2.4 估算（教学课件）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

八年级北师大版数学上册 第二章 实数 2.4 估算 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.能通过估算检验计算结果的合理性，估计一个无理数 的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小.（重点） 2.掌握估算的方法，形成估算的意识，发展数感. （重点、难点） 情景导入 同学们你知道班级中男生和女生的平均身高是多少吗？ 男生大概在175cm左右，女生在160cm左右 你是怎么得到这个数据的，这个数据是否有意义呢？ 1.某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000m2. (1)公园的宽大约是多少？它有1000m吗？ 1000 2000 S=400000 ∵2000×1000=2000000 >400000， ∴公园的宽没有1 000m. 情景导入 5 2.如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？ x 2x S=400000 x•2x=400000, 2x2=400000, x2=200000, x= 大约是多少呢？ 解：设公园的宽为x米. 1.用估算法确定无理数的大小 新知探究 例1.下列结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴交流. 我们该怎样估算出无理数的大致范围呢？ 通过“精确计算”可比较两个数的大小关系! 8 通过“估算”也可比较两个数的大小关系! 9 估算无理数大小的方法： (1)利用乘方与开方互为逆运算来确定无理数的整数部分； (2)根据所要求的误差确定小数部分. 概念归纳 议一议：通过估算，比较 与 的大小. 2.用估算法比较无理数的大小 新知探究 问题1：比较两个分数的大小，如果分母相同， 我们可以比较______． 分子 问题2： 在整数____与整数____之间． 2 3 11 问题3：怎样比较 与 的大小？ 解： 概念归纳 两个带根号的无理数比较大小的结论： 1. 2. 3. 若a,b都为正数，则 13 概念归纳 对于含根号的数比较大小，一般可采取下列方法： 1.先估算含根号的数的近似值，再和另一个数进行比较； 2.当符合相同时，把不含根号的数平方，和被开方数比较，本方法的实质是比较被开方数，被开方数越大，其算术平方根越大； 3.若同分母或同分子的，可比较它们的分子或分母的大小. 14 例2. 根据生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的 ，则梯子比较稳定.现在有一个长度为6米的梯子，当梯稳定摆放时，它的顶端能达到5.6米高的墙头吗？ 课本例题 解：设梯子稳定摆放时的高度为x m，此时梯子底端离墙的距离恰为梯子长度的 ，根据勾股定理 6 因此，梯子稳定摆放时，它的顶端能够达到5.6m高的墙头。 课本例题 1.请你按要求估算下列无理数： 解： 练一练 2.通过估算,比较下面各组数的大小: 练一练 18 3. 如图，一旗杆高10米，旗杆顶部A与地面一固定点B之间要拉一笔直的铁索，已知固定点B到旗杆底部的距离是7米，一工人准备了长约12.5米的铁索，你认为这一长度够吗？ 解：∵BC=7m，AC=10m ∴AB= 所以准备的铁索长度够 练一练 4.某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000m2. 1000 2000 S=400000 a如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？ 解：用计算器依次计算4102，4202，4302……看200000在哪两数的平方之间： x x2 400<x<500 160000<x2<250000 440<x<450 193600<x2<202500 因为x＝450时，x2更接近200000，所以它的宽大约是450m. 练一练 20 5.公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800m2，你能估计它的半径？ （误差小于1米） 解：设它的半径为rm， 则πr2 ＝800，所以r2 ≈255， 因为225<255<256， 所以15<r<16， 当r＝16时， r2更接近于255，所以r≈16． 练一练 D C 随堂练 C ＜ 2 7 随堂练 随堂练 随堂练 课本练习 1. 估算下列数的大小： （1） （结果精确到0.1）； （2） （结果精确到1）. （1）3.7 ；（2）9 . 2. 通过估算，比较 与2.5的大小. 解: (1)因为63=216，73=343，所以 ≈6. (2)因为5.02=25，5.12=26.01，所以 ≈5.1. 1.估算下列数的大小： (结果精确到1)； (结果精确到0.1). 习题2.6 解：（1）因为 ＜2，所以 （2）因为3.85²=14.8225，所以 ＞3.85. 2.通过估算，比较下面各组数的大小： *3.通过估算，比较 与 的大小： 解：因为 ，所以 解： (1)不正确．因为 显然大于10 . (2)不正确．因为 显然小于100 . 4.下列计算结果正确吗？说说你的理由. 解：设这个容器的高为h m，则π（ ）²h=40，所以h3= . 则h≈4，即这个容器大约有4m高. 5.一个人每天要饮用大约0.0015m3液体，按70岁计算，他所饮用的液体总量约40m3，如果用一圆柱形容器（底面直径等于高）来装这些液体，这个容器大约有多高？（结果精确到1米） 解：设梯子的长度为 x m，由勾股定理，得x²=4.8²+（ x）².则x²=25.92. 因为5²=25，而25<25.92，所以梯子的长度大于5m. 6.小明放风筝时不小心将风筝落在了4.8m高的墙头上，他请爸爸帮他取，爸爸搬来梯子，将梯子稳定摆放（梯子底端离墙的距离约为梯子长度的 ），此时梯子顶端正好达到墙头，爸爸问小明梯子的长度有没有5m？你能帮小明一起算算吗？ B D 分层练习-基础 分层练习-基础 B A 1.4 1.5 2 分层练习-基础 B 分层练习-基础 B B B 分层练习-巩固 A B 分层练习-巩固 4.4或4.5 9或10 62.9m 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 3 分层练习-拓展 分层练习-拓展 乘方 A 课堂反馈 课堂反馈 课堂反馈 课堂反馈 课堂反馈 估算 估算的基本方法 估算在生活中的应用 课堂小结 1．下列结果估算正确的是(　　) A．eq \r(2430)≈9.8 B．eq \r(3,983000)≈125 C．eq \r(3,890)≈95 D．eq \r(0.35)≈0.6 2．已知甲、乙、丙三个数，甲＝5＋eq \r(13)，乙＝2＋eq \r(19)，且甲＞丙＞乙，则下列符合条件的丙是(　　) A．1＋eq \r(23) B．4＋eq \r(26) C．4＋eq \r(15) D．4＋eq \r(3) 3．如图，数轴上A、B两点表示的数分别为eq \r(2)和5.1，则A、B两点之间表示整数的点共有(　　) A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 4．比较大小：eq \f(\r(5)－1,2) eq \f(5,8)(填“＞”“＜”或“＝”)． 5．规定用符号[x]表示一个数的整数部分，[3.69]＝3，[eq \r(3)]＝1，按此规定，[eq \r(13)－1]＝ . 6．若两个连续整数x、y满足x＜eq \r(5)＋1＜y，则x＋y的值是 . 7．已知一个正方形的面积为15，且它的边长整数部分为m，小数部分为n，求m、n的值． 解：∵正方形的面积为15，∴边长为eq \r(15)，3＜eq \r(15)＜4，∴m＝3，n＝eq \r(15)－3. 8．如图，在一次暴风雨后，一棵树被从离地面3米处折断，经测量树的顶端与地面的接触点到树的距离为2米，若在该树正上方离地面7米处有高压电线l.请你探究，该树在折断前是否接触到电线？说明理由． 解：没有接触到电线．理由：∵在Rt△ACB中，∠C＝90°，∴AB＝eq \r(22＋32)＝eq \r(13)(米)，∴树高为(eq \r(13)＋3)米，∵3.6＜eq \r(13)＜3.7，∴6.6＜eq \r(13)＋3＜6.7，∴eq \r(13)＋3＜7，∴该树在折断前没有接触到电线． 知识点一：估算一个无理数的近似值 1．下列选项中的整数，与eq \r(17)最接近的是(　　) A．3　　　　　 B．4　　　　　 C．5　　　　　 D．6 2．设n为正整数，且n＜eq \r(65)＜n＋1，则n的值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 3．求下列无理数的近似值： (1)eq \r(13.8)(精确到0.1); (2)eq \r(3,251)(误差小于1)． 解：(1)∵32＝9,42＝16，且9＜13.8＜16，∴3＜eq \r(13.8)＜4.又∵3.72＝13.69,3.82＝14.44，且13.69＜13.8＜14.44，∴3.7＜eq \r(13.8)＜3.8.又∵3.712＝13.7641,3.722＝13.8384，且13.7641＜13.8＜13.8384，∴3.71＜eq \r(13.8)＜3.72，即eq \r(13.8)≈3.7；　 (2)∵63＝216,73＝343，且216＜251＜343，∴6＜eq \r(3,251)＜7.因此eq \r(3,251)的值约为6或7. 知识点二：用估算法比较数的大小 4．(南京中考)若eq \r(3)＜a＜eq \r(10)，则下列结论中正确的是(　　) A．1＜a＜3 B．1＜a＜4 C．2＜a＜3 D．2＜a＜4 5．已知a＝eq \r(－1.42)，b＝eq \r(2)，c＝eq \r(3,3)，则a、b、c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞a＞b 6．因为1.42＝1.96,1.52＝2.25，(eq \r(2))2＝2，所以　　＜eq \r(2)＜　　. 7．大于eq \r(2)且小于eq \r(5)的整数是　　. 知识点三：估算在生活中的应用 8．一个正方体的玻璃缸的容积为100dm3，则估计它的一条棱长(　　) A．小于4dm B．大于4dm小于5dm C．等于10dm D．大于5dm 9．用48m长的篱笆材料在空地上围成一个绿化沙场，现有两种方案：一种是围成正方形的场地，另一种是围成圆形的场地，试问选用哪一种方案围成的沙场面积大？请说明理由． 解：选用围成圆形场地的方案所得的沙场面积大．理由为：设S1、S2分别表示围成的正方形场地与圆形场地的面积，则S1＝(eq \f(48,4))2＝144m2，S2＝π(eq \f(48,2π))2＝eq \f(576,π)m2，∵π＜4，∴eq \f(576,π)＞eq \f(576,4)，即eq \f(576,π)＞144，∴S2＞S1. 10．0.00048的算术平方根在(　　) A．0.05与0.06之间　　 B．0.02与0.03之间 C．0.002与0.003之间 D．0.2与0.3之间 11．一个正方形的面积为21，它的边长为a，则a－1的大小在(　　) A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 12．设a、b均为正整数，且a＞eq \r(7)，b＜eq \r(3,2)，则a＋b的最小值是(　　) A．3　　　 B．4　　　 C．5　　 D．6 13．通过估算，下列不等关系成立的是(　　) A.eq \r(15)＞3.85 B．eq \r(15)＜3.85 C.eq \r(14)＜3.7 D．eq \r(3,9)＜2 14．现有4个无理数eq \r(5)、eq \r(6)、eq \r(7)、eq \r(8)，其中在eq \r(2)＋1与eq \r(3)＋1之间的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．估算：eq \r(20)(误差小于0.1)≈ ；eq \r(3,900)(误差小于1)≈ ____________. 16.eq \r(19)在两个连续整数a、b之间，即a＜eq \r(19)＜b，那么eq \f(a,b)为 . 17．在一个面积为220m2的矩形场地中，已知长是宽的2倍，打算在矩形场地的四周修建下水道，则下水道的总长度为 (精确到0.1m)． eq \f(4,5) 18．用一根长为6米的绳子，能否做一个直角三角形ABC，使得∠C＝90°，AC＝1米，BC＝2米，请说明你的理由． 解：能．理由：根据勾股定理，可得AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)，因为3＞eq \r(5)，所以能做成一个直角三角形． 19．通过估算，比较下面各组数的大小： (1)eq \r(3,30)，3.1; (2)eq \r(2)－1，eq \f(1,3)； (3)3eq \r(5)，2eq \r(11)； (4)eq \r(5)－1，eq \f(\r(3)＋1,2). 解：(1)eq \r(3,30)＞3.1；　(2)eq \r(2)－1＞eq \f(1,3)； (3)3eq \r(5)＞2eq \r(11)；　(4)eq \r(5)－1＜eq \f(\r(3)＋1,2). 20．小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长、宽之比为3∶2.不知能否裁出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？请说明理由． 解：不同意小明的说法．理由：设面积为300cm2的长方形的长、宽分别为3x、2x，则3x·2x＝300，x2＝50.所以x＝5eq \r(2).所以面积为300cm2的长方形的长、宽分别为15eq \r(2)cm、10eq \r(2)cm.因为面积为400cm2的正方形的边长为20cm，且20＜15eq \r(2)，所以用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁不出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长、宽之比为3∶2. 21．阅读下面的文字，解答问题． 大家知道eq \r(2)是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此eq \r(2)的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用eq \r(2)－1来表示eq \r(2)的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为eq \r(2)的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵22＜(eq \r(7))2＜32，即2＜eq \r(7)＜3，∴eq \r(7)的整数部分为2，小数部分为eq \r(7)－2. (1)eq \r(10)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)如果eq \r(5)的小数部分为a，eq \r(37)的整数部分为b，求a＋b－eq \r(5)的值． eq \r(10)－3 解：∵eq \r(4)＜eq \r(5)＜eq \r(9)，∴2＜eq \r(5)＜3，∴eq \r(5)的小数部分为a＝eq \r(5)－2，∵eq \r(36)＜eq \r(37)＜eq \r(49)，∴6＜eq \r(37)＜7，∴eq \r(37)的整数部分为b＝6，∴a＋b－eq \r(5)＝eq \r(5)－2＋6－eq \r(5)＝4. 估算一个无理数的近似值：含有根号的数要确定在哪两个整数之间，我们可用原数的　 　来估计． 1. 如图，表示eq \r(7)的点在数轴上表示时，在哪两个字母之间(　　) A．C与D　　　　　　　　 B．A与B　　　　　　　　 C．A与C　　　　　　　　 D．B与C 会比较无理数的大小． 【例1】比较下列各组数的大小： (1)eq \f(\r(10)－3,2)与eq \f(1,2)； (2)2eq \r(7)与3eq \r(5). 【思路分析】第一组中的两个数，分母相同，只需比较分子即可．可采用估算法确定eq \r(10)的近似值，即可比较；对于第二组，由于它们都是正数，可以把这两个数平方后进行比较． 【规范解答】(1)∵9＜10＜16，∴3＜eq \r(10)＜4.∴0＜eq \r(10)－3＜1.∴eq \f(\r(10)－3,2)＜eq \f(1,2)；　 (2)∵(2eq \r(7))2＝28，(3eq \r(5))2＝45，且28＜45，∴2eq \r(7)＜3eq \r(5). 会用估算解决实际问题． 【例2】如图所示，现要在离地面5m处，从电线杆上某位置往下引拉线，用来固定电线杆，单根拉线长等于拉线接地点到电线杆垂直距离的2倍，现有长为10.8m的一根金属丝，用这根金属丝能否做成符合要求的两根拉线． 【思路分析】先由勾股定理求出拉线AC的长度，然后估算出长度的近似值，再与eq \f(10.8,2)相比较． 【规范解答】如图所示，由题意知AB＝AC，OA＝5m，令AB＝AC＝xm，则Rt△ABO中，OB＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)xm，由勾股定理得AB2－OB2＝OA2，x2－(eq \f(1,2)x)2＝52，eq \f(3,4)x2＝25，x2＝eq \f(100,3)≈33.33，x≈eq \r(33.33)＞eq \r(33)，又估算得eq \r(33)＞5.5，故x＞eq \r(33)＞5.5，即AB＋AC＝2x＞2eq \r(33)＞11＞10.8，所以用这根金属线不能做成符合要求的两根拉线． $$