精品解析：青海省西宁市2024届高三下学期复习检测（一）理科数学试卷

2024年普通高等学校招生全国统一考试 西宁市高三年级复习检测（一） 理科数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 4. 已知直线m,n和平面,，，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 5. 已知是抛物线的焦点，点在上，且的纵坐标为3，则（ ） A. B. C. 4 D. 6 6. 已知平面向量，满足.若，则向量，的夹角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 135° 7. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是第四象限角，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知某社区居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且，.现从该社区中随机抽取2名居民，则恰有1名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为（ ） A. 0.60 B. 0.48 C. 0.36 D. 0.24 10. 等差数列中的，是函数的极值点，则（ ） A. B. 1 C. D. 11. 已知正方体的棱长为，以为球心，半径为2的球与底面的交线的长度为（ ） A. B. C. D. 12. 在下列四个图形中，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O、P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 函数的图象在处的切线方程为______． 14. 若等比数列的前项和，则______． 15. 1911年5月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文在这篇文章中，他描述了用粒子轰击0.00004cm厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分粒子从金箔上反弹.如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径.则该双曲线的离心率为___________，如果粒子的路径经过（10，5），则该粒子路径的顶点距双曲线的中心___________. 16. 若函数在上有且仅有三个零点，则的取值范围是______． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. 某厂近几年陆续购买了几台型机床，该型机床已投入生产的时间（单位：年）与当年所需要支出的维修费用（单位：万元）有如下统计资料： 2 3 4 5 6 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 已知，，，， （1）计算与的样本相关系数（精确到0.001），并判断该型机床的使用年限与所支出的维修费用的相关性强弱（若，则认为与相关性很强，否则不强）. （2）该厂购入一台新的型机床，工人们分别使用这台机床（记为）和一台已经使用多年的型机床（记为）各制造50个零件，统计得出的数据如下表： 机床 零件 合计 合格 不合格 4 40 合计 请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“零件合格情况是否与机床的使用情况有关”. 附参考公式及数据 ，其中. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 18. 如图所示，角的终边与单位圆交于点，将绕原点按逆时针方向旋转后与圆交于点. （1）求； （2）若的内角，，所对的边分别为，，，，，，求. 19. 如图，多面体中，四边形为菱形，，，，． （1）求证：平面平面； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值． 20. 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，若一条斜率不为0的直线过点与椭圆交于两点，椭圆的左、右顶点分别为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值． 21. 已知函数，. （1）求的单调区间； （2）当时，，求的取值范围； （3）证明：，且. 二、选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多橵，则按所做的第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22. 在平面直角坐标系xOy中，圆，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线平分圆M的周长． （1）求圆M的极坐标方程； （2）过O作两条互相垂直的直线，，其中与圆M交于O，A两点，与圆M交于O，B两点，求面积的最大值． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23. 已知． （1）当时，求不等式的解集； （2）若，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年普通高等学校招生全国统一考试 西宁市高三年级复习检测（一） 理科数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由交集的概念即可得解. 【详解】由题意集合，则. 故选：A. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念，结合复数的乘、除法运算即可求解. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：C． 3. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值法和不等式的性质即可求解. 【详解】对于A选项，令，则，所以不成立，故A错误； 对于B选项，令，则，所以不成立，故B错误； 对于C选项，令，则，所以不成立，故C错误； 对于D选项，由及不等式的可加性可得，故D正确. 故选：D. 4. 已知直线m,n和平面,，，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理与性质定理判断即可. 【详解】根据线面平行的判定定理知,若,则,故充分性成立； 若,则直线m,n有可能平行或者异面,故必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知是抛物线的焦点，点在上，且的纵坐标为3，则（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的标准方程和抛物线的焦半径公式即可求解. 【详解】由，得，解得. 所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 又因为的纵坐标为3，点在上， 所以. 故选：C. 6. 已知平面向量，满足.若，则向量，的夹角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 135° 【答案】D 【解析】 【分析】根据数量积公式及运算律计算求出夹角余弦进而求出夹角即可. 【详解】因为，设夹角为 所以, 所以 所以. 故选：D. 7. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据各选项中函数式，直接判断单调性即得. 【详解】函数在区间上单调递增，A不是； 函数在上单调递增，B不是； 函数在上单调递减，C是； 函数在上单调递增，D不是. 故选：C 8. 已知，是第四象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式可得，即可根据同角关系得，进而即可由半角公式求解. 【详解】由可得，故， 由于是第四象限角，故， ∴． 故选：D． 9. 已知某社区居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且，.现从该社区中随机抽取2名居民，则恰有1名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为（ ） A. 0.60 B. 0.48 C. 0.36 D. 0.24 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性和概率的乘法公式即可求解. 【详解】由题意得，则， 所以. 所以恰有1名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为. 故选：B. 10. 等差数列中的，是函数的极值点，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据极值点求出导函数为0求出，再结合等差数列得出，最后计算对数. 【详解】函数的极值点是，， 导函数为，所以， 等差数列中，，所以， 则. 故选：B. 11. 已知正方体的棱长为，以为球心，半径为2的球与底面的交线的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意算出平面截球所得小圆的半径，运用公式求解弧长即可. 【详解】因为正方体的棱长为，球以为球心，半径为2， 所以底面截得的圆的半径为， 所以交线的长度为. 故选：C 12. 在下列四个图形中，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O、P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点在第二条边上运动时，的单调性可排除A，由图象的对称性可排除，由一开始与是线性的可排除C，对于D，当图形是正方形时，可以验证它满足题意. 【详解】对于A，点在第一条边上时，， 但点在第二条边上运动时，是随的增大先减小（减到最小时即为三角形的第二条边上的高的长度），然后再增大， 对比图象可知，A错误； 对于B，y与x的函数图形一定不是对称的，B错误； 对于C，一开始与的关系不是线性的，C错误； 对于D，因为函数图象对称，所以D选项应为正方形，不妨设边长为， 点在第一条边上时（即时），， 点在第二条边上运动时（即时），，依然单调递增， 点在第三条边上运动时（即时），，单调递减， 点在第四条边上运动时（即时），，单调递减， 且已知与的图象关于（其中）对称，D正确. 故选：D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 函数的图象在处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求解出导函数，然后计算出时的导数值和函数值，可得切线的点斜式方程，再化为一般式方程即可. 【详解】由题意，得，所以， 又，所以切线方程为，即为， 故答案为：. 14. 若等比数列的前项和，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的值，然后由得出在时的表达式，然后由满足，可求出的值. 【详解】等比数列的前项和，则. 当且，. 适合，则，解得. 故答案为. 【点睛】本题考查了利用等比数列的前项和表达式求参数，主要考查公式的运用和处理能力，考查计算能力，属于中等题． 15. 1911年5月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文在这篇文章中，他描述了用粒子轰击0.00004cm厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分粒子从金箔上反弹.如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径.则该双曲线的离心率为___________，如果粒子的路径经过（10，5），则该粒子路径的顶点距双曲线的中心___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由渐近线倾斜角求出，再由可得离心率；待定系数法可得a. 【详解】由图知，双曲线的渐近线的倾斜角为，所以，所以； 由上知双曲线为等轴双曲线，故设双曲线方程为，则，得. 故答案为：；. 16. 若函数在上有且仅有三个零点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】时，结合正弦函数的图像和性质，确定的范围，由不等式求解的取值范围. 【详解】因，，所以， 因函数在上有且仅有三个零点，所以，解得． 则的取值范围是. 故答案为： 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. 某厂近几年陆续购买了几台型机床，该型机床已投入生产的时间（单位：年）与当年所需要支出的维修费用（单位：万元）有如下统计资料： 2 3 4 5 6 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 已知，，，， （1）计算与的样本相关系数（精确到0.001），并判断该型机床的使用年限与所支出的维修费用的相关性强弱（若，则认为与相关性很强，否则不强）. （2）该厂购入一台新的型机床，工人们分别使用这台机床（记为）和一台已经使用多年的型机床（记为）各制造50个零件，统计得出的数据如下表： 机床 零件 合计 合格 不合格 4 40 合计 请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“零件合格情况是否与机床的使用情况有关”. 附参考公式及数据 ，其中. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）；接近，说明型机床的使用年限与当年所支出的维修费用之间具有很强的相关性． （2） 机床 零件 合计 合格 不合格 合计 ；没有的把握认为“零件合格情况是否与机床的使用情况有关. 【解析】 【分析】（1）计算相关系数，即可得到答案； （2）根据题意完成表格，计算得到，进而可判断结果． 【小问1详解】 由题可知， ， 所以， 接近，说明型机床的使用年限与当年所支出的维修费用之间具有很强的相关性． 【小问2详解】 补充列联表如下： 机床 零件 合计 合格 不合格 合计 零假设为：零件合格情况与机床的使用情况无关． 根据列联表中的数据，经计算得到， 所以根据临界值表，没有充分证据推断不成立，因此可认为成立，即没有的把握认为“零件合格情况是否与机床的使用情况有关”． 18. 如图所示，角的终边与单位圆交于点，将绕原点按逆时针方向旋转后与圆交于点. （1）求； （2）若的内角，，所对的边分别为，，，，，，求. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义及诱导公式直接得解； （2）由已知可得，再利用余弦定理可得，进而可得面积. 【小问1详解】 由题知，， 所以； 【小问2详解】 由题知，，， ，且，所以， 而，则，故， 由正弦定理可知，整理得， 解得， 故，或. 19. 如图，多面体中，四边形为菱形，，，，． （1）求证：平面平面； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 因为，所以点四点共面， 又四边形为菱形，所以， 因为，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由线面垂直的判定定理可证平面，再由面面垂直的判定定理即可证明； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，所以，又因为， 所以平面，设交于，则以为轴， 为轴，过点且平行于的方向为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系, 因为，四边形为菱形，， 则， 所以有， 则， 不妨设平面的法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 20. 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，若一条斜率不为0的直线过点与椭圆交于两点，椭圆的左、右顶点分别为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值． 【答案】（1） （2）证明如下： 设， 由于该直线斜率不为0，可设， 联立方程和，得， 恒成立，根据韦达定理可知， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）将点代入椭圆方程，结合离心率公式，即可利用待定系数法求椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理表示，即可求解的值. 【小问1详解】 由椭圆的离心率为，且点在椭圆上， 可得，所以， 又点在该椭圆上，所以，所以， 所以椭圆C的标准方程为． 【小问2详解】 略 21. 已知函数，. （1）求的单调区间； （2）当时，，求的取值范围； （3）证明：，且. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2） （3）证明：由（2）可得取，当时，满足， 即， 所以可得， 即可得. 【解析】 【分析】（1）利用导数判断出函数单调性即可求得单调区间； （2）将不等式转化为在时恒成立，构造函数利用单调性求出即可得出的取值范围； （3）利用（2）中的结论，当，时，满足，再利用裂项可得，累加求和即可得出结论. 【小问1详解】 由函数可知其定义域为， 易知，令可得， 当时，，此时在单调递减， 当时，，此时在单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为; 【小问2详解】 由可得， 即在时恒成立， 令，则， 令，则在上恒成立， 所以可得，因此恒成立， 即可得在是单调递减，所以，即； 因此满足题意，所以的取值范围是 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用已有结论，再利用数列不等式以及裂项相消求和即可求得结论. 二、选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多橵，则按所做的第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22. 在平面直角坐标系xOy中，圆，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线平分圆M的周长． （1）求圆M的极坐标方程； （2）过O作两条互相垂直的直线，，其中与圆M交于O，A两点，与圆M交于O，B两点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据直线平分圆M的周长求得a值，求出圆M的极坐标方程； （2）设直线，，则，，求得求最大值即可. 【小问1详解】 直线，转换为直角坐标方程为， ∵直线l平分圆的周长， ∴圆心在直线l上，∴，解得， ∴圆M的方程为，即， 转换为极坐标方程为． 【小问2详解】 设直线，，，， 则，， ∵，∴， 故面积的最大值为2． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23. 已知． （1）当时，求不等式的解集； （2）若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）分类讨论即可求解； （2）根据三角绝对值不等式可得，即可求解. 【小问1详解】 当时，等价于 或或， 所以，或，或， 综上可得：， 不等式的解集为. 【小问2详解】 恒成立，恒成立， （当且仅当时等号成立）， ,解得， 的取值范围是或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $