训练题 3-“枫叶新希望杯”九年级数学竞赛训练题

!"#$% ９　 九年级训练题(三) 一、选择题 １．两根分别为３和－１的一元二次方程是(　　)． A．x２＋２x－３＝０ B．x２＋２x＋３＝０ C．x２－２x－３＝０ D．x２－２x＋３＝０ (第２题图) ２．如图,已知在△ABC 中,∠A＝９０°,∠C＝３４°,现将 △ABC绕点B 按顺时针方向旋转到△BDE 的位 置,使得点A、B、D 在一条直线上,则旋转角最小是 (　　)． A．５６°　　 B．６８° C．１１２°　　 D．１２４° ３．将三个质地均匀的骰子同时抛出,得到朝上的面上 的点数能够构成直角三角形的三边长的概率为(　　)． A．１２１６　　 B． １ ７２ C． １ １２　　 D． １ ３６ ４．关于x的一元二次方程(a－２)２x２＋(２a＋１)x＋１＝０有两个不相等的实数根,则a的取 值范围是(　　)． A．a＞３４　 B．a≥ ３ ４ C．a＞ ３ ４ 且a≠２　　 D．a≥３４ 且a≠０ ５．若点(－１－２k,２k－４)关原点对称的点在第一象限,则整数k的解的个数有(　　)． A．１个　　 B．２个　　　 C．３个　　 D．４个 ６．已知抛物线y＝ax２＋x＋２．当a＝a１时,抛物线y＝ax２＋x＋２与x轴的正半轴相交于点 M(m,０);当a＝a２时,抛物线y＝ax２＋x＋２与x轴的正半轴相交于点N(n,０)．若点 M 在点N 的左边,则a１与a２的大小关系是(　　)． A．a１＜a２　　 B．a１＝a２ C．a１＞a２　　 D．无法比较 ７．在☉O 中,半径为５cm,弦AB 上有一点C,如果BC＝３AC＝６cm,那么OC的长为(　　)． A．３ B．２３ C．１３ D．４ (第７题图) 　　　　　 　　　　 (第８题图) ８．如图,抛物线y＝ax２＋bx＋c的对称轴为直线x＝２,与x轴的其中一个交点为(－１,０), 根据图示信息得到下列结论:①b＜－２ －ac;②１２１a＋２２b＋４c＜０;③４a＋b＝０;④抛物 NEWHOPECUP １０　 线与x轴的另一个交点为(５,０);⑤若点(－３,m)、(６,n)都在抛物线上,则有m＜n．其中 正确的结论有(　　)． A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．③④⑤ 二、填空题 ９．如图,在△ABC中,∠BAC＝４０°,∠ABC＝６０°,将△ABC绕点C 旋转后得到△CDE,且点 B 的对应点E 刚好落在AC 边上,则∠ADE＝ ． １０．在一个由１４名同学组成的活动小组中,男生比女生多４名,从中任选一名男生为组长的 概率为 ． １１．已知x＝１是方程x２＋ax＋b＝０唯一的根,则a２＋３ab＋b２＝ ． １２．如图,在☉O 中,直径AB＝１０cm,位于点O 两侧且垂直于直径AB 的两条弦长分别为 CD＝８cm,EF＝６cm,若点G为直径AB上任意一点,则CG＋EG的最小值为 cm． １３．若关于x的方程(k－１)x２＋２x－k－１＝０的根都是整数,则整数k的值共有 个． １４．已知二次函数y＝x２＋mx＋n的图象与x 轴交于不同的两点A、B,顶点为点C,且S△ABC ≤１,则代数式m２－４n的取值范围是 ． １５．有五个小朋友从前往后排成一列等待老师给他们发糖,已知老师手上共有１５颗糖,若要 求:①每个人所得糖的数量各不相同;②其中任意相邻的三个人所得糖的数量之和都是 这三人中第一个人所得糖的数量的整数倍;③最后一个人所得糖的数量为奇数,则满足 条件的发糖方法共有 种． １６．在菱形ABCD 中,∠ABC＝１２０°,边长为２cm,现将菱形ABCD 绕其外一点O 按顺时针 方向分别旋转９０°、１８０°、２７０°后,得到如图的图形,每相邻两个菱形有一个顶点重合,则图 中阴影部分的面积为 cm２． !"#$% １１　 三、解答题 １７．甲同学手上有三张数字卡片,每张卡片上只有一个数字,分别为－１、１、５,甲同学从中任 取一张,得到的数字记为a;乙同学手上也有三张数字卡片,每张卡片上也只有一个数字, 分别为－４、－２、３,乙同学从中任取一张,将得到的数字记为b,求点(a,b)在第一象限的 概率． １８．如图,四边形ABCD 为正方形,点E、F 分别在边BC、CD 上,如果∠EAF＝４５°,△CEF 的周长为４０cm．求正方形ABCD 的边长． NEWHOPECUP １２　 １９．若关于x的一元二次方程x２－６x－a２－８a＝０的根都是整数,求a的值． ２０．某种学习用品每件的市场售价y(单位:元)、生产成本s(单位:元)都是时间t(单位:月) 的函数,如图所示．根据图示信息,分别求出每件学习用品的市场售价y、生产成本s和利 润R 关于时间t的函数关系式,并求出在第几个月出售时,每件该学习用品的利润最大? 最大利润是多少? NEWHOPECUP 九年级训练题(三) 一、选择题 １．C　提示:b＝－(－１＋３)＝－２, c＝－１×３＝－３． ２．D　提示:∠ABC＝９０°－３４°＝５６°, ∠CBD＝１８０°－５６°＝１２４°． ３．D　提示: ６６×６×６＝ １ ３６． "#$ １２３　 ４．C　提示:由 Δ＝(２a＋１)２－４(a－２)２×１＞０且 a－２≠０解得a＞３４ 且a≠２． ５．B　 提示:点(－１－２k,２k－４)关于原点对称的 点为(１＋２k,４－２k),∵在第一象限, ∴ １＋２k＞０, ４－２k＞０．{ 解得 k＞－１２ , k＜２．{ ∴k的值有０和１两个． ６．A　提示:a１＝－m＋２m２ ,a２＝－n＋２n２ , a１－a２＝－m＋２m２ － － n＋２ n２( ) ＝m ２n＋２m２－mn２－２n２ m２n２ ＝ (m－n)(mn＋２m＋２n) m２n２ , ∵点 M、N 在x 轴的正半轴上,且点 M 在点N 的左边,∴０＜m＜n,∴m－n＜０, ∴ (m－n)(mn＋２m＋２n) m２n２ ＜０ ,即a１＜a２． ７．C　提示:过点O作OD⊥AB 于点D,连接OA, 则AD＝４cm,CD＝２cm,OD＝３cm, ∴OC＝ １３cm． ８．B　提示:易得a＞０,b＜０,c＜０,b２＞４ac, ∴b＜－２ －ac,①正确; ∵对称轴为直线x＝２,与x轴的其中一个交点 为(－１,０), ∴与x轴的另一个交点为(５,０), ∴③和④正确,且当x＝１１２ 时,函数值大于０, 即 １１ ２( ) ２ a＋１１２b＋c＞０ , 整理得１２１a＋２２b＋４c＞０, ∴②错误;根据对称性,点(－３,m)的对称点为 (７,m),而当x＞２时,函数值y随x 的增大而增 大,７＞６,∴m＞n,故⑤错误． 二、填空题 ９．１０°　 提 示:∠CDE＝ ∠BAC＝４０°,∠CED＝ ∠ABC＝６０°,∴ ∠DCE＝８０°,∵CD＝AC,∴ ∠ADC＝∠CAD＝５０°,∴∠ADE＝１０°． １０．９１４　 提示:易得男生有９名,女生有５名． １１．－１　 提 示:由 题 意 得 １＋a＋b＝０, a２－４b＝０．{ 解 得 a＝－２, b＝１．{ ∴a ２＋３ab＋b２＝(a＋b)２＋ab＝１＋ (－２)＝－１． １２．７ ２　提示:如图,连接CF,交 AB 于点G,则 EG＝FG,此时的点G才能使得CG＋EG 最小, 过点F作CD 的垂线,垂足为点 H,易得FH＝ ７cm,CH＝７cm,∴CF＝７ ２cm． １３．５　提示:当k－１＝０,即k＝１时,x＝１,满足要 求;当k－１≠０,即k≠１时,x＝１或x＝－１－ ２ k－１ ,∴k－１＝±１或k－１＝±２,∴k＝０或k ＝２或k＝－１或k＝３,综上,整数k的值共有５ 个． １４．０＜m２－４n≤４　提示:设点A(a,０)、B(b,０),a ≠b,则a、b是方程x２＋mx＋n＝０的两个不同 的实根,∴a＋b＝－m,ab＝n,m２－４n＞０,又yC ＝ ４n－m ２ ４ ,∴ S△ABC ＝ １２ AB 􀅰 yC ＝ １ ２ a－b 􀅰 yC ＝ １２ (a＋b)２－４ab 􀅰 yC ＝ １２ m ２－４n 􀅰 ４n－m ２ ４ ≤１ ,从 而 (m２－４n)３≤６４,m２－４n≤４． １５．５　提示:易得五个小朋友所得糖的数量分别为 １、２、３、４、５,显然相邻两人所得糖的数量不能都 是偶数颗,否则两人之后的第三个人所得糖的 数量也只能为偶数颗,不合条件;若三个人中, 第一个人分偶数颗糖,第二个人分奇数颗糖,则 第三个人也只能分奇数颗糖,∴所分糖的数量 的奇偶性依次分别是偶、奇、奇、偶、奇,∴分法 只能是以下５种:(２,１,３,４,５)、(２,３,５,４,１)、 (２,５,１,４,３)、(４,３,１,２,５)、(４,５,３,２,１)． NEWHOPECUP １６．１２－４ ３　提示:如图,连接AC、OB,交点为点 E,则OB为AC 的中垂线, ∴点D 在OB 上,由已知条件易得BE＝DE＝ １ ２AB＝１cm ,AE＝OE＝ ３cm, ∴OD＝ ３－１(cm), ∴S△AOD ＝１２×AE×OD＝ １ ２ × ３× (３－１) ＝３－ ３２ (cm), ∴所求面积为８×３－ ３２ ＝１２－４ ３ (cm)． 三、解答题 １７．解:甲取得正数的概率为２３ ,乙取得正数的概率 为１ ３ ,点(a,b)在第一象限的概率为 ２３ × １ ３ ＝ ２ ９． 答:略． １８．解:如图,将△ADF 绕点A 按顺时针方向旋转 ９０°到 △ABG 的 位 置,AG＝AF,BG＝DF, ∠BAG＝∠DAF, ∵ ∠EAF＝４５°,∠BAD ＝９０°,∴ ∠BAE ＋ ∠DAF＝４５°,∴ ∠BAE ＋ ∠BAG＝４５°,∴ ∠EAG＝∠EAF＝４５°, 又AE＝AE,∴△AEG≌△AEF,∴EG＝EF, 即BE＋BG＝EF,∵△CEF的周长为４０cm, ∴CE＋CF＋EF＝４０cm,∴CE＋CF＋BE＋BG ＝４０cm,∴(CE＋BE)＋(DF＋BG)＝４０cm, 即∴BC＋CD＝２BC＝４０cm,∴BC＝２０cm,即 正方形ABCD 的边长为２０cm．答:略． １９．解:由 x２ －６x－a２ －８a＝０ 得 x＝３± a２＋８a＋９,∵原方程的根都是整数, ∴a２＋８a＋９是完全平方数,不妨设a２＋８a＋９ ＝k２(k为正整数),则(a＋４＋k)(a＋４－k)＝ ７,而７＝７×１＝(－７)×(－１), ∴ a＋４＋k＝７, a＋４－k＝１{ 或 a＋４＋k＝－１, a＋４－k＝－７．{ 解得a＝０ 或a＝－８．经检验,a＝０或a＝－８都满足条 件．答:略． ２０．解:y＝ ５t＋２０,１≤t≤３, ３５,３≤t≤８, －５t＋７５,８≤t≤１０． ì î í ïï ï s＝－ １２ (t－５)２＋ １６．５＝－１２t ２＋５t＋４(１≤t≤１０), ∴R＝ １ ２t ２＋１６,１≤t≤３, １ ２t ２－５t＋３１,３≤t≤８, １ ２t ２－１０t＋７１,８≤t≤１０． ì î í ï ï ï ï ï ï 当１≤t≤３时,Rmax＝１２×３ ２＋１６＝２０．５(元); 当３≤t≤８时,Rmax＝ １２ ×８ ２－５×８＋３１＝２３ (元); 当８≤t≤１０时,Rmax＝１２×８ ２－１０×８＋７１＝２３ (元), ∴在第８个月出售时,每件该学习用品的利润 最大,最大利润是２３元．答:略．