训练题 18-“枫叶新希望杯”七年级数学竞赛训练题

! %$#"! 一、选择题 1.2014年报名参加高考的人数为939万人,939万用科学记数法表示为( ). A.9390000 B.939×104 (第2题图) C.9.39×104 D.9.39×106 2.某同学用如图所示的硬纸板制作一个立方体纸盒,为了美观和 表达特殊的意义,该同学想在纸板的六个正方形上面画三种图 案,使得做成的立方体纸盒每相对的两个面上的图案相同,那 么画上图案后正确的是( ). A B C D 3.计算1-2-3+4+5-6-7+8+9-10-11+12+…+2013-2014的结果是( ). A.-1 B.0 C.1 D.以上都不是 4.观察下图中按规律变化的数,在“?”处应填上的数字是( ). A.128 B.136 C.162 D.188 5.已知m>0,不等式-m≤x≤m 恰有2013个整数,则m 的取值范围是( ). A.1005≤m<1006 B.1006<m≤1007 C.1006≤m<1007 D.1007<m≤1008 6.计算12+ 1 4+ 1 8+ …+1210= ( ). A.11024 B. 1023 1024 C.1 D.2 (第7题图) 7.如图,正方形ABCD 的边长是4cm,一个边长为1cm的带箭头小正方形按 顺时针方向沿着正方形ABCD 的边AB→BC→CD→DA→AB→…连续 地滚动,当滚动了2014次时,这个小正方形的摆放方式是( ). A. B. C. D. 8.某同学用三个圆柱形的量杯做实验,他先给三个量杯都贴上标签,分别 为1、2、3号,已知三个量杯的高度都是15cm,都装有液面高度为10cm 的药水,1、2、3号量杯的底面积分别为60cm2、80cm2、100cm2.现将1、2号量杯内的药水 各倒一部分到3号量杯中(药水没有洒出或溢出),使得1、2、3号量杯中的药水的高度之 比变为3∶4∶5,则3号量杯中的药水的体积最后变为( ). A.900cm3 B.950cm3 C.1200cm3 D.1250cm3 七年级训练题（十八） NEWHOPECUP 二、填空题 9.有三组数a1、a2、a3;b1、b2、b3;c1、c2、c3,他们的平均数分别是x、y、z,那么a1-b1+c1、a2- b2+c2、a3-b3+c3 的平均数是 . 10.有一列按规律排列的数:1,-3,5,-7,9,…,如果其中三个相邻的数之和为-115,则这 三个数的绝对值之和为 . 11.已知x、y、z满足条件 3x+7y+z=5, 4x+10y+z=3{ .则x+y+z . 12.如图,点C是线段AB 的中点,点D 是线段AC 的中点,点E 是线段BD 的中点,已知图 中所有线段的长度之和为38cm,则线段DE 的长度为 cm. 13.计算112+2 1 6+3 1 12+4 1 20+5 1 30+6 1 42+7 1 56+8 1 72+9 1 90+10 1 110= . 14.如图所示的长方形恰好被分割成8个完全相同的小正方形,现将外围的交点从1号到12 号按顺序进行编号,点A、B、C分别在2号、6号和10号交点上,如果按顺时针方向同时 移动A、B、C三点,各点每次只移动到下一个交点,这样绕长方形外围移动一周回到原先 的位置,在这个过程中,△ABC有 次成为直角三角形. (第14题图) (第15题图) (第16题图) 15.把11、12、13、14、15、16、17、18、19、20这10个数字填到图中10个格子里,每个格子只填 一个数,使得每个“田”字格中的四个数字之和都是同一个数,那么这个数最大值是 . 16.一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动,在第一秒钟,它从原点运动到(1,0),然后按图 中箭头所示方向运动,即(0,0)→(1,0)→(1,1)→(0,1)→(0,2)→…,且每秒移动一个单 位长度,那么第2014秒时质点所在位置的坐标是 . 三、解答题 17.已知关于x的方程x+1x=m+ 1 m 的解为x=m 或x=1m (m 为常数,且m≠0),求关于x 的方程x 3+ 1 12x-18= a2+3a+1 6a 的解,其中a为常数,且a≠0. !"#$%! 18.已知对任意的有理数x、y,等式(x-y)2=x2-2xy+y2 都恒成立,且x2+y2+54=2x+ y,求代数式 xyx+y 的值. 19.将正方形纸板裁下两个相同的长方形纸板(图1中阴影部分)后,余下一个小长方形纸板 (图1中空白部分),分别用四个阴影纸板、四个空白纸板拼成图2、图3所示的中间有方 孔的正方形框架,已知图2、图3中框架的内正方形方孔的周长之比为34 ,且图3中正方 形框架的面积(不含中间方孔)为720平方厘米.求图1中原正方形纸板的面积. 图1 图2 图3 20.将5个有理数两两相乘得到如下10个乘积:-180,0.9,-8,27,270,-0.6,-6,12, 1.2,360,求这5个有理数的值分别是多少? PUECPOWHEN 42 (315,645),645-315=330(毫升). 三、解答题 17.解:当x≥3时,原方程可化为 x-6 =9,解得x=-3(舍去)或x=15; 当x<3时,原方程可化为 x-2 =3,解得x=-1或x=5(舍去), 综上,x=15或x=-1. 18.解:观察可知,这是一个对称图形,它的一半从 前、后、左、右、上看各需喷10个面, 总面积为0.1×0.1×10×5×2=0.01×100=1 (平方米). 答:需喷油漆的面共1平方米. 19.解:甲、乙两人的速度之比为 a-15( )a ∶ 1 5a=4∶1 , 设乙的速度为x千米/小时,则甲的速度为4x 千米/小时,列方程得 a x = 2a 4x+1.5 ,解得x=a3 , 答:乙的速度为a 3 千米/小时. 20.解:共有6种方法,如下图所示. 一、选择题 1.D 2.B 3.A 提示:从1开始,进行分组,每四个数一组, 每组结果为0,剩下最后两个数. 4.C 提示:26+48+88=162. 5.C 提示:2013-12 ≤m< 2013+1 2 ,即1006≤m< 1007. 6.B 提示:12+ 1 4+ 1 8+ …+12n=1- 1 2n . 7.B 提示:每滚动16次刚好绕正方形ABCD 一 周,并以原样回到原来的位置,前16次的摆放方 式如图所示: 2014÷16=125……14,即滚动了2014次后的摆 放方式与滚动了14次后的摆放方式相同. 8.C 提示:设1、2、3号量杯中的药水的高度最后 分别变为3x、4x、5x,则60×3x+80×4x+100 ×5x=60×10+80×10+100×10,解得x= 2.4,则3号量杯中的药水的体积最后变为100 ×5×2.4=1200(cm3). 二、填空题 9.x-y+z 提示: a1-b1+c1+a2-b2+c2+a3-b3+c33 =a1+a2+a33 - b1+b2+b3 3 + c1+c2+c3 3 =x-y+z. 10.345 提示:由题意可知,中间的数为正数,可设 为x,另两个数分别为-(x-2)、-(x+2),则 -(x-2)+x-(x+2)=-115,解得x=115, -(x-2)=-113,-(x+2)=-117, 所以113+115+117=345. 11.9 提示:x+y+z=3(3x+7y+z)-2(4x+ 10y+z)=3×5-2×3=9. 12.3 提示:图中共有1+2+3+4=10(条)线段, 设AD=DC=x, 则CB=2x,EB=32x ,CE=12x , 所以x+2x+52x+4x+x+ 3 2x+3x+ 1 2x+ 2x+32x=38 ,解得x=2,DE=32x=3 (cm). 13.551011 提示:112+2 1 6+3 1 12+4 1 20+5 1 30 +6142+7 1 56+8 1 72+9 1 90+10 1 110 =(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)+(12+ 1 6+ 1 12+ 1 20+ 1 30+ 1 42+ 1 56+ 1 72+ 1 90+ 1 110 ) =55+(12+ 1 2- 1 3+ 1 3- 1 4+ 1 4- 1 5+ 1 5 -16+ 1 6- 1 7+ 1 7- 1 8+ 1 8- 1 9+ 1 9- 1 10 七年级训练题（十八） ! $#"! 43 +110- 1 11 ) =55+(12+ 1 2- 1 11 ) =551011. 14.6 提示:当点A 分别移动到3号、5号、7号、9 号、11号、1号时,△ABC为直角三角形. 15.64 提示:设中间公共部分的两个格子中的数 为x、y,每个“田”字格中的四个数字之和为a, 则11+12+13+…+20+x+y=155+x+y= 3a,要使a最大,则必须使x+y最大, 当x+y=19+20=39时,3a=155+39=194,a =1943 不是整数,舍去; 当x+y=18+19=37时,3a=155+37=192,a =64是正数,成立,即a的最大值为64. 此时可得到如下填法:(填法不唯一) 16.(44,10) 提示:质点走过的长度单位跟时间一 致,即2014秒走过了2014个长度单位. 质点到达(1,1)处,走过的长度单位是2,方向 向上; 质点到达(2,2)处,走过的长度单位是6=2+ 4,方向向右; 质点到达(3,3)处,走过的长度单位是12=2+ 4+6,方向向上; 质点到达(4,4)处,走过的长度单位是20=2+ 4+6+8,方向向右; …… 猜想:质点到达(n,n)处,走过的长度单位是2 +4+6+…+2n=n(n+1), 且n为偶数时运动方向与x 轴相同,n为奇数 时运动方向与y 轴相同. 所以2014秒后,走过的长度单位是2014,此时 质点到达(44,44)后,继续前进了34个单位,由 图中规律可得是向下前进了34个单位,即质点 位置是(44,10). 三、解答题 17.解:原方程可化为 2x-3+ 12x-3=a+ 1 a. 所以2x-3=a或2x-3=1a , 解得x=a+32 或x=3a+12a . 经检验,x=a+32 或x=3a+12a 都成立. 18.解:因为对任意的有理数x、y,等式(x-y)2= x2-2xy+y2 都恒成立, 所以由x2+y2+54=2x+y 得x2-2x+1+y2 -y+14=0 ,即(x-1)2+(y-12 ) 2 =0, 所以x=1,y=12 , 所以 xy x+y= 1 3. 19.解:设阴影纸板的宽为x厘米,空白纸板的宽为 y厘米,则由题意得 x+y 2x = 3 4 , 4×y(2x+y)=720 { .解得 x=12, y=6{ . 原正方形纸板的边长为2x+y=30(厘米), 其面积为30×30=900(平方厘米). 答:图1中原正方形纸板的面积为900平方厘 米. 20.解:将这10个数按从小到大的顺序排列: -180<-8<-6<-0.6<0.9<1.2<12<27 <270<360. ∵这些乘积中有4个负数,且没有0, ∴这5个数中,有1个负数与4个正数,或者1 个正数与4个负数, (1)若为1个负数与4个正数, 不妨设a<0<b<c<d<e,则 ae<ad<ac<ab<0<bc<bd< be{cd<ce<de,其 中be、cd的大小关系待定, ∴ae=-180,ad=-8,de=360, ∴(ade)2 =180×8×360=1802 ×16= (180×4)2, ∵a<0<d<e,∴ade=-180×4, ∴a=-2,d=4,e=90, 再由ac=-6,ab=-0.6得c=3,b=0.3, 经检验,a=-2,b=0.3,c=3,d=4,e=90满足 题意. PUECPOWHEN 44 (2)若为1个正数与4个负数,不妨设A<B<C <D<0<E,则 AE<BE<CE<DE<0<CD<BD< AD{BC< AC<AB,其中AD、BC的大小关系待定, ∴AE=-180,BE=-8,AB=360, ∴(ABE)2 =180×8×360=1802 ×16= (180×4)2, ∵A<B<0<E,∴ABE=180×4, ∴A=-90,B=-4,E=2, 再由CE=-6,DE=-0.6 得C=-3,D=-0.3, 经检验,A=-90,B=-4,C=-3,D=-0.3, E=2满足题意. 综上,这5个有理数的值分别是-2,0.3,3,4, 90或-90,-4,-3,-0.3,2. 一、选择题 1.D 提示:若x 为整数,则[x]+[-x]=0;若x 不是整数,则[x]+[-x]=-1. 2.C 提 示:由3x-27=0得 x=9,再 由2x- 2014y-a=0得2014y=18-a<0,所以a>18. 3.C 提示:填法如图: 4.B 提示:5(x-1)-4(1-x)=9,解得x=2. 5.D 提示:平均一人一天赚cab 元钱,a÷c÷cab= a2b c2 . 6.A 提示:如图,连接AC、AD、OC、OD,则 S△ABC+S△ACD+S△ADE=5S△COD=S五边形ABCDE, 所以BC·AG+CD·AF+DE·AH=5CD· OF,即CD·(AG+AF+AH)=5CD·OF, 所以OF=AG+AF+AH5 =2 (cm). 7.C 提示:如图,连接CA、AO,则CA∥OE, 所以S△CEO=S△AEO=14S正方形AEFG , 因为S正方形ABCD =16cm2,DG=2cm,所以 BC= 4cm,所 以 正 方 形 AEFG 的 边 长 为 4+2= 6(cm),S正方形AEFG=6×6=36(cm2),所以S△CEO =9cm2. 8.B 提示:第n组的第一个数是n(n-1)+2,第n 组的最后一个数是n(n+1);第45组的第一个数 是1982,第45组的最后一个数是2070;1982< 2014<2070,所以2014在第45组. 二、填空题 9.32 提示:考察每一块地板,4×长=2×长+4× 宽,即长=2×宽,竖排4×2×2=16(块),共16 +4×4=32(块). 10.1 提示:由14-5x-3=10+21得x=-4, 所以14-3×(-4)=21+5y,解得y=1. 11.0 提示:设 xa-b= y b-c= z c-a=k ,则x+y+z =k(a-b)+k(b-c)+k(c-a)=0. 12.0 提示: 5a+5×4=15, 4×(-3)-(-1)·b=-2{ .解得 a=-1, b=10{ .所以a 2013+(-110b ) 2014 =(-1)2013+ (-110×10 ) 2014 =0. 13.9 11024 提示:原式=1-12+1- 1 4+1- 1 8 +1-116+1- 1 32+1- 1 64+1- 1 128+1- 1 256+ 1- 1512+1- 1 1024 =10-(12+ 1 4+ 1 8+ 1 16+ 1 32+ 1 64+ 1 128+ 1 256+ 1 512+ 1 1024 )=10-(1- 11024 )=9 11024. 14.115° 提示:因为∠BAC=65°,BO⊥AC,CO⊥ AB,所以∠ABO=∠ACO=25°, 七年级训练题（十九）