训练题 5-“枫叶新希望杯”九年级数学竞赛训练题

%$#"! １７　 九年级训练题(五) 一、选择题 １．下列事件是必然事件的是(　　)． A．同时抛掷两颗骰子,朝上的面上的点数之和不等于１ B．日出时,正在玩倒立的人看到的太阳不是从东方升起的 C．含有钢铁的东西放在江面上一定会沉入江底 D．滚动一枚硬币,硬币不倒 (第２题图) ２．如图,点O 为正五边形的中心,若要将△AOB 绕点O 旋转后得 到△COD,则以下旋转方式正确的是(　　)． A．按顺时针方向旋转１４４° B．按顺时针方向旋转４０４° C．按逆时针方向旋转１４４° D．按逆时针方向旋转２１６° ３．已知关于x的方程mx２－(m＋２)x＋２＝０有且只有一个根(相同的两个根视为一个根), 则m 的值为(　　)． A．m＝０ B．m＝２ C．m＝１ D．m＝０或m＝２ ４．已知一个圆的半径为２cm,则垂直平分这条半径的弦长为(　　)． A．３cm B．２３cm C．３cm D．３３cm ５．有三张不透明的卡片,正面上各写有一个数字,分别为１、４、－２,都背面朝上放在桌面上, 现在随意翻开其中两张,翻出的数字分别记作a、b,则关于x的方程x２＋ax＋b＝０有实数 根的概率为(　　)． A．１４ B． １ ３ C． １ ２ D． ２ ３ 有难,八方支援”的捐款赈灾活动．第一天组织捐款１００００元,第三天组织捐款１２１００元 ６．２０１４年８月,云南鲁甸地震再次牵动全国人民的心,“创新希望”组委会组织开展了“一方 , 如果每天组织捐款的平均增长率相同,则前四天组织捐款的总额为(　　)． (第７题图) A．４６４１０元 B．４６２５０元 C．３３１００元 D．１３３１０元 ７．如图,☉O 与水平面相切于点A,过点A 作☉O 的内接矩形ABCD, 已知☉O 的半径为２,且AB︵＝２AD︵,在保证不滑动的情况下,使☉O 在水平面上沿直线向右滚动,当滚动的路程为２０１５π时,☉O 与地面 相切的切点所在的弧为(　　)． A．AB︵ B．BC︵ C．CD︵ D．AD︵ PUECPOWHEN １８　 ８．如图,在平面直角坐标系中,边长为１０cm 的正方形OABC 的顶点A、C 分别在y 轴、x轴 的正半轴上,如果将这个正方形绕点O 按顺时针方向旋转７５°,则点B 恰好落在二次函数 y＝ax２(a＜０)的图象上,则a＝(　　)． A．－ ２１０ B．－ １ １０ C．－ ３２ ４０ D．－ ２ ３０ (第８题图) 　　　　　　　 (第１０题图) 二、填空题 ９．已知关于x的方程(a－１)x２－３x＋a＋２＝０的一个根为１,则a的值为 ． １０．如图,将△ABC绕点A 旋转一定角度后得到△ADE,且点D 在BC 上,如果DE⊥AC, ∠C＝３０°,则∠ADB 的度数为 ． １１．当a 时,直线y＝a与抛物线y＝６x２＋８只有一个交点． １２．一块长方形地基的面积是２８８m２,如果将它的长减少２m,那么这块地基就变成了正方 形,则这块地基原来的长为 m． １３．边长为８cm 的正六边形的边心距为 cm． 有甲、乙、丙三名同学抢着去玩,为了决定谁先玩,他们通过“手心手背”游戏来决定,游 １４．２０１４年“创新希望”数学夏令营在西安举行,在阎良航空城飞行体验馆体验模拟飞行时, 戏 规则是:三个人同时各用一只手随机出示手心或手背,若有一个人的手势与另外两个人 的手势不同,比如一人出示手心,另外两人出示手背,则出示手心的人先玩;若三个人手 势相同,则重新决定．那么通过一次“手心手背”游戏能决定甲先玩的概率是 ． １５．如图,在☉O 中,AB 为直径,长为１２cm,点C、D 为AB 的三等分点,在AB 同一侧的圆周 上有不同的两点E、F,使得CE∥DF,且∠BDF＝６０°,连接BF,则△ACE 与△BDF 的 面积之和为 cm２． (第１５题图) 　　　　　　　 (第１６题图) １６．如图,抛物线l１:y＝x(x－２)(０≤x≤２)交x轴于点O 和点A１,顶点为点B１;将抛物线l１ 绕点A１ 旋转１８０°后得到抛物线l２,与x轴的另一交点为点A２,顶点为点B２;将抛物线l２ 绕点A２ 旋转１８０°后得到抛物线l３,与x轴的另一交点为点A３,顶点为点B３􀆺􀆺如此进 行下去,直至得到抛物线l２０１４,则抛物线l２０１４的顶点B２０１４的坐标为 ． "#$% １９　 三、解答题 １７．已知关于x的方程(a－１)x２＋(a－１)x＋１＝０有两个相等的实数根,求a的值． １８．在☉O 中,弦AB⊥CD,连接AC、BD,若BD＝１０cm,AC＝２０cm,求☉O 的半径． NEWHOPECUP ２０　 １９．如图,在四边形 ABCD 中,∠BAC＝∠ADC＝９０°,∠ACB＝３０°,∠ACD＝４５°,AB＝ ４３cm,将AB 绕点A 按逆时针方向旋转１２０°得到AE．(１)求点E 到点B 的距离BE; (２)求点E 到CD 的距离EF． ２０．如图,正方形ABCD 的边AB 在y 轴上,边长为２,顶点A 的坐标为(０,４),同一平面上距 离保持２２不变的两条平行直线l１、l２ 所构成的图形在平面内平行移动,已知直线l１ 的 函数解析式为y＝x＋t,在平行线图形移动的过程中,设正方形夹在两平行线间的部分的 面积为S(如图中阴影部分),求S与t之间的函数关系式． !"#$ 九年级训练题(五) 一、选择题 １．A　提示:两颗骰子的点数之和最小为２． ２．C　提示:∠AOB＝∠BOC＝３６０°５ ＝７２° ,７２°×２ ＝１４４°． ３．D　提示:若为一元一次方程,则m＝０;若为一元 二次方程,则m＝２． ４．B　提示:圆心到这条弦的距离为１cm, ２ ２２－１２ ＝２ ３cm． ５．D　提示:a、b的值共有６种可能,其中满足a２－ ４b≥０的情况有４种,４６＝ ２ ３． ６．A　提示:设每天组织捐款的平均增长率为x,则 １００００(１＋x)２＝１２１００,解得x＝－２．１(舍)或x ＝０．１,∴x＝０．１＝１０％,∴ 第 二 天 组 织 捐 款 １００００×(１＋１０％)＝１１０００(元),第四天组织捐 款１２１００×(１＋１０％)＝１３３１０(元),前四天组织 捐款的总额为１００００＋１１０００＋１２１００＋１３３１０＝ ４６４１０(元)． ７．C　提示:圆的周长为２π×r＝４π,２０１５π÷４π＝ ５０３􀆺􀆺３π,即☉O 滚动５０３回到点A 后又滚动 了３π的路程,而AB︵＋BC︵＝２π,AB︵＋BC︵＋CD︵＝ ２π＋ ２２＋１×２π＝３π＋ π ３ ,即AB︵＋BC︵＜３π＜AB︵ ＋BC︵＋CD︵,∴在CD︵上． ８．D　提示:如图,将正方形OABC 旋转后,连接 OB,过点 B 作x 轴 的 垂 线,垂 足 为 点 D,则 ∠BOD＝３０°,OB＝１０ ２cm,BD＝５ ２cm,OD＝ ５ ６cm,∴ 点 B(５ ６,－５ ２),∴ －５ ２＝ ５ ６( ) ２a,解得a＝－ ２３０． 二、填空题 ９．１　提示:(a－１)－３＋a＋２＝０,解得a＝１． １０．６０°　提示:∠BAD＝∠CAE＝∠CDE＝９０°－ ３０°＝６０°,又AD＝AB, ∴△ABD 为等边三角形． １１．８　提示:直线y＝a平行于x 轴,抛物线y＝ ６x２＋８开口向上,有最小值,直线y＝a过抛物 线y＝６x２＋８的顶点时只有一个交点． １２．１８　提示:这块地基原来的长为x,则宽为x－ ２,∴x(x－２)＝２８８, 解得x＝－１６(舍)或x＝１８． １３．４ ３　提示:相当于边长为８cm 的等边三角形 的高． １４．１４　 提示:用A 表示手心,B 表示手背,甲、乙、 丙三人所出示的手势组合(甲,乙,丙)有８种情 况:(A,A,A),(A,A,B),(A,B,A),(A,B,B), (B,A,A),(B,A,B),(B,B,A),(B,B,B),其 中甲的手势与其他两人的手势不同的有(A,B, B),(B,A,A)这２种,概率为２８＝ １ ４． １５．６ １１　提示:如图,延长EC 交☉O 于点G,连 接AG,则易得△ACG≌△BDF,过点O 作OH ⊥EG,垂足为点 H,连接OE,则OC＝２cm,OH ＝ ３cm,EH＝ ３３cm,EG＝２ ３３cm,过点A 作AM ⊥EG,垂 足 为 点 M,则 AM ＝２OH ＝ ２ ３cm,∴S△AEG ＝ １２ ×EG×AM ＝ １ ２ × ２ ３３×２ ３＝６ １１(cm２)． NEWHOPECUP １６．(４０２７,１)　提示:A２０１４的横坐标为２０１４×２＝ ４０２８,∴B２０１４的横坐标为４０２８－１＝４０２７,B２０１４ 的纵坐标与B２ 的纵坐标相同,为１． 三、解答题 １７．解:显然a－１≠０,即a≠１,否则方程无意义, ∴原方程为一元二次方程, 由题意,Δ＝(a－１)２－４(a－１)＝０, 即(a－１)(a－５)＝０,解得a＝１(舍)或a＝５, ∴a的值为５． １８．解:如图,连接AO 并延长,交☉O 于点E,连接 BE、CE,则AB⊥BE,AC⊥CE, 又AB⊥CD,∴CD∥BE,∴BD︵＝CE︵, ∴BD＝CE＝１０cm, ∵在直角△ACE中,AC＝２０cm, ∴AE＝１０ ５cm,∴☉O的半径为５ ５cm． １９．解:(１)如图,过点A 作AG⊥BE,垂足为点G, ∵AB＝AE,∴AG垂直平分BE, ∵∠BAE＝１２０°,∴∠ABE＝３０°, ∵AB＝４ ３cm,∴AG＝２ ３cm,∴BG＝６cm, ∴BE＝２BG＝１２cm． (２)如图,连接CE、DE,∵在△ABC 中,AB＝ ４ ３cm,∠ACB＝３０°,∴BC＝８ ３cm, ∴AC＝１２cm,即AC＝BE＝１２cm, ∵∠ACB＝３０°,∴ ∠ABC＝６０°,∵ ∠ABE＝ ３０°,∴∠EBC＝３０°,即∠ACB＝∠EBC, 又BC＝CB,∴△ABC≌△ECB,∴AB＝CE＝ ４ ３cm,∴AE＝CE,∵∠ADC＝９０°,∠ACD＝ ４５°,∴AD＝CD,又 DE＝DE,∴ △ADE≌ △CDE,∴∠ADE＝∠CDE＝４５°,∴EF＝DF, ∵EF２＋CF２＝CE２, ∴EF２＋(CD－DF)２＝CE２, ∴EF２＋(CD－EF)２＝CE２,即 EF２＋(CD－ EF)２＝CE２,∵ 在等腰直角 △ACD 中,AC＝ １２cm,∴CD＝６ ２cm, ∴EF２ ＋(６ ２－EF)２ ＝(４ ３) ２,解 得 EF＝ ３ ２＋ ６(cm)或EF＝３ ２－ ６(cm), 其中EF＝３ ２＋ ６(cm)不合题意,舍去, ∴EF＝３ ２－ ６(cm)．答:略． ２０．解:∵正方形边长为２,顶点A(０,４),∴AB＝ OB＝２,AC＝２ ２,∵ 两 平 行 线 间 的 距 离 为 ２ ２,∴y轴夹在两平行线间的距离为２ ２× ２＝４,当t≤０时,S＝０;当０≤t≤２时,S＝ １ ２t ２;当２≤t≤４ 时,S＝２２ － １２ (４－t)２ ＝ －１２t ２＋４t－４;当４≤t≤６时,S＝２２－ １２ (t－ ４)２＝ － １２t ２ ＋４t－４;当 ６≤t≤８ 时,S＝ １ ２ [４－(t－４)] ２ ＝１２ (８－t)２;当t≥８时,S＝０． 综上,S与t之间的函数关系式为 S＝ ０,t≤０, １ ２t ２,０≤t≤２, －１２t ２＋４t－４,２≤t≤４, －１２t ２＋４t－４,４≤t≤６, １ ２ (８－t)２,６≤t≤８, ０,t≥８． ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ïï