训练题 2-“枫叶新希望杯”九年级数学竞赛训练题

!"#$% ５　 九年级训练题(二) 一、选择题 １．有下列图形:①正方形,②长方形,③梯形,④平行四边形,⑤等腰三角形,⑥等边三角形, ⑦线段,⑧钝角．其中绕某个点旋转１８０°后能与自身重合的图形有(　　)． A．４种 B．５种 C．６种 D．７种 ２．某教育机构的面试官在接受应聘者面试时准备了２０道考题,其中有６道题是考教育教学 技能的,有５道题是考数学专业知识的,有９道题是考综合能力的．随意打乱顺序编上题 号后,再让面试者随意选择一个题号答题．小王第一个去面试,他选中数学专业知识题的 概率为(　　)． A．１２０ B． １ ５ C． １ ４ D． １ ３ ３．若一元二次方程ax２＋bx＋c＝０(a≠０)的两根互为相反数,则(　　)． (第４题图) A．a、b异号 B．a、c异号 C．b、c异号 D．b≠０ ４．如图,在一个边长为m 的正六边形纸板中截去一个边长为m 的等 边三角形后,余下部分的面积与所截去的等边三角形的面积之比 为(　　)． A．３∶１　 　 B．４∶１ C．５∶１　 　 D．６∶１ ５．设m 是方程ax２ ＋bx＋c＝０(a≠０)的一个根,则 Δ＝b２ －４ac 和完全平方式 M ＝ (２am＋b)２ 的大小关系是(　　)． A．Δ＝M　　 B．Δ＜M C．Δ＞M　　 D．无法比较 ６．在平面直角坐标系中,将点A０(１,０)绕原点O 按逆时针方向旋转３０°得到点A１,延长OA１ 到A２,使得OA２＝２OA１;再将点A２ 绕点O 按逆时针方向旋转３０°得到点A３,然后延长 OA３ 到A４,使得OA４＝２OA３;􀆺;如此操作下去,则点A２０１６的坐标为(　　)． A．(２２０１６,０) B．(２１００８,０) C．(－２１００８,０) D．(０,２１００８) ７．设抛物线y＝ax２＋bx＋c经过点A(－１,２)、B(２,－１),且与y轴相交于点M．若抛物线y ＝ax２－bx＋c－１上横坐标与纵坐标相等的点也在抛物线y＝ax２＋bx＋c上,则直线AM 和x 轴的位置关系是(　　)． A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．可能平行,也可能垂直 NEWHOPECUP ６　 (第８题图) ８．如图,已知☉O 的直径AB＝２cm,∠CAB 的度数为３０°,它的另一 边AC交☉O 于点C,点D 为弧BC︵的中点,点E 为直径AB 上的 一个动点,则CE＋DE 的最小值为(　　)． A．１cm B．２cm C．２cm D．４cm 二、填空题 ９．在平面直角坐标系中,将点(５,３)绕原点按逆时针方向旋转９０°后,其对应点的坐标为 ． １０．若关于x的一元二次方程mx２＝n(mn＞０)的两个根分别为k＋１和２k－４,则nm 的值为 ． １１．已知a、b都是一位数的自然数,则点(a,b)在直线y＝－x＋１０上的概率为 ． １２．如图,四边形ABCD 是☉O 的内接四边形,∠BAD＝４５°,☉O 的半径为２cm,若点A 在 优弧BD︵上运动,点C在劣弧BD︵上运动,则四边形ABCD 的最大面积为 cm２． １３．已知顶点为点A 的抛物线y＝x２＋２mx＋m ２ ２ 与x轴交于不同的两点B、C,如果△ABC 为等边三角形,那么m 的值为 ． １４．望望同学和他的体育教练王老师同时从圆形跑道上的同一起点出发,都按顺时针方向跑 步,王老师的速度比望望的速度快多了,过一段时间后王老师第一次从后面追上了望望, 这时王老师立即改变方向,按逆时针方向以原来的速度跑去,当他们俩再次相遇时,望望 恰好跑了４圈,则王老师的速度与望望的速度之比为 ． １５．设点O 为△ABC内任意一点,AO 的延长线交BC 于点D,BO 的延长线交AC 于点E, CO 的延长线交AB 于点F,则AOAD＋ BO BE＋ CO CF 的值为 ． １６．如图,△ABC和△ADE 都为等腰直角三角形,点D 在AC 上,点E 在BA 的延长线上, AB＝AC＝１０cm,AD＝AE＝６cm,现将△ADE 绕点A 旋转６０°,得到△AD′E′,连接 BE′、CD′,过点A 作AF⊥BE′,垂足为点F,直线AF 交CD′于点G,则线段FG 的长度 为 cm． !"#$% ７　 三、解答题 １７．若关于x的一元二次方程ax２－ax＝２x－２(a≠０)有两个不相等的实数根,且这两个实 数根都是整数,求整数a的值． １８．如图,在☉O 中,AB 为直径,弦CD⊥AB,垂足为点E,以OA 为直径的圆交CD 于点F, 连接AF、OF,AF 的延长线交☉O 于点G,连接BG,若OE＝４cm,OF＝６cm,求图中阴影 部分的面积．(结果保留π) NEWHOPECUP ８　 １９．若Ai≠０(i＝１,２,３,􀆺,２０１４)满足 A１A１ ＋ A２ A２ ＋ A３ A３ ＋ 􀆺＋ A２０１３A２０１３ ＋ A２０１４ A２０１４ ＝ １９８２,求直线y＝Aix＋i(i＝１,２,３,􀆺,２０１４)经过第一、二、三象限的概率． ２０．已知二次函数的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,且OC＝OB＝２OA＝２． (１)求此二次函数的解析式及顶点D 的坐标; (２)过BD 上一点E 作EF⊥x轴于点F,当点E 在线段BD 上运动时(不与点B、D 重 合),设EF＝t,四边形ACEF 的面积为S,求S与t之间的函数关系式及自变量t的 取值范围; (３)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G,使得△ACG 为直角三角形,若存在,求出点 G 的坐标;若不存在,说明理由． NEWHOPECUP 九年级训练题(二) 一、选择题 １．A　提示:正确的有①②④⑦． ２．C　提示:５２０＝ １ ４． ３．B　提示:∵两根互为相反数,∴b＝０,且a、c异 号． ４．C　提示:边长为m 的正六边形的面积是边长为 m 的等边三角形面积的６倍． ５．A　提示:∵am２＋bm＋c＝０,∴bm＝－am２－c, ∴M＝(２am＋b)２＝４a２m２＋４abm＋b２＝４a２m２ ＋４a(－am２－c)＋b２＝b２－４ac＝Δ． ６．B　 提 示:OA２ ＝２１,OA４ ＝２２,OA６ ＝２３,􀆺, OA２０１６＝２１００８,每转一圈需要２×３×４＝２４(个) 点,２０１６÷２４＝８４,∴点A２０１６与点A０ 一样,也在 x轴正半轴上,∴点A２０１６的坐标为(２１００８,０)． ７．C　提示:由 a－b＋c＝２, ４a＋２b＋c＝－１{ 得 b＝－１－a, c＝１－２a．{ ∴抛物线y＝ax２－bx＋c－１的方程可化为y＝ ax２＋(a＋１)x－２a,横坐标与纵坐标相等的点为 (１,１)或(－２,－２),当点(１,１)在抛物线y＝ax２ ＋bx＋c上时, a＝－１２ , c＝２．{ ∴M(０,２),∴AM∥x 轴;当点(－２,－２)在抛物线y＝ax２＋bx＋c上 时, a＝－５４ , c＝７２． ì î í ï ï ïï ∴M ０,７２( ) ,∴AM 与x 轴相交． ８．B　提示:作点C关于直径AB 的对称点F,则点 F也在☉O上,连接DF交AB 于点E,根据三角 形三边不等关系和对称性,此时CE＋DE＝DF 为所求最小值．易得△DOF 为等腰直角三角形, !"#$ 两直角边OD＝OF＝１为半径,∴DF＝ ２cm． 二、填空题 ９．(－３,５)　提示:对应点落在第二象限,其纵坐标 与点(５,３)的横坐标相同． １０．４　提示:由 mx２＝n得mx２－n＝０, ∴(k＋１)＋(２k－４)＝０,解得k＝１, ∴(k＋１)􀅰(２k－４)＝－nm ,∴nm ＝４． １１．９１００　 提示:一位数的自然数有１０个,有序数 对共１０×１０＝１００(对),满足条件的有９对． １２．４ ２　提示:连接AC、BD、OB、OD,则当AC⊥ BD 时,四边形ABCD 的面积最大,此时,AC也 为☉O 的直径,∠BOD＝２∠BAD＝９０°,∴BD ＝２ ２cm,AC＝４cm,∴四边形ABCD 的最大 面积为１ ２×２ ２×４＝４ ２ (cm２)． １３．± ６　提示:BC＝ ２m ,点A 到x 轴的距离 为m ２ ２ ,∴m ２ ２ ＝ ３× １ ２ × ２m ,解 得 m＝ ± ６． １４．(１＋ １７)∶４　提示:设王老师的速度为v１, 望望的速度为v２,圆形跑道的周长为s,则v２􀅰 s v１－v２＋ s v１＋v２( ) ＝４s,整理得２ v１ v２( ) ２ －v１v２ －２＝０,解 得v１v２ ＝ １－ １７ ４ (舍 去)或v１ v２ ＝ １＋ １７ ４ ． １５．２　 提 示:∵AOAD ＝ S△AOB S△ABD ＝ S△AOC S△ACD ,∴AOAD ＝ S△AOB ＋S△AOC S△ABD ＋S△ACD ＝ S△AOB ＋S△AOC S△ABC , 同理BO BE＝ S△AOB ＋S△BOC S△ABC ,CO CF＝ S△AOC＋S△BOC S△ABC , ∴AOAD＋ BO BE＋ CO CF＝ S△AOB ＋S△AOC S△ABC ＋S△AOB ＋S△BOCS△ABC ＋ S△AOC＋S△BOC S△ABC ＝２ (S△AOB ＋S△AOC＋S△BOC) S△ABC ＝２． １６．７＋１５７ ３ 或７－１５７ ３　 提示:如图１和图２,过 点E′作E′M⊥BE,垂足为点 M,则由∠E′AM ＝６０°,AE′＝AE＝６cm,得∠AE′M＝３０°,AM＝ ３cm,E′M＝３ ３cm,∴BM＝１３cm,BE′＝１４cm, 由等面积法有１ ２BE′ 􀅰AF＝１２AB 􀅰E′M,∴AF ＝１５７ ３cm ;过点C 作CH∥AD′交AG 的延长 线于点H,易得△ABE′≌△CAH,∴AE′＝CH ＝AD′＝AD＝６cm,BE′＝AH＝１４cm, ∴四边形ACHD′为平行四边形, ∴AG＝１２AH＝７cm , ∴在图１中,FG＝AF＋AG＝７＋１５７ ３ (cm), 在图２中,FG＝AG－AF＝７－１５７ ３ (cm)． 图１ 图２ NEWHOPECUP 三、解答题 １７．解:由ax２－ax＝２x－２(a≠０)得 ax２－(a＋２)x＋２＝０,即(x－１)(ax－２)＝０, ∵a≠０,∴x＝１或x＝２a , ∵原方程有两个不相等的整实数根,２a≠１ , ∴a＝±１或a＝－２． １８．解:∵CD⊥AB,OE＝４cm,OF＝６cm, ∴EF＝２ ５cm, ∵OA 为小圆的直径,∴OF⊥AG,∵OA２＝OF２ ＋ AF２ ＝ OF２ ＋ AE２ ＋ EF２ ＝ OF２ ＋ (OA－OE)２＋EF２, ∴OA２＝６２＋(OA－４)２＋(２ ５) ２,解得OA＝ ９cm,即☉O的半径为９cm． ∴AB＝１８cm,AF＝ AE２＋EF２ ＝ (OA－OE)２＋EF２ ＝３ ５cm, ∴AG＝６ ５cm,∵AB为☉O的直径, ∴∠AGB＝９０°,∴BG＝ AB２－AG２ ＝１２cm, ∴S△ABG ＝１２×１２×６ ５＝３６ ５cm , ∴阴影部分的面积为 １２π×９ ２－３６ ５＝８１２π－ ３６ ５．答:略． １９．解:∵Ai≠０(i＝１,２,３,􀆺,２０１４)满足 A１A１ ＋ A２ A２ ＋ A３ A３ ＋ 􀆺 ＋ A２０１３A２０１３ ＋ A２０１４ A２０１４ ＝ １９８２, ∴(２０１４－１９８２)÷２＝１６,２０１４－１６＝１９９８,即 Ai 中有１６个负数,１９９８个正数, ∵i＞０,∴Ai＞０时直线y＝Aix＋i(i＝１,２,３, 􀆺,２０１４)经过第一、二、三象限, ∴直线y＝Aix＋i(i＝１,２,３,􀆺,２０１４)经过第 一、二、三象限的概率为１９９８ ２０１４＝ ９９９ １００７． 答:略． ２０．解:(１)易得点A(－１,０)、B(２,０)、C(０,－２), 设此二次函数的解析式为y＝a(x＋１)(x－２), 则－２＝a(０＋１)(０－２),解得a＝１, ∴y＝x２－x－２,顶点为D １２ ,－９４( ) ． (２)点B(２,０)、D １２ ,－９４( ) 所在的直线方程 为y＝３２x－３ , ∴点E ２－２３t ,－t( ) ,其中０＜t＜９４, ∴S＝S△AOC＋S梯形OCEF ＝１２ ×１×２＋ １ ２ × (t＋ ２)× ２－２３t( ) ＝－ １ ３t ２＋１３t＋３ , 即S＝－１３t ２＋１３t＋３ , 其中自变量t的取值范围是０＜t＜９４． (３)存在点 G１ ５２ ,７ ４( ) 和 G２ ３ ２ ,－５４( ) 使得 △ACG为直角三角形． 设点G的坐标为G(m,m２－m－２), 则AG２＝(m２－m)２－３m２＋６m＋５, CG２＝m２＋(m２－m)２,AC２＝５, ①若AG为斜边,则AG２＝CG２＋AC２, 即(m２－m)２－３m２＋６m＋５＝m２＋(m２－m)２ ＋５,解得m＝０(舍),或m＝３２ , 此时点G的坐标为 ３２ ,－５４( ) ; ②若CG为斜边,则CG２＝AG２＋AC２, 即m２＋(m２－m)２＝(m２－m)２－３m２＋６m＋５ ＋５,解得m＝－１(舍),或m＝５２ , 此时点G的坐标为 ５２ ,７ ４( ) ; ③若AC为斜边,则AG２＋CG２＝AC２, 即(m２－m)２－３m２＋６m＋５＋m２＋(m２－m)２ ＝５,解得 m＝０(舍),或 m＝－１(舍),或 m 无 解,此时点G不存在, 综上,存在点 G１ ５２ ,７ ４( ) 和 G２ ３ ２ ,－５４( ) 使 得△ACG为直角三角形．答:略．