训练题 6-“枫叶新希望杯”九年级数学竞赛训练题

!"#$% ２１　 九年级训练题(六) 一、选择题 １．已知关于x 的方程(k－１)x２＋ k＋１x＋１＝０是一元二次方程,则k 的取值范围是 (　　)． A．k≠１ B．k＞１ C．k＞－１且k≠１ D．k≥－１且k≠１ ２．下列事件是必然事件的是(　　)． A．平分弦的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧 B．半径分别为２cm 和６cm 的两圆相外切,则两圆的圆心距为８cm C．正五边形的外角和为５４０° D．一条弧的长度为l,所对圆心角为n°,则这条弧所在圆的半径为 πl１８０n (第３题图) ３．如图,已知在△ABC中∠B＝９０°,AB＝３cm,BC＝４cm,现 将△ABC绕点A 逆时针旋转９０°后得到△ADE,那么在旋 转的过程中,点C所走过的路径长为(　　)． A．５２cm B．５４πcm C．５２πcm D．５πcm ４．定义:如果一元二次方程ax２＋bx＋c＝０(a≠０)满足a＋b＋c＝０,那么我们就称这个方程 为“凤凰”方程．若一个“凤凰”方程的其中一个根为２,则与这个“凤凰”方程的解完全相同 的方程是(　　)． A．x２－３x＋２＝０ B．x２－５x＋６＝０ C．x２＋x－６＝０ D．x２＋３x＋２＝０ ５．对于二次函数y＝２x２＋９x＋k,当自变量x分别取x１ 和x２(x１≠x２)时,函数的值相等,那 么当自变量x的取值为x１＋x２ 时,其函数值与(　　)． A．x＝０时的函数值相等 B．x＝１时的函数值相等 C．x＝１４ 时的函数值相等 D．x＝－９４ 时的函数值相等 ６．在☉O 中,一条弦把圆周分成的两段弧的长度比为１∶２,如果☉O 的半径为r,那么这条弦 的长度为(　　)． A．r B．２r C．２r D．３r NEWHOPECUP ２２　 (第７题图) ７．某同学做了一个“用频率估计概率的实验”,他统 计了某一结果出现的频率,并绘制了如图所示的 折线统计图,则在下列实验中,符合这一实验结果 的实验最有可能的是(　　)． A．抛掷一枚硬币,正面朝上 B．玩“石头、剪刀、布”的时候,随机出石头 C．任取一个正整数,得到４的倍数 D．抛掷一枚骰子,朝上的面上的点数是６ ８．在平面直角坐标系中有五个点A(１,１)、B(２,－１)、C(－２,－１)、D(－１,１)、E(０,２),将点 E绕点A旋转１８０°后得到点E１,将点E１ 绕点B旋转１８０°后得到点E２,将点E２ 绕点C旋转 １８０°后得到点E３,将点E３ 绕点D 旋转１８０°后得到点E４,将点E４ 绕点A 旋转１８０°后得到点 E５􀆺􀆺以此类推,重复操作,分别得到点E１、E２、E３、E４、E５􀆺,则点E２０１６的坐标是(　　)． A．(２０１４,－２) B．(２０１４,２) C．(２０１６,－２)　 D．(２０１６,２) (第１０题图) 二、填空题 ９．若关于x的一元二次方程x２＋(a＋８)x＋a＝０的一个 根是６,则另一个根为 ． １０．如图,将等边△ABC绕点A 按逆时针方向旋转一定角 度得到△ACD,则边BC、CD 的中线AE、AF 的夹角的 度数为 ． １１．内 接 于 圆 的 正 三 角 形 的 边 长 为 １cm,则 边 心 距 为 cm． １２．记方程(２０１５x)２－２０１４×２０１６x－１＝０较大的根为a,方程x２＋２０１４x－２０１５＝０较小的 根为b,则a＋b的值为 ． １３．已知实数m、n满足等式３n＝m(３m－８),若０≤m≤５,则整数n的个数有 个． １４．一个质地均匀的正四面体的四个面上分别写有１、２、３、４这四个数字,现在随意抛掷这个 正四面体,待落地稳定后,记下与地面接触的面上的数字 m,则关于x 的不等式组 x＞２m－１, x≤m＋２{ 只有一个整数解的概率为 ． １５．在△ABC中,∠A＝６５°,以边BC 为直径的半圆分别交AB、AC 于点D、E,则∠DOE＝ 度． (第１５题图) 　　　　　　　 (第１６题图) １６．如图,在平面直角坐标系中,点A、B 为x 轴上的点,分别位于y轴的左、右两侧,且AB＝ ４．过点A、B 的抛物线l:y＝－x２＋bx＋c与y 轴相交于点C,若将抛物线l的图象向左 !"#$% ２３　 平移一个单位长度,则其顶点恰好落在y轴上．点D 是线段OB 上的一个动点,过点D 作 DE⊥x轴交原抛物线于点E,交线段BC 于点F．如果直线BC 把△DCE 分成面积之比 为３∶１的两部分,那么点D 的坐标为 ． 三、解答题 １７．某同学现在学习的课程有五门:语文、数学、英语、物理、化学,他要从这五科中选择若干 科到附近的培训机构参加辅导．而附近只有甲、乙两个培训机构可供选择,且甲培训机构 只有语文、数学、英语这三科的辅导班,乙培训机构只有物理、化学两科的辅导班．若该同 学从上述五科课程中任选两门参加辅导,用树状图或表格列出所有可能出现的结果,并 求出他恰好在甲、乙两个培训机构中各报名参加一个辅导班的概率． １８．如图,在☉O 中,AB、CD 为直径,弦DE⊥AB 于点F,连接BC． (１)若DE＝１６cm,BF＝４cm,求☉O 的直径; (２)若∠C＝∠D,求弦BC与DE 的夹角． NEWHOPECUP ２４　 １９．在△ABC中,点D 为边BC 的中点,过点A 的动直线l可绕点A 旋转,分别过点B、C、D 作直线l的垂线,垂足分别为点E、F、G． (１)当直线l经过点C 时,如图１,写出线段BE 与DG 的之间的数量关系,并给出证明; (２)当直线l旋转到如图２、图３的位置时,线段BE、CF、DG 之间分别有怎样的数量关 系,写出你的结论,并给出证明． 图１ 　 图２ 　 图３ ２０．已知抛物线y１＝２(x－a)２＋１经过点(１,１),若抛物线y２＝(m＋２)x２＋(n－４a)x＋２a２ ＋６与y１ 的顶点和开口方向都相同,其中a、m、n都是实数,且m≠－２,求y２ 的函数表 达式,并求出当０≤x≤３时,y２ 的最大值和最小值． NEWHOPECUP 九年级训练题(六) 一、选择题 １．D　提示:由k＋１≥０且k－１≠０解得k≥－１且 !"#$ １２９　 k≠１． ２．B　提示:平分弦的直径垂直于这条弦,并且平分 这条弦所对的两条弧,此时要求这条弦不是直 径,故 A 不是必然事件;正五边形的外角和为 ３６０°,故 C是不可能事件;弧的长度为l,所对圆 心角为n°,则这条弧所在圆的半径为１８０lπn ,故 D 是不可能事件． ３．C　提示:１４×２π×５＝ ５ ２π． ４．A　提示:这个“凤凰”方程的两根分别为１和２, 两根之和为３,两根之积为２． ５．A　提示:x１＋x２＝－ ９２ ,图象上横坐标为－ ９２ 的点关于对称轴x＝－ ９４ 对称的点的横坐标为 ０． ６．D　提示:这条弦所对的圆心角为１２０°,圆心到这 条弦的距离为r ２ ,弦长为２× ３×r２＝ ３r． ７．D　提示:只有 D选项是可能的,其概率为 １６ ≈ ０．１７． ８．D　提示:点E１、E２、E３、E４、E５􀆺的纵坐标每四 个按０、－２、０、２周期出现,横坐标每四个一组也 成规律,点E２、E４、E６、􀆺、E２０１６的横坐标与它们 的下标相同,∴点E２０１６的坐标为(２０１６,２)． 二、填空题 ９．－２　提示:将x＝６代入方程可解得a＝－１２, ∴原方程可化为x２－４x－１２＝０,解得x＝６或x ＝－２． １０．６０°　提示:相当于旋转了６０°． １１．３６　 提示:设边心距为x,则圆的半径为２x,∴ 三角形的边长为２ ３x,∴２ ３x＝１,解得x＝ ３ ６． １２．－２０１４　提示:易得a＝１,b＝－２０１５,∴a＋b＝ －２０１４． １３．１３　提示:由３n＝m(３m－８)得n＝ m－４３( ) ２ －１６９ ,∵０≤m≤５,∴－１６９ ≤n≤ １０５ ９ ,其中整数 有１３个． １４．１４　 提示:∵关于x的不等式组 x＞２m－１, x≤m＋２{ 只 有一个整数解,∴m＋２－(２m－１)＝１,解得 m ＝２,∴概率为１４． １５．５０　提示:∵∠A＝６５°,∴∠ABC＋∠ACB＝ １１５°,而∠BDO＝∠ABO,∠CEO＝∠ACB, ∴∠BDO＋∠CEO＝１１５°,∴∠ABC＋∠ACB ＋∠BDO＋∠CEO＝２３０°,∴∠BOD＋∠COE ＝１８０°＋１８０°－２３０°＝１３０°,∴∠DOE＝５０°． １６． １３ ,０( ) 　提示:(１)易得抛物线的对称轴为直 线x＝１,又AB＝４,∴点A(－１,０),点B(３,０), ∴原抛物线的解析式为y＝－(x＋１)(x－３), 即y＝－x２＋２x＋３, ∴点C(０,３),BC所在的直线方程为y＝－x＋ ３． 设点D(a,０),则点E(a,－a２＋２a＋３),点F(a, －a＋３), ∴EF＝－a２＋３a,FD＝－a＋３,由EF＝３FD 或FD＝３EF得－a２＋３a＝３(－a＋３) 或－a＋３＝３(－a２＋３a),解得a＝３(舍),或a ＝１３ ,即点D 的坐标为D １３ ,０( ) ． 三、解答题 １７．解:列表如下: 或画树状图如下: 从上述表格或树状图可知,共有２０种等可能结 果,恰好在两个培训班各报名参加一个辅导班 的有１２种情况,∴所求概率为１２２０＝ ３ ５． １８．解:(１)设☉O 的直径为２r,∵DE⊥AB,DE＝ １６cm,∴DF＝８cm,又BF＝４cm, ∴８２＋(r－４)２＝r２,解得r＝１０cm, ∴☉O的直径的直径为２０cm． (２)∠C＝∠D,∠C＝１２∠BOD , ∴∠D＝１２∠BOD , NEWHOPECUP １３０　 ∵DE⊥AB,∴∠D＝３０°,∴∠C＝３０°, ∴弦BC与DE 的夹角为６０°． １９．解:(１)BE＝２DG． 证明:∵BE⊥l,DG⊥l,∴BE∥DG,∵点 D 为 边BC 的中点,∴DG为△BCE的中位线,∴BE ＝２DG． (２)图２的结论:BE＋CF＝２DG．证明如下: 如图,连接 ED 并延长,交 FC 的延长线于点 M,∵BE⊥l,CF⊥l,∴BE∥CF,即BE∥FM, ∴∠DEB＝∠DMC,∠DBE＝∠DCM, 又点D 为边BC 的中点,即BD＝CD, ∴△BDE≌△CDM,∴BE＝CM,DE＝DM, ∴DG为△EFM 的中位线, ∴FM＝CM＋CF＝２DG,即BE＋CF＝２DG． 图３的结论:BE－CF＝２DG．证明如下: 如图,连接FD 并延长,交线段BE于点N, ∵BE⊥l,CF⊥l,∴BE∥CF, ∴∠DNB＝∠DFC,∠DBN＝∠DCF, 又点D 为边BC 的中点,即BD＝CD, ∴△BDN≌△CDF,∴BN＝CF,DN＝DF, ∴DG为△EFN 的中位线, ∴EN＝BE－BN＝２DG,即BE－CF＝２DG． ２０．解:∵抛物线y１＝２(x－a)２＋１经过点(１,１), ∴１＝２(１－a)２＋１,解得a＝１, ∴y１＝ x－１( )２＋１,y１ 的顶点为 １,１( ) , y２＝(m＋２)x２＋(n－４)x＋８, ∵抛物线y１ 与y２ 的顶点和开口方向都相同, ∴y２＝(m＋２)(x－１)２＋１＝(m＋２)x２＋(n－ ４)x＋８,其中m＋２＞０,即m＞－２, ∴ －２(m＋２)＝n－４, (m＋２)＋１＝８．{ 解得 m＝５, n＝－１０．{ ∴y２＝７x２－１４x＋８, ∴y２＝７x２－１４x＋８＝７(x－１)２＋１,７＞０, 开口向上,对称轴为x＝１, ∴当０≤x≤３时,若x＝１,则y２ 取得最小值１; 若x＝３,则y２ 取得最大值７(３－１)２＋１＝２９．