2.3 确定圆的条件（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

九年级苏科版数学上册 第二章 对称图形——圆 2.3 确定圆的条件 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.了解不在同一条直线上的三点确定一个圆的探索过程.（重点） 2.了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念.（重点、难点） 3.会过不在同一条直线上的三点作一个圆. 情景导入 1.圆是 图形，圆心是它的 ,过圆心的 一条直线都是它的对称轴. 2.在同圆或等圆中，相等的圆心角 相等， 相等. 3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么 。 4. 与它所对的弧的度数相等. 5.垂径定理：垂直于弦的直径平分 . 中心对称 对称中心 任意 所对的弧 所对的弦 它们所对应的其余各组量都分别相等 圆心角的度数 弦以及弦所对的两条弧 上节课我们学习了圆的对称性，请你回顾所学内容回答下列问题. 情景导入 小明不小心打碎了家里的一块圆形玻璃镜子，现欲重新配制一块玻璃片补上，他准备把碎玻璃片连同这块残片一起拿到玻璃店，这样可以配到吗？ 1.确定一个圆的条件 新知探究 1.怎样作一个圆，使它经过已知点A？这样的圆可以作多少个？ ● A 在平面内任取一点，以这点为圆心，它到点A的距离为半径作圆.经过点A的圆可以作无数个. 1.怎样作一个圆，使它经过已知点A、B？这样的圆可以作多少个？ A B O ● O ● O ● O ● O ● 以线段AB的垂直平分线上任意一点为圆心，这点到点A的距离为半径作圆.经过点A、B的圆可以作无数个. 概念归纳 3.能否作一个圆，使它经过A，B，C三点？如果能，这样的圆可以作多少个？ 经过A、B、C三点作圆，圆心应在线段AB的垂直平分线 l₁上，又在线段BC的垂直平分线 l₂，上. l₁与l₂可能平行，也可能相交. A B C l₁ l₂ 1.如果三个点在同一直线时可以作圆吗？为什么？ 答：如图，当A，B，C三点在同一条直线上时，因为到A，B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B，C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，两条直线垂直于同一条直线，所以线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线平行，没有交点，故没有一点到A，B，C三点的距离相等，不存在圆心，从而经过同一直线上的三点不能作圆． A B C 2.如果 A，B，C 三点不在同一条直线上.能作圆吗？ B A C 能否转化为2的情况：经过两点A，B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上. 你准备如何（确定圆心，半径）作圆？ B A C （1）连结 AB，BC. （2）分别作线段 AB，BC 的垂直平分线 DE 和 FG，DE 与 FG 相交于点 O. E D F G O （3）以 O 为圆心，以 OB 的长为半径作圆. ⊙O 就是所要求作的圆. 作法步骤 B A C E D F G O 直线 DE 和 FG 只有一个交点 O，并且点 O 到 A，B，C 三个点的距离相等. 经过 A，B，C 三个点可以作一个圆，并且只能作一个圆. B A C E D F G O 不在同一直线上的三个点确定一个圆. 三角形的三个顶点确定一个圆， 这个圆叫做三角形的外接圆. 一个三角形有___个外接圆， 而一个圆有_____个内接三角形. 一 无数 B A C O 外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 不在同一直线上的三个点确定一个圆. 分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆，并说明它们外心的位置情况． B A C O O B A C B A C O 锐角三角形的外心位于三角形内. 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点. 钝角三角形的外心位于三角形外. B A 随堂练 随堂练 6 随堂练 分层练习-基础 1.一个三角形的外心在它的内部，则这个三角形一定是 (　　) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 C 2.[2023江西]如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为(　　) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 D 分层练习-基础 D 3.[2021·江苏盐城校级月考]如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别为（1,4），（5,4），（1，-2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（ ） A．（2,3） B． （3,2） C．（1,3） D． （3,1） 分层练习-基础 4.[2023连云港月考]已知点O是△ABC的外心，且AO＋ BO＝6，则CO＝________. 3 5.[2023淮安清江浦区期中]已知△ABC三边长分别为5， 12，13，则这个三角形的外接圆的半径为_________. 6.5 6.如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(1，4)，(5，4)，(1，－2)，则△ABC外接圆的圆心坐标是________. (3，1) 分层练习-基础 7.如图，已知直线a和直线外的两点A，B，经过A，B作一圆，使它的圆心在直线a上．(保留作图的痕迹，不写 作法) 解：作图如图所示． 分层练习-巩固 8.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上， 则△ABC的外心是(　　) A．点D B．点E C．点F D．点G A 分层练习-巩固 9. D 分层练习-巩固 10.若一个直角三角形的两条边长分别为5和12，则这个三角形的外接圆的直径长为________. 12或13 11.[2024周口九年级统考阶段练习]△ABC的边AB＝8，边AC，BC的长是一元二次方程m2－16m＋60＝0的两 根，则△ABC的外接圆的半径长为________. 5 12. 分层练习-巩固 13.如图，AB＝4，C为线段AB上的一个动点(不与点A，B重合)，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，则在点C运动的过程中，△CDE的外接圆面积的最小值为________. 14.如图，已知AD既是△ABC的中线，又是角平分线． (1)判断△ABC的形状，并证明你的结论． 分层练习-巩固 (2)AD是否过△ABC外接圆的圆心O，并证明你的结论. 解：AD过△ABC的外接圆圆心O. 证明：∵AB＝AC，AD是角平分线， ∴AD⊥BC. 又∵BD＝CD，∴AD是BC的垂直平分线． ∴AD过△ABC外接圆的圆心O. 分层练习-巩固 15.如图①，已知△ABC中，BA＝BC，D是平面内不与A，B，C重合的一点，∠ABC＝∠DBE，BD＝BE，连接AD，CE. 分层练习-拓展 (1)求证：△ABD≌△CBE； 分层练习-拓展 (2)如图②，当点D是△ABC的外接圆圆心时，连接CD． ①请判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论． 解：四边形BDCE是菱形．证明如下： ∵∠ABC＝∠DBE， ∴∠ABC－∠CBD＝∠DBE－∠CBD， 即∠ABD＝∠CBE. 分层练习-拓展 ②当∠ABC为多少度时，点E在⊙D上？请说明理由. 解：当∠ABC为60°时，点E在⊙D上． 理由如下： 连接DE，当∠ABC为60°时，∠DBE也为60°. 又∵BD＝BE，∴△BDE为等边三角形． ∴DE＝DB，即点E在⊙D上． 分层练习-拓展 圆心 半径 不在同一条直线上 B 外接圆 三边的垂直平分线 课堂反馈 B (3,1) 课堂反馈 课堂小结 作圆 过一点可以作无数个圆 过两点可以作无数个圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆 注意：同一直线上的三个点不能作圆 三角形外接圆 概念 性质 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等. 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆 外心 外接圆的圆心叫三角形的外心 1．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是(　 　) A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OC，⊙O的半径r＝2，sinB＝eq \f(3,4)，则弦AC的长为(　 　) A．3 B．eq \r(7) C．eq \f(3,2) D．eq \f(3,4) 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)、B(1－a,0)、C(1＋a,0)(a＞0)，点P在以D(4,4)为圆心，l为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则a的最大值是　 　. 4．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB＝60°，弦AD平分∠CAB，若AD＝3，则AC＝　 　. eq \r(3) 5．如图所示，在△ABC中，CE、BD分别是AB、AC边上的高，求证：B、C、D、E四点在同一个圆上． 证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF、EF.∵BD、CE是△ABC的高，∴△BCD和△BCE都是直角三角形．∴DF、EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，∴DF＝EF＝BF＝CF.∴E、B、C、D四点在以F点为圆心，eq \f(1,2)BC为半径的圆上． [2024杭州之江实验中学二模]如图，O为等腰三角形ABC的外心，AB＝AC，连接OB，记∠C＝α，∠CBO＝β，则α，β满足的关系式为(　　) A．2β－α＝90° B．2β－α＝180° C．β＋α＝90° D．2α－β＝90° 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a，b，c满足a＋b2＋|c－6|＋28＝4＋10b，则△ABC的外接圆的半径长为________. 解：△ABC是等腰三角形．证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.∵AD是角平分线，∴DE＝DF. 又∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD. 在Rt△BDE与Rt△CDF中， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．∴∠B＝∠C. ∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形． 证明：∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC＋∠CBD＝∠DBE＋∠CBD，即∠ABD＝∠CBE. 在△ABD与△CBE中， ∴△ABD≌△CBE(SAS)． 在△ABD与△CBE中， ∴△ABD≌△CBE.∴CE＝AD. ∵点D是△ABC的外接圆圆心，∴DA＝DB＝DC. 又∵BD＝BE，∴BD＝BE＝CE＝CD. ∴四边形BDCE是菱形． 知识点一：确定圆的条件 1．确定一个圆的关键是：　 　和　 　. 2．　 　的三个点确定一个圆． 例1.下列说法中，正确的是(　 　) A．三点确定一个圆　　 B．三角形有且只有一个外接圆　　 C．四边形都有一个外接圆　　 D．圆有且只有一个内接三角形 知识点二：三角形的外接圆 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的　 　，外接圆的圆心是三角形　 　的交点，叫做三角形的外心． 例2.一个三角形的外心在它的一边上，则这个三角形是(　 　) A．任意三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 易错点：不会利用网格直接找弦的垂直平分线． 例3.如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为(1,4)、(5,4)、(1，－2)，则△ABC外接圆的圆心坐标是　 　. $$