2.1 等式性质与不等式性质（2课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1　等式性质与不等式性质(2课时) 第 一 课 时 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 考点 学习目标 重、难点 核心素养 运用不等式表示实际问题中的不等关系 用不等式（组）表示不等关系 重点 数学抽象 比较两个实数大小的方法与技巧 用作差法比较大小 难点 逻辑推理 重要不等式 运用重要不等式 难点 数学建模 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 1 章前导语 复习回顾 1.常见的不等关系有哪些？ 文字语言 符号语言 大于 > 小于 < 大于或等于（不小于） 小于或等于（不大于） 数 式 等式 不等式 方程（组） 一元一次不等式（组） 函数 追问1：那么不等式表示实际问题中的不等关系的方法是什么？ 2.什么叫做不等式？ 用不等号（＞，＜，≥，≤，≠）连接表示不等关系的式子就叫做不等式. 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 2 (1)某路段限速40km/h; (2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于 2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%; (3) 三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边; (4) 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短． 问题1 写你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗? 设如图,设C是线段AB外的任意一 点,CD垂直于AB,垂足为D,E是线段AB上不同于D的任意一点,则CD＜CE. A B C D E 设在该路段行驶的汽车的速度为v km/h,“限速40km/h”就是速度的大小不能超过40,于是0< v ≤ 40 由题意得， 设△ABC的三条边为a,b,c,则 追问：那么不等式表示实际问题中的不等关系的方法是什么？ 1.从实际问题中抽象出不等关系 2.用字母表示不等关系中的数 3.用不等号连接这些字母 4.建立不等式 还有其他情况吗？ 问题2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元? 课前思考 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 3 追问2：如何解不等式呢?与解方程要用等式的性质一样,解不等式要用不等式的性质.为此,我们需要先研究不等式的性质. 1.从实际问题中抽象出不等关系 解：设提价后每本杂志的定价为x元,则销售总收入为 2.用字母表示不等关系中的数 于是,不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用 不等式表示为 求出不等式的解集,就能知道满足条件的杂志的定价范围. 4.建立不等式 3.用不等号连接这些字母 追问3：那怎么得出两实数（式）的大小关系呢？ 5 1.1数轴法： 新知1.并集 知识点1 实数的大小比较 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 4 如果a-b是正数,那么a＞b;如果a-b等于0,那么a=b;如果a-b是负数,那么a＜b.反过来也对. 这个基本事实可以表示为: a＞b a-b＞0 a=b a-b=0 a＜b a-b＜0 比较大小关系 研究差值符号 1.2作差法： 比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与０的 大小． 分析:通过考察这两个多项式的差与0的大小关系,可以得出它们的大小关系． 【例1】比较 0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆” 解：因为 所以（ 追问4：还有其他的方法比较两个实数的大小吗？ 1.3作商法：当 让学生按例子画韦恩图 6 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 5 知识点2 重要不等式 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客. 思考： 你能在这个图中找出些相等关系和不等关系吗? 1.正方形ABCD的面积S=＿＿＿＿ ２.四个直角三角形的面积和S’ =＿＿＿＿ ３.S与S’有什么样的关系？ S > S′ 追问：那么它们有相等的情况吗？ a b 正方形EFGH 缩为一个点，这时有 a²＋b²＝２ab ∀ a，b∈R，有a²＋b²≥２ab， 当且仅当a＝b时，等号成立． A B C D EFGH a b 题型一 用不等式(组)表示不等关系 【练习1】某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种,按照生产的要求,600 mm钢管的数量不能超过 500 mm钢管数量的3倍.试用不等式或不等式组表示上述问题中的不等关系. 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 6 解:设截得500 mm钢管x根,截得600 mm钢管y根,依题意可得不等式组 即 方法规律 用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤(1)审题.通读题目,分清已知量和待求量,设出待求量.(2)找不等关系.找出待求量具备哪些不等关系(即满足什么条件).(3)列不等式(组).挖掘题意,建立已知量和待求量之间的关系式,并分析某些变量的约束条件(包含隐含条件). 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 7 2.已知实数x,y,z满足y+z=3-4x+6,y-z=-4x+4.试确定x,y,z的大小关系. 解:因为y-z=-4+4=(-2)2≥0, 所以y≥z. 因为y+z=3-4+6,y-z=-4+4, 所以z-=-=1+-=(-)2+>0,所以z>x. 综上可得,y≥z>. 1.用一段长28 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m,要求菜园的面积不小于216 m2,靠墙的一边长为x m,其中的不等关系可用不等式(组)如何表示? 【提升训练】 解:矩形菜园靠墙的一边长为x m,则另一边长为 m,即(14-)m,根据已知得， 课堂小结 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 8 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 9 1.设均为实数，试比较与的大小. 2、已知证明 课后作业 第 二 课 时 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 考点 学习目标 重、难点 核心素养 不等式的基本性质 掌握不等式的基本性质 重点 数学抽象 不等式的基本性质 应用不等式的基本性质 难点 逻辑推理 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 1 复习回顾 1.等式的基本性质有哪些？ 追问1：那类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质吗，并加以证明吗？ 性质1、2反映了相等关系自身的特性。 性质3、4、5反映了等式在运算中保持的不变性。 性质1 如果a=b,那么b=a; （对称性） 性质2 如果a=b,b=c,那么a=c; （传递性） 性质3 如果a=b,那么a±c=b±c;（加法） 性质4 如果a=b,那么ac=bc; （乘法） 性质5 如果a=b,c≠0,那么 （乘法） 性质1（对称性）： 新知1.并集 知识点1 不等式的性质 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 2 性质2（传递性）：如果 , 那么 如果 a ＞ b , 那么 b ＜ a；如果 b ＜ a , 那么 a ＞ b 即 【小试牛刀】与m≥(n-2)2等价的是(　　). A.m<(n-2)2 B.(n-2)2≥m C.(n-2)2≤m D.(n-2)2<m C 证明:∵a>b,∴a-b>0.由正数的相反数是负数,得-(a-b)<0.即b-a<0,∴b<a. 同理可证,如果b<a,那么a>b. 证明：∵ 已知 a > b , b＞c∴ a - b > 0, b - c ＞0又∵a - c = a - b + b - c = ( a - b ) + ( b - c ) ＞0 ∴ a ＞ c 成立 让学生按例子画韦恩图 14 性质3(可加性)：如果 > , 那么 新知1.并集 知识点1 不等式的性质 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 3 性质4(可乘性)如果, 那么 bd; 证明:∵ 已知 a > b , ∴ a - b > 0又∵（a+c）- (b+c) = a + c - b - c = a - b >0∴ a + c > b + c 成立 如果, 那么 bd 证明：∵ 已知 a > b , c＞0，∴ a - b > 0 又∵ac - bc = c ( a - b ) >0 ∴ ac > bc 成立 证明：∵ 已知 a > b , c＜0，∴ a - b > 0 又∵ac - bc = c ( a - b ) ＜0 ∴ ac ＜ bc 成立 A B a b x b+c B1 a+c A1 A B a b x b+c B1 a+c A1 让学生按例子画韦恩图 15 性质5（同向可加性）如果>, 那么 新知1.并集 知识点1 不等式的性质 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 4 性质6（同向同正可乘性）：如果 那么 证明：∵ 已知 a > b , c＞d，∴ a+c ＞b+c , b+c ＞b+d （可加性） ∴ a+c ＞b+d 成立 （传递性） 证明 : ∵ a >b , c >0,∴ ac > bc （可乘性：乘除正数不变号） 又∵ c>d, b>0 , ∴ bc > bd（可乘性：乘除正数不变号） 故 ac > bd（传递性） 性质7（同向同正可乘方性）如果 , 那么 根据性质6，你能自己证明性质7吗？ 让学生按例子画韦恩图 16 新知1.并集 知识点1 不等式的性质 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 5 【例2】已知 求证 证明：∵ 已知 ∴ （同号可倒性） 又∵已知 ∴ （可乘性：乘除负数要变号） 让学生按例子画韦恩图 17 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 6 题型一 不等式性质的简单应用 1.已知a>b，用符号“>”或“<”填空 （1）a+1 b+1 (2)-5a -5b (3)3a+3 3b+2 2.判断下列结论是否正确，并说明理由 （1）如果a<b且b<c，那么a<c； （2）如果a>b，那么> （3）若a>b且c<d,则a+c>b+d. > ＜ ＜ ✔ ✘ ✔ 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 7 题型二 不等式性质求代数式的取值范围 1.已知-6<a<8,2<b<3,分别求2a+b,a-b的取值范围. 解:因为-6<a<8,2<b<3,所以-12<2a<16,所以-10<2a+b<19. 又因为-3<-b<-2,所以-9<a-b<6. 方法规律利用不等式的性质求取值范围问题的注意点解决此类问题时,要注意题设中的条件,充分利用已知求解,否则易出错.在变换过程中要准确使用不等式的性质,不能出现同向不等式相减的情况,同时要特别注意同向不等式相乘的条件是同为正. 2.若1≤a≤2,3≤b≤6,则3a-2b的取值范围为 . -9≤3a-2b≤0 解析:因为1≤a≤2,3≤b≤6,所以3≤3a≤6,-12≤-2b≤-6,由不等式的性质得-9≤3a-2b≤0. 课堂小结 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 8 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 9 1.已知2<a<3,-4<b<-3,求a+b,a-b,,ab,的取值范围.. 2、习题2.1第5、6、7、11题 课后作业 感谢观看 课堂建构 课堂建构 $$