻璃球的概率为５ ２０＝ １ ４． (２)根据题意得８－x２０－x＝ １ ３ ,解得x＝２,经检验, x＝２是原分式方程的解,∴从盒子中取出了２ 个黑色玻璃球． １９．(１)证明:如图,连接OC,∵OA＝OC, ∴∠１＝∠３,∵∠１＝∠２,∴∠２＝∠３, ∵AB为半圆的直径, ∴∠ACB＝９０°,∴∠３＋∠４＝９０°, ∴∠２＋∠４＝９０°,即OC⊥CD, ∴CD 为☉O的切线． (２)解:∵☉O的半径为３cm,BD＝２cm, ∴AD＝８cm,OD＝５cm,∴CD＝４cm, NEWHOPECUP ∵AE、CE都为切线,∴AE＝CE,∠DAE＝９０°, 设AE＝CE＝x,则x２＋８２＝(x＋４)２,解得x＝ ６(cm)． ２０．解:(１)由题意得 c＝－２, ３２􀅰a＋３b＋c＝４, －b２a＝１． ì î í ï ï ï ï 解得 a＝２, b＝－４, c＝－２． ì î í ïï ï ∴这个二次函数的解析式为y＝ ２x２－４x－２． (２)由(１)知,二次函数的解析式为y＝２x２－４x －２＝２(x－１)２－４,图象如下: 由图象知,dmin＝－４,设直线BC 的解析式为y ＝kx＋h,则 －４＝－３k＋h, ４＝３k＋h．{ 解得 h＝０, k＝４３．{ ∴y＝４３x ,当x＝０时,y＝０＞－２, ∴点D 为BC 与对称轴x＝１的交点时,d 最 大,当x＝１时,y＝４３ ,即dmax＝４３ , ∴点D 的纵坐标d 的取值范围是－４≤d≤４３．