训练题 1-“枫叶新希望杯”九年级数学竞赛训练题

%$#"! １　 九年级训练题(一) 一、选择题 １．方程２０１４x２＋２０１５x－２０１６＝０的两根的符号是(　　)． A．都为正　　　　　B．都为负　　　　　C．一正一负　　　　　D．无法确定 (第２题图) ２．如图,将一个三角板AOB 按如图所示的方式放在一个平面直角坐 标系中,然后绕点O 按顺时针方向旋转９０°到△COD 的位置．如果 ∠A＝９０°,∠AOB＝３０°,AB＝２,则点C的坐标为(　　)． A．(３,３) B．(３,３) C．(３,１) D．(１,３) ３．关于函数y＝x２－２x＋３的图象,下列说法正确的是(　　)． A．开口向下 B．对称轴为x＝－１ C．顶点坐标为(１,２) D．图象与x轴有两个交点 ４．过☉O 内定点A 的最长弦长为１０cm,最短弦长为８cm,那么OA 的长度为(　　)． B．６cA．３cm m C．４１cm D．９cm 号桌至６号桌,每桌１０人,每个人都抽签就座,若前６个同学所抽的桌号各不相同,则第 ５．“ 创新希望”西安夏令营的时候,希望之星代表队共有６０人,就餐时刚好坐６桌,安排在１ ７ 个抽签的同学抽中１号桌的概率为(　　)． A．１６０ B． １ ５４ C． １ １０ D． １ ６ ６．在正五边形ABCDE 中,连接对角线AC、AD、CE,其中AD、CE 相交于点F,连接BF,交 AC于点G,则下列说法不正确的是(　　)． A．AC＝AE＋EF B．AD２＋BF２＝４DE２ C．S△CDE＝２S△AFG D．∠ABF＝∠AFE (第６题图) 　　　　　　 (第７题图) ７．已知抛物线y＝ax２＋bx＋c的图象如图所示,那么代数式abc、b２－４ac、２a＋b、９a＋３b＋c 中,值为正数的有(　　)． A．４个 B．３个 C．２个 D．１个 ８．由于技术水平的不断提高,某些石材加工设备的生产成本不断降低,下表是甲、乙两种设 备分别在２０１２年和２０１４年每套的生产成本情况． NEWHOPECUP ２　 年份 甲种设备的生产成本(元/台) 乙种设备的生产成本(元/台) ２０１２年 ５００００ ６００００ ２０１４年 ２８１２５ ３３７５０ 现有下列结论:①从２０１２年到２０１４年,甲种设备的生产成本年平均下降率为２５％;②从 ２０１２年到２０１４年,乙种设备的生产成本的年平均下降率比甲种设备大;③按甲种设备生 产成本的年平均下降率估计,２０１３年甲种设备平均每台的生产成本为５００００(１＋２５％) 元;④若乙种设备生产成本的年平均下降率不变,则估计２０１６年,乙种设备每台的生产成 本为３３７５０(１－２５％)２ 元．其中正确的结论有(　　)． A．①④ B．①②④ C．①③ D．②③④ 二、填空题 ９．关于x的方程x２＋(a＋１)x＋a２＝０的两根互为倒数,则a的值为 ． １０．某公司共有１３名员工,这１３名员工中,有两个人出生月份相同的概率为 ． １１．如图,在直角△ABC中,两直角边分别为AC＝１０３cm,BC＝１０cm,将△ABC绕点A 按 逆时针方向旋转后得到△ADE,点B 的对应点D 恰在AC 的延长线上,CE︵为点C 旋转 到点E 的轨迹,则图中阴影部分的面积为 cm２． (第１１题图) 　　　　　 (第１２题图) １２．如图,已知一个圆的直径与边长为４cm 的等边三角形的高相等,☉O 与BC 相切于点B, 与AB 相交于点D,则弦BD 的长为 cm． １３．有一块长８０cm、宽６０cm 的长方形铝片,现将它的四个角各剪去一个相同的小正方形,做 成一个底面积为１５００cm２ 的无盖长方体盒子,则所剪去的小正方形的边长为 cm． １４．已知点A、B 为一个正多边形相邻的两个顶点,点O 为这个正多边形的中心,若△OAB 有一个内角为７０°,则这个正多边形的边数为 ． １５．若抛物线y＝x２－x＋m 与x 轴交于不同的两点A、B,且OA＋OB≤５,则m 的取值范围 是 ． １６．如图,在平面直角坐标系中,将一个边长为２的等边三角形沿x轴正方向连续翻转２０１６ 次,点A 依次落在点A１、A２、A３、􀆺、A２０１６的位置,则点A２０１６的横坐标是 ． !"#$% ３　 三、解答题 １７．在下面由相同的小正方形方格组成的图形中有一个△ABC 和一个点O,分别画出将 △ABC绕点O 按顺时针方向旋转９０°、１８０°和２７０°后得到的图形． １８．调查和研究发现,有一种树,长到１０米以上的可能性为９０％,长到１５米以上的可能性为 ４０％,长到１８米以上的可能性为１０％．问:高度为１０米的这种树长到１５米的可能性为 多少? 高度为１５米的这种树长到１８米的可能性为多少? NEWHOPECUP ４　 １９．已知二次函数的解析式为y＝２x２－(a＋１)x＋a－１． (１)求证:该二次函数的图象与x轴总有交点,并指出当a为何值时,函数图象与x轴只 有一个交点; (２)当a为何值时,该二次函数的图象经过原点; (３)在(２)的条件下,分别求出当y＞０和y＜０时x的取值范围． ２０．已知直线l:y＝４３x＋４ 与y轴交于点A,与x轴交于点B,☉C经过点A 和原点O． (１)若点C在OA 上,☉C交AB 于点D,如图１,求弦AD 的长度; (２)若☉C 与直线l相切于点A,且与x轴的另一交点为点E,如图２,求圆心点C 的坐 标; (３)若点C在△AOB 的外角∠OAF 的平分线上,且☉C 与x 轴的另一交点为点G,如图 ３,求半径AC的长． 图１ 　　 图２ 　　 图３ !"#$ １１９　 参 考 答 案 九年级训练题(一) 一、选择题 １．C　提示:∵两根之积为－２０１６２０１４ ,∴两根异号． ２．B　提示:过点C 作CE⊥x 轴于点E,则CE＝ ３,OE＝３． ３．C　提示:a＝１＞０,开口向上,A 错误;y＝x２－ ２x＋３＝(x－１)２＋２,对称轴为x＝１,顶点为(１, ２),∴B 错误,C 正确;x２ －２x＋３＝０ 时,Δ＝ (－２)２－４×１×３＜０,即方程无实数解,∴图象 与x轴没有交点． ４．A　提示:利用垂径定理和勾股定理． ５．D　提示: ９６０－６＝ １ ６． ６．D　提示:易得四边形 ABCF 为菱形,∴AC＝ AD＝AF＋DF＝AE＋EF,∴A 选项正确;AD２ ＋BF２＝AC２＋BF２＝(２AG)２＋(２BG)２＝４AB２ ＝４DE２,∴B选项正确;S△CDE ＝S△ABC＝S△ACF ＝ ２S△AFG ,∴ C 选 项 正 确;易 得 ∠ABF ＝５４°, ∠AFE＝７２°,∴∠ABF≠∠AFE,即 D 选项不 正确． ７．A　提示:a＞０,c＜０,０＜－b２a＜１ ,∴b＜０,abc＞ ０,２a＋b＞０;与x轴有两个交点,∴b２－４ac＞０; 与x轴的交点到对称轴的距离小于２,∴右交点 的横坐标小于３,∴当x＝３时,值大于０． ８．A　提示:由５００００(１－x)２＝２８１２５得甲种设备 的生产成本年平均下降率为x＝２５％,①正确; 甲、乙两种设备的生产成本年平均下降率相同, ②错误;２０１３年甲种设备平均每台的生产成本 为５００００(１－２５％),③错误;④是正确的． 二、填空题 ９．１　提示:∵两根互为倒数,∴a２＝１, ∴a＝－１或a＝１, 但当a＝－１时,△＜０,舍去,∴a＝１． １０．１　提示:这是必然事件,概率为１． １１．５０ ３－２５π　提示:S△ADE ＝ １２ ×１０×１０ ３＝ ５０ ３(cm２),扇 形 ACE 的 面 积 为 ３０３６０°×π× (１０ ３) ２ ＝２５π(cm２),∴阴影部分的面积为(５０ ３－２５π)cm２． １２．３　提示:连接OB,过点O 作OE⊥BD 于点E, 则OB＝ ３cm,∠OBD＝３０°,OE＝ ３２cm ,BE＝ ３ ２cm ,BD＝３cm． １３．１５　提示:设所剪去的小正方形的边长为xcm, 则(８０－２x)(６０－２x)＝１５００,解得x＝５５(舍) 或x＝１５． １４．９　提示:∵３６０°÷７０°的结果不是整数, ∴为度数７０°的角不可能是∠AOB, ∴∠OAB＝∠OBA＝７０°, ∴∠AOB＝４０°,３６０°÷４０°＝９． １５．－６≤m＜１４　 提示:①如果m≥０,则１－４m＞ ０,m＜１４ ,设点A、B的横坐标分别为x１、x２,那 么x１≥０、x２≥０, ∴OA＋OB＝x１＋x２＝１＜５,满足条件, ∴０≤m＜１４ ; ②如果m＜０,那么点A、B分居原点两侧, 所以OA＋OB＝AB＝ １－４m, ∴ １－４m≤５．解得m≥－６, ∴－６≤m＜０．综上,－６≤m＜１４． １６．４０３１　提示:每三个一组可形成规律,２０１６刚 好是３的倍数,２０１６×２－１＝４０３１． 三、解答题 １７．解:如图, NEWHOPECUP １２０　 １８．解:设这种树有n棵,则其中长到１０米、１５米、 １８米的分别有９０％n棵、４０％n棵、１０％n棵, ∴高度为１０米的这种树长到１５米的可能性为 ４０％n ９０％n＝ ４ ９ ; 高度为１５米的这种树长到１８米的可能性为 １０％n ４０％n＝ １ ４． 答:略． １９．解:(１)因为 Δ＝[－(a＋１)]２－４×２×(a－１) ＝a２－６a＋９＝(a－３)２≥０, ∴二次函数的图象与x轴总有交点,且当a＝３ 时,与x轴只有一个交点． (２)∵函数的图象经过原点,∴０＝２×０２－(a＋ １)×０＋a－１,解得a＝１． (３)由(２)得y＝２x２－２x,图象开口向上,且当y ＝０时,x＝０或x＝１, ∴当y＞０时,x＜０或x＞１; 当y＜０时,０＜x＜１． ２０．解:对直线l:y＝４３x＋４ ,令x＝０,则y＝４, ∴点A(０,４);令y＝０,则x＝－３, ∴点B(－３,０), ∴OA＝４,OB＝３, ∴AB＝５,连接OD, (１)∵点C在OA 上,∴OA 为直径, ∴OD⊥AB,由等面积法得OD＝１２５ , ∴弦AD＝ OA２－OD２ ＝１６５． (２)连接AE,∵∠AOE＝９０°,∴AE 为☉C的直 径,∴点C在AE 上,且为AE的中点, ∵☉C与直线l相切于点A, ∴AE⊥AB,在 Rt△ABE和 Rt△AOE中, OA２＋OE２＝AE２＝BE２－AB２, 即４２＋OE２＝(OE＋３)２－５２,解得OE＝１６３ , ∴点C ８３ ,２( ) ． (３)连接AG、FG,∵∠AOG＝９０°,∴AG 为☉C 的直径,∴点C 在AG 上,且为 AG 的中点,且 ∠AFG＝９０°, ∵点 C 在 ∠OAF 的 平 分 线 上,∴ ∠OAG＝ ∠FAG,∴ 在 Rt△AOG 和 Rt△AFG 中, ∠AOG＝∠AFG＝９０°, ∠OAG＝∠FAG, AG＝AG, ì î í ïï ï ∴Rt△AOG≌Rt△AFG, ∴AF＝OA＝４,OG＝FG,∴BF＝９, 在 Rt△BFG中,BF２＋FG２＝(OB＋OG)２, ∴９２＋OG２＝(３＋OG)２,解得OG＝１２, ∴AG＝ OA２＋OG２ ＝ ４２＋１２２ ＝４ １０, ∴AC＝２ １０．