训练题 4-“枫叶新希望杯”九年级数学竞赛训练题

!"#$% １３　 九年级训练题(四) 一、选择题 １．在下列关于x的方程中,一定是一元二次方程的是(　　)． A．ax２＋bx＋c＝０ B．x２－３＝(x＋２)２ C．x２＝２x－６ D．x ２－４＝０ (第２题图) ２．如图,已知△OCD 是由△OAB 绕点O 顺时针旋转８０°得到 的,若∠A＝１１０°,∠D＝４０°,则∠BOC的度数为(　　)． A．３０° B．４０° C．５０° D．６０° ３．直径为４cm 的圆中有一条长为２cm 的弦,则圆心到这条 弦的距离为(　　)． A．１cm B．２cm C．３cm D．２cm ４．如果△ABC有两边的长是方程x２－７x＋１２＝０的根,第三边的长是方程x２－１２x＋３５＝０ 的根,那么△ABC的周长为(　　)． A．１４ B．１２ C．１２或１４ D．以上都不对 ５．有A、B、C三个笔袋,都装有数量相同的笔,这些笔除颜色外都相同,已知A 笔袋中的红笔 占A 笔袋中笔的数量的１４ ,B 笔袋中没有红笔,C 笔袋中的红笔占C 笔袋中笔的数量的 ７ １２． 现将B、C两个笔袋中的笔全部放入A 笔袋后,再从A 笔袋中任意取出一支笔,则所 取出的笔是红笔的概率为(　　)． A．５６ B． ５ ９ C． ５ １２ D． ５ １８ ６．已知☉O 的直径为１２cm,设点O 到直线l的距离为d,圆周上到直线l的距离为４cm 的点 的个数为k,则下列命题正确的个数有(　　)． ①若d＞１０cm,则k＝０;②若d＝１０cm,则k＝１;③若２cm＜d＜１０cm,则k＝３;④若d＝ ２cm,则k＝２;⑤若d＜２cm,则k＝４． A．２个 B．３个 C．４个 D．５个 (第７题图) ７．如图,将边长为１dm 正方形ABCD 绕点D 按顺时针方向旋转 ４５°后得到正方形 DEFG,边 EF、BC 相交于点 H,则四边形 CDEH 的面积为(　　)． A．２－１２ dm ２ B．２＋１２ dm ２ C．(２－１)dm２ D．(２＋１)dm２ NEWHOPECUP １４　 (第８题图) ８．如图,已知二次函数y＝ax２＋bx＋３的图象与x 轴的负半轴交于点 A(－１,０),与y轴的正半轴交于点B,对称轴直线x＝１上有一个动点C, 现有下列结论:①２a＋b＝０;②x＝３是方程ax２＋bx＋３＝０的一个根;③ △ABC的周长的最小值为 １０＋３２,其中正确的结论有(　　)． A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 二、填空题 ９．已知a是方程x２＋８x－b＝０的一个根,－a 是方程x２－８x＋b＝０的一个根,则a＝ ． １０．如图,在边长为１dm 的正方形ABCD 中,将△ABD 绕点D 按顺时针方向旋转４５°后得到 △EFD,EF 与BC 相交于点G,则BG 的长度为 dm． (第１０题图) 　　　　　　　 (第１１题图) １１．如图,弦AB 是☉O 的内接正十边形的一条边,弦AC 是☉O 的内接正六边形的一条边, 则∠ABC的度数是 ． １２．已知关于x的函数y＝(k－４)x２－(４k＋１)x＋４k的图象与坐标轴有两个交点,则k的值 为 ． １３．在一个不透明的布袋中有k个小球,这些小球的形状、大小、质地都相同,只有颜色不同, 其中有两个是白色的,其余都是黑色的,现从这个布袋中随意取出一个球,取出的是黑球 的概率是３ ５． 如果把这k个小球中的两个标上编号１,其余的分别标上编号２、３、４、􀆺、k －１,随机地取出一个小球后不放回,再从余下的小球中取出一个小球,那么第二次取出 的小球的编号大于第一次取出的小球的编号的概率是 ． １４．如图,在△ABC中,AC⊥x轴,BC⊥y轴,点A 在抛物线l１:y＝x２(x≥０)上,点B 在y 轴 正半轴上,点C在抛物线l２:y＝x ２ ３ (x≥０)上,过点A 平行于x 轴的直线交抛物线l２ 于点 D,BC交抛物线l１ 于点E,则ADBE 的值为 ． (第１４题图) 　　　　　 (第１５题图) !"#$% １５　 １５．如图,在等腰直角△ABC中,点D 为斜边BC 的中点,平行于BC 的直线从点A 出发,以 每秒 ２cm 的速度沿 AD 向点D 滑动,与 AD、AC 的交点分别记作点E、F,若 AD＝ ８２cm,则当△AEF 的面积与△BDE 的面积之比为９∶４时,直线EF 滑动的时间t＝ 秒． １６．在矩形ABCD 中,AB＝４０cm,AD＝３０cm,对角线AC、BD 相交于点O,点P、Q 是对角 线BD 上关于点O 对称的两点,点P 关于AD、AB 的对称点分别为点E、F,点Q 关于 BC、CD 的对称点分别为点G、H,若由点E、F、G、H 构成的四边形为菱形,则PQ 的长度 为 cm． 三、解答题 １７．若方程x２＋mx＋n＝０和x２＋nx＋m＝０有且只有一个公共根,求(m＋n)２０１４的值． １８．如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A(－４,－２)、B(－２, －２)、C(－１,０)． (１)将△ABC绕点C 按顺时针方向旋转９０°,得到△A１B１C１,点A、B、C 的对应点分别为 点A１、B１、C１,在图中画出△A１B１C１,并写出点A１、B１、C１ 的坐标; (２)将△A１B１C１ 向右平移４个单位长度后,得到△A２B２C２,点A１、B１、C１ 的对应点分别 为点A２、B２、C２,在图中画出△A２B２C２,并写出点A２、B２、C２ 的坐标; (３)从△ABC变化到△A２B２C２ 能否看作是将△ABC 绕某一个点作旋转变换? 若能,直 接写出旋转中心;若不能,说明理由． NEWHOPECUP １６　 １９．如图,点O 为等腰直角△ABC 斜边BC 的中点,☉O 与AB、AC 分别相切于点D、E,交 OC于点F,DF 的延长线交AC 的延长线于点G,已知AB＝８cm． (１)求DE︵的长; (２)求证:∠CFG＝∠CGF; (３)求由DG、EG 和DE︵所围成的图形(阴影部分)的面积． ２０．某同学在考察抛物线y＝ax２＋２x＋３(a≠０)的图象与性质时有这样两个发现: ①当实数a变化时,这条抛物线的顶点都在某条直线上; ②把这条抛物线的顶点横坐标减少１a ,纵坐标增加１ a ,得到的点A 仍在这条抛物线上． 根据这两个发现,解答下面的问题: (１)求出①中直线的解析式; (２)证明②中的结论; (３)将②中的结论进行推广,写出一个新的结论,并给出证明过程． NEWHOPECUP 九年级训练题(四) 一、选择题 １．D ２．C　提示:∠AOB＝１８０°－１１０°－４０°＝３０°,８０°－ ３０°＝５０°． ３．C　提示:这条弦与过其两端点的半径构成一个 等边三角形,圆心到这条弦的距离就是这个等边 三角形的高． ４．B　提示:△ABC的三边长分别为３、４、５,周长为 １２． ５．D　提示:设每个笔袋中有x支笔,则 １ ４x＋ ７ １２x ３x !"#$ １２５　 ＝５１８． ６．B　提示:①若d＞１０cm,直线与圆相离,k＝０,正 确;②若d＝１０cm,直线与圆相离,k＝１,正确;③ 若２cm＜d＜１０cm,则k＝２,∴③错误;④若d＝ ２cm,直线与圆相交,k＝３,∴④错误;⑤若d＜ ２cm,直线与圆相交,k＝４,正确．即正确的有① ②⑤． ７．C　提示:易得点C、D、F 共线,且 DF＝ ２dm, ∴CF＝CH＝ ２－１(dm),∴四边形CDEH 的 面积为１ ２－ １ ２× (２－１) ２ ＝ ２－１(dm２)． ８．A　提示:①由对称轴x＝－b２a＝１ 得２a＋b＝０, ①正确;②∵点A(－１,０),对称轴为x＝１,∴抛 物线与x轴的另一个交点为(３,０),∴②正确;③ 设点(３,０)为点D,连接BD,交对称轴直线x＝１ 于点C,则此时 △ABC 的周长最小,其值就是 (AB＋BD)的长度,为 １０＋３ ２． 二、填空题 ９．０或－８　提示:由题意得 a２＋８a－b＝０, a２＋８a＋b＝０．{ 解得a＝０或a＝－８． １０．２－ ２　提示:易得点B、D、E 共线,且BE＝ ２ －１(dm),∴BG＝２－ ２(dm)． １１．１５０°　提示:∠AOB＝３６０°１０ ＝３６° ,∠AOC＝３６０°６ ＝６０°,∴ ∠ABO＝１８０°－３６°２ ＝７２° ,∠BOC＝ ６０°－３６°＝２４°,∴∠OBC＝１８０°－２４°２ ＝７８° , ∴∠ABC＝７２°＋７８°＝１５０°． １２．４、０或－１７２　 提示:(１)当k－４＝０,即k＝４时, y＝－１７x＋１６,图象与坐标轴有两个交点;(２) 当k－４≠０时,函数为二次函数,其图象与y轴 一定有一个交点(０,４k),①若此交点不是原点, 则函数图象与x 轴只能有一个 交 点,∴Δ＝ (４k＋１)２－４×４k×(k－４)＝０,解得k＝－ １７２ ; ②若此交点是原点,则k＝０,从而y＝－４x２－ x,其图象必与x轴有两个不同的交点,其中一 个为原点． １３．９２０　 提示:由k－２ k ＝ ３ ５ 得k＝５,即有５个小球, 其中有两个编号为１,则其余的有三个,编号分 别为２、３、４,两次取球共有５×４＝２０(种)情况, 其中第二次取出的小球的编号大于第一次取出 的小球的编号的情况有９种:(１,２)、(１,２)、(１, ３)、(１,３)、(２,３)、(１,４)、(１,４)、(２,４)、(３,４)． １４．３－ ３　提示:设点B(０,b),则得点E(b,b), C( ３b,b),A( ３b,３b),D(３b,３b), ∴ADBE＝ (３－ ３)b b ＝３－ ３． １５．６　提示:AE＝EF＝ ２t,DE＝８ ２－ ２t, BD＝８ ２cm,∴S△AEF ＝１２× ２t× ２t＝t ２, S△BDE ＝１２×８ ２× (８ ２－ ２t)＝６４－８t, 由题意,t２∶(６４－８t)＝９∶４, 解得t＝－２４(舍)或t＝６． １６．２８　提示:易得对角线AC＝BD＝５０cm,如图, 由对 称 性 知,∠PAE＋ ∠PAF＝２∠PAD＋ ２∠PAB＝１８０°,∴点A 在线段EF 上,同理,点 B、C、D 分别在线段FG、GH、HE上, ∵AE＝AF＝AP,∴点 A 为线段EF 的中点, 同理,点C为线段GH 的中点, ∵四边形EFGH 为菱形, ∴EF∥GH,且EF＝GH, 即AE∥CH,且AE＝CH, ∴四边形ACHE为平行四边形, ∴EH＝AC＝５０cm,∴EF＝EH＝AC＝５０cm, ∴AE＝AO＝AP＝２５cm,∴△AOP 为等腰三 角形,过点A 作AM⊥BD,垂足为点 M, 则由１ ２ 􀅰BD􀅰AM＝１２ 􀅰AB􀅰AD 得AM＝AB 􀅰AD BD ＝ ４０×３０ ５０ ＝２４ (cm), ∴OM＝PM＝ AO２－AM２ ＝７cm, ∴OP＝１４cm,PQ＝２８cm． NEWHOPECUP １２６　 三、解答题 １７．解:设两个方程的公共根为x０,则 x２０＋mx０＋n＝０, x２０＋nx０＋m＝０．{ ∴(m－n)x０＝m－n, 若m－n＝０,即m＝n,则两个方程相同,要使方 程只有一个公共根,则 Δ＝m２－４n＝０,即m２－４m＝０, ∴m＝n＝０或m＝n＝４, ∴(m＋n)２０１４＝０或(m＋n)２０１４＝８２０１４; 若m－n≠０,则x０＝１,∴１＋m＋n＝０, 即m＋n＝－１,∴(m＋n)２０１４＝１． 综上,(m＋n)２０１４的值为０,１或８２０１４． １８．解:(１)如图,点A１(－３,３)、B１(－３,１)、 C１(－１,０); (２)点A２(１,３)、B２(１,１)、C２(３,０); (３)从 △ABC 变 化 到 △A２B２C２ 能 看 作 是 将 △ABC绕某一个点作旋转变换,旋转中心为点 (１,－２)． １９．解:(１)如图,连接OD、OE, ∵点D、E分别为☉O与AB、AC的切点, ∴OD⊥AB,OE⊥AC,且OD＝OE＝半径r, ∵BC为等腰直角△ABC 的斜边,∴∠A＝９０°, ∠B＝４５°,∴四边形ADOE为正方形, ∴∠DOE＝９０°,AD＝OD＝BD＝r＝ １２AB＝ ４cm,∴DE︵＝９０°３６０°×２πr＝ １ ２πr＝２π (cm)． (２)∵OD⊥AB,∠A＝９０°,∴OD∥AG, ∴∠BOD＝∠ACB,而∠BOD＝２∠BFD, ∴∠ACB＝２∠BFD, ∵∠BFD＝ ∠CFG,∴ ∠ACB＝２∠CFG,又 ∠ACB＝∠CFG＋∠CGF,∴∠CFG＝∠CGF． (３)由上述结论可知,CE＝OE＝OF＝r＝４cm, ∴OC＝４ ２cm,∴CF＝CG＝４ ２－４(cm), ∴EG＝CE＋CG＝４ ２cm, 连接DE,则S△DEG ＝ １２ ×EG×OE＝ １ ２ ×４ ２ ×４＝８ ２(cm２),S扇形DOE ＝ ９０°３６０°×π×４ ２ ＝ ４π(cm２),S△DOE ＝１２×４×４＝８ (cm２), 阴影部分的面积为S△DEG ＋S扇形DOE －S△DOE ＝ ８ ２＋４π－８(cm２)．答:略． ２０．解:(１)当 a≠０ 时,y＝ax２ ＋２x＋３＝ a x＋１a( ) ２ －１a＋３ , 顶点坐标为 －１a ,－１a＋３( ) , 令x＝－１a ,则所求直线的解析式为y＝x＋３; (２)由(１)可得点A －２a ,３( ) , 在y＝ax２＋２x＋３(a≠０)中, 当x＝－２a 时,y＝a －２a( ) ２ ＋２ －２a( ) ＋３＝ ３, 即点A －２a ,３( ) 在抛物线y＝ax２＋２x＋３上; (３)例如: ①把抛物线y＝ax２＋２x＋３的顶点横坐标增加 １ a ,纵坐标增加１ a ,得到点B的坐标,点B仍在 这条抛物线上; 证明:y＝ax２＋２x＋３＝a x＋１a( ) ２ －１a＋３ , 顶点坐标为 －１a ,－１a＋３( ) , ∴点B(０,３), 在y＝ax２＋２x＋３(a≠０)中, 当x＝０时,y＝３, 即点B(０,３)在抛物线y＝ax２＋２x＋３上; ②把抛物线y＝ax２＋bx＋c的顶点横坐标减少 !"#$ １ a ,纵坐标增加１ a ,得到点C的坐标,点C仍在 这条抛物线上． 证明:y＝ax２＋bx＋c＝a x＋b２a( ) ２ ＋４ac－b ２ ４a , 顶点坐标为－b２a ,４ac－b ２ ４a , ∴点C －b＋２２a ,c＋４－b ２ ４a( ) ． 在y＝ax２＋bx＋c(a≠０)中, 当x＝－b＋２２a 时, y＝a －b＋２２a( ) ２ ＋b －b＋２２a( ) ＋c＝ ４－b２ ４a ＋c , 即点C －b＋２２a ,c＋４－b ２ ４a( ) 在抛物线y＝ax ２＋ bx＋c上．