2.1 圆（第1课时 圆的认识）（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

九年级苏科版数学上册 第二章 对称图形——圆 第一课时 圆的认识 2.1 圆 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解圆的定义； 2.理解点和圆的位置关系，能够准确的判断点与圆的 位置关系. (重点) 情景导入 小学阶段我们学习了圆的哪些性质？ d r 旧知回顾 我们在小学已经对圆有了初步认识， 观察右侧的图，你能画一个标准圆吗？ 圆是常见的图形，在我们的日常生活中许多物体都以圆的形象展示. 战国时期数学家墨子撰写的《墨经》一书中， 就有“圆，一中同长也”的记载. 你理解这句话的意思吗？ 情景导入 1.圆的定义 新知探究 (1)描述性定义：如右图，在平面内把线段OP 绕着端点O 旋转1 周，端点P运动所形成的图形叫做圆．其中，点O叫做圆心，线段OP 叫做半径． (2)集合定义：圆是到定点(圆心)的距离等于定长(半径)的点的集合．圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合, 圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合. 2. 圆的表示方法 以点O 为圆心的圆，记作“⊙ O”，读作“圆O”. 从画圆的过程可以看出什么呢？ 3. 圆的特性 (1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)， 即同圆的半径相等. (2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，即到圆心的距离等于半径的点都在圆上. 概念归纳 同心圆 等圆 半径相同，圆心不同 圆心相同，半径不同 一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小． 确定一个圆的要素 1. 确定一个圆需要两个要素，一是圆心：圆心定其位置；二是半径：半径定其大小. 2. 圆是一条封闭的曲线，曲线是“圆周”，而不能认为是“圆面”，圆的面积是圆面的面积. 3. “圆上的点”指圆周上的点. 概念归纳 例1.矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O. 求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上. A B C D O 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=OC，OB=OD. 又∵AC=BD， ∴OA=OB=OC=OD. ∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上. 典例剖析 1.下列条件中，可以确定一个圆的是( ) D A.半径为1 cm B.圆心在点O处 C.半径是1 cm，且经过点P D.圆心在点O处，且直径是2 cm 练一练 操作与思考 在纸上画一个圆、一个点， 这个点与圆的位置关系有哪几种？ 这个点到圆心的距离与圆的半径的大小关系有哪几种？ 怎样用数量之间的关系来描述点与圆的位置关系？ 2.点和圆的位置关系 新知探究 通过操作、观察可以发现： 圆上的（如点 P ）到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上，也就是说，圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合. 圆内的点（如点P₁）到圆心的距离都小于半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆内，也就是说，圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合. O P r P₁ 通过操作、观察可以发现： 圆外的点（如P₂）到圆心的距离都大于半径，到圆心的距离大于半径的点都在圆外，也就是说，圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合. O P r P₁ P₂ 点和圆的 位置关系 特点 等价关系 点P在圆外 点P到圆心的距离大于半径 点P在圆外 d＞r 点P在圆上 点P到圆心的距离等于半径 点P在圆上 d=r 点P在圆内 点P到圆心的距离小于半径 点P 在圆内 d＜r 概念归纳 点和圆的位置关系 如果⊙ O 的半径为r，点P 到圆心O 的距离为d，那么 符号“ ”表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 一个圆将平面分为三个部分： 圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合； 圆是到圆心的距离等于半径的点的集合； 圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合. 概念归纳 如下图，线段PQ = 2 cm. （1）画出下列图形：到点P的距离等于1cm的点的集合；到点Q的距离等于1.5 cm的点的集合. （2）在所画图中，到点 P 的距离等于 1 cm，且到点 Q 的距离等于1.5 cm 的点有几个？在图中将它们表示出来. 尝试与交流 （3）在所画图中，到点 P 的距离小于或等于 1 cm，且到点 Q的距离大于或等于 1.5 cm 的点的集合是怎样的图形？在图中将它表示出来. P Q 尝试与交流 如下图，线段PQ = 2 cm. （1）画出下列图形：到点P的距离等于1cm的点的集合；到点Q的距离等于1.5 cm的点的集合. 答：（1）到点P的距离等于1cm的点的集合是⊙P，到点Q的距离等于1.5cm的点的集合是图中⊙Q. P Q 如下图，线段PQ = 2 cm. （2）在所画图中，到点 P 的距离等于 1 cm，且到点 Q 的距离等于1.5 cm 的点有几个？在图中将它们表示出来. 答：（2）到点P的距离等于1cm且到点 Q 的距离等于1.5 cm 的点有2个，是图中的C、D. 尝试与交流 P Q C D 尝试与交流 （3）在所画图中，到点 P 的距离小于或等于 1 cm，且到点 Q的距离大于或等于 1.5 cm 的点的集合是怎样的图形？在图中将它表示出来. 如下图，线段PQ = 2 cm. P Q 如右图所示，阴影部分即为所求 2.一个圆的最大弦长是10cm，则此圆的半径是 cm. 3.在同一平面内与已知点A的距离等于5cm的所有点所组成的图形是 . 1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在 ； 点B在 ；点C在 ． 圆内 圆上 圆外 5 圆 随堂练 4.(湘西州)⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离OA＝3 cm，则点A与圆O的位置关系为(　　) A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定 B 随堂练 5.下列条件中，可以确定一个圆的是( ) D A.半径为1 cm B.圆心在点O处 C.半径是1 cm，且经过点P D.圆心在点O处，且直径是2 cm 6.爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域，已知这个导火索的长度为18cm，点导火索的人以每秒6.5m的速度撤离是否安全？为什么？ 解：由题意可知，导火索燃烧完需18÷0.9=20(S). 又点导火索的人以每秒6.5m的速度撤离， 则导火索燃烧完时撤离的最大距离为6.5×20=130(m). ∵130＞120，∴安全. 随堂练 分层练习-基础 1. 下列条件中，能确定一个圆的是(　　) A.以点O为圆心 B．以3 cm长为半径 C.以点O为圆心，以3 cm长为半径 D．经过已知点A C 2. [2024天津泰达实验中学期中]在平面直角坐标系中，O是坐标原点，⊙O的半径为5，若点P的坐标为(4，1)，则点P与⊙O的位置关系是(　　) A.点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定 A 分层练习-基础 3. 已知点P到圆心O的距离为5，若点P在圆内，则⊙O的半径可能为(　　) A.3 B．4 C．5 D．6 D 4. [2023盐城东台市月考]到O点距离为2的点的集合是______________________________. 以点O为圆心，以2为半径的圆 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，作AD⊥BC于点D，以点A为圆心，AD为半径画⊙A.则点B与⊙A的位置关系为____________ (填“点B在圆内”“点B在圆上”或“点B在圆外”). 点B在圆外 分层练习-基础 6. 已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为m，且关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根，则点P与⊙O的位置关系为______________. 点P在⊙O内 7. 如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，CD⊥AB于点D，O为AB的中点. (1)以C为圆心，6为半径作⊙C，判断点A，D，B与⊙C的位置关系． 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 (2)⊙C的半径为多少时，点O在⊙C上？ (3)⊙C的半径为多少时，点D在⊙C上？ 解：连接OC，由题意得OC＝5，则当⊙C的半径为5时，点O在⊙C上． ∵CD＝4.8， ∴当⊙C的半径为4.8时，点D在⊙C上． 8.已知苏州某景区有A，B两处观景台，且AB＜400 m，经过A，B两点且半径为200 m的圆形环路的方案有(　　) A. 0种 B．1种 C．2种 D．无数种 C 分层练习-巩固 9. 如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，以点B为圆心，2为半径的⊙B上有一动点P.连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值是 (　　) A.1.5 B．2 C．2.5 D．3 A 分层练习-巩固 分层练习-巩固 10. [2023苏州模拟]已知点P是半径为4的⊙O上一点，平面上一点Q到点P的距离为2，则线段OQ的长度a的范围为________. 2≤a≤6 11. 如图，数轴上半径为1的⊙O从原点开始以每秒1个单位长度的速度向右平移，同时，在原点右边距原点7个单位长度处有一点P以每秒2个单位长度的速度向左平移，则经过________s，点P在⊙O上. 分层练习-巩固 12.如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，作DE⊥AC于点E. (1)求DE的长； 分层练习-基础 (2)若以点A为圆心作圆，B，C，D，E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围. 分层练习-拓展 14.如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A出发沿AB以1 cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2 cm/s的速度向点C移动．设运动时间为t s. (1)当t＝2时，△DPQ的面积为________cm2； 28 分层练习-拓展 (2)在运动过程中，△DPQ的面积能否为26 cm²？ 若能，求出t的值，若不能，请说明理由； 分层练习-拓展 (3)在运动过程中，是否存在这样的时刻，使点D恰好落在以点Q为圆心，PQ为半径的圆上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. 解：存在． ∵点D恰好落在以点Q为圆心， PQ为半径的圆上，∴QP＝QD. 在Rt△PBQ和Rt△DCQ中， 分层练习-拓展 分层练习-拓展 15.已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点 B、C、D、E在以点M为圆心的同一圆上． ∴点B、C、D、E在以点M为圆心， 为半径的圆上． 解：连接MD、ME． ∵BD、CE是△ABC的高， ∴∠BEC＝∠BDC＝90°． 在Rt△BEC中，M为BC的中点， 同理， ∴MB＝ME＝MD＝MC， 又∵ 分层练习-拓展 课堂反馈 一个平面内 旋转一周 图形 课堂反馈 圆外 圆上 ＜ A 课堂反馈 课堂小结 圆 定义 点与圆的位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 d>r d=r d<r 1.圆的定义 2.圆的表示方式 3.圆的特性 要画一个确定的圆，关键是确定圆心和半径 同圆半径相等 旋转定义 集合定义 解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8， 由勾股定理得AC＝＝6. ∵CD⊥AB，AB＝10，AC＝6，BC＝8， ∴×6×8＝×10·CD. ∴CD＝4.8. (1)∵AC＝6，∴点A在⊙C上． ∵BC＝8＞6，∴点B在⊙C外． ∵CD＝4.8＜6，∴点D在⊙C内． 点拨：如图，取点D(－4，0)，连接PD，连接BD交⊙B于点E，易知O是AD的中点． ∵C是AP的中点，O是AD的中点， ∴OC是△APD的中位线． ∴OC＝PD. 在Rt△BOD中，OD＝4，OB＝3，∴BD＝＝5. 当点P与点E重合时，PD最小，为5－2＝3， ∴OC的最小值为×3＝1.5. 2或 解：∵四边形ABCD为矩形， ∴DC＝AB＝3，∠ADC＝90°. ∴AC＝＝5. ∵DE⊥AC于点E，∴AC·DE＝DC·AD. ∴DE＝＝. 解：在Rt△ADE中，AE＝＝3.2， ∴AB＜AE＜AD＜AC. 又∵以点A为圆心作圆，B，C，D，E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外， ∴点B在圆内，点C在圆外， ∴⊙A的半径r的取值范围为3＜r＜5. 13.[2024镇江润州区月考]对于任意两实数a，b，用max表示其中较大的数，例如max＝2.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－1，0)，B(1，0)，⊙M的半径为1，圆心M在直线y＝2上运动，若对于⊙M上任意点C，都有4≤max≤8，则圆心M的横坐标x的取值范围是______________________________________. －1≤x≤3－1或－3＋1≤x≤－＋1 解：不能．理由如下： 根据题意得6×12－×12t－×2t(6－t)－×6×(12－2t)＝26， 整理得t2－6t＋10＝0. ∵b2－4ac＝36－40＝－4＜0，∴方程无实数根． ∴△DPQ的面积不可能为26 cm2. ∵QP2＝PB2＋BQ2＝[(6－t)2＋(2t)2]cm2， QD2＝QC2＋CD2＝[(12－2t)2＋62]cm2， ∴(12－2t)2＋62＝(6－t)2＋(2t)2， 整理，得t2＋36t－144＝0， 解得t＝－18＋6或t＝－18－6(舍去)． ∵0＜－18＋6＜6，∴t＝－18＋6. 圆的定义 在　 　，线段OP绕它固定的一个端点O　 　，另一个端点P所形成的　 　叫做圆．其固定的端点O叫做圆心，线段OP叫做半径．以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”． 【例1】⊙O的半径为5，圆心的坐标为(0,0)，点P的坐标为(4,2)，则点P与⊙O的位置关系是( 　 ) A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O外 C．点P在⊙O上 D．点P在⊙O内或点P在⊙O外 点和圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：(1)点P在　 　⇔d＞r；(2)点P在　 　⇔d＝r；(3)点P在圆内⇔d　 　r. 【思路分析】　已知⊙O的半径，只需计算出点P(4,2)到点(0,0)的距离，然后和半径比较即可判断点P与⊙O的位置关系，因为OP＝eq \r(42＋22)＝eq \r(20)＜5，即OP＜r，∴点P在⊙O内． 【规范解答】　A 【方法归纳】　要判定平面上的点与圆的位置关系，只需比较该点到圆心的距离与半径的大小即可． $$