训练题 3-“枫叶新希望杯”七年级数学竞赛训练题

!"#$%! ７　 七年级训练题(三) 一、选择题 １．如果有理数a、b、c满足等式a＋b＋c＝０,那么(　　)． A．三个数一定都等于０ B．三个数中至少有一个是负数 C．一定有两个数互为相反数 D．一定有一个数的相反数等于另外两个数的和 ２．下面的图形中,不是正方体的平面展开图的是(　　)． ３．某商店出售甲、乙两种商品,售价都是每件１８０元,其中甲商品获利２０％,乙商品亏损 ２０％,若两种商品各售一件,则(　　)． A．共获利１５元 B．共亏损１５元 C．不赔不赚 D．以上都不对 ４．已知四个不同的整数a、b、c、d满足等式(a－５)(b－５)(c－５)(d－５)＝２５,则a＋b＋c＋d ＝(　　)． A．１５ B．２０ C．２５ D．３０ ５．若a２０１５＋b２０１５＝０,则(　　)． A．(a＋b)２０１５＝０ B．(a－b)２０１５＝０ C．(ab)２０１５＝０ D．(a ＋ b )２０１５＝０ ６．如图,点O 为直线AB 上一点,OC、OD、OE 为三条 射线,且OD、OE 是∠BOC 的三等分线,则图中互 补的角共有(　　)． A．４对 B．５对 C．６对 D．７对 ７．某地板是由四种正多边形的地板砖不重叠地铺成 (同一顶点处围有四块不同的正多边形地板砖),若这四种正多边形的边数分别为a、b、c、 d,则１a＋ １ b＋ １ c＋ １ d＝ (　　)． A．１ B．１２ C． １ ３ D． １ ４ ８．方程x＋y＋２z＝１１的非负整数解有(　　)． NEWHOPECUP ８　 A．２４组 B．３２组 C．３６组 D．４２组 二、填空题 ９．如图,若∠AOC＝∠BOD＝１３５°,∠AOB＝４∠COD,则∠COD＝ ． １０．已知多项式３xn＋１－５x３－n＋６是三次三项式,则整数n的值为 ． １１．从自然数１到４６６２０００００８中,能被９整除的数有 个(用科学记数法表示)． １２．计 算 １２－１ ＋ １ ３－ １ ２ ＋ １ ４－ １ ３ ＋ 􀆺 ＋ １２０１４－ １ ２０１３ ＋ １ ２０１５－ １ ２０１４ ＝ ． １３．若质数a、b满足等式３a＋５b＝４１,则a＋b＝ ． １４．６点３０分时,钟表上的时针和分针之间的夹角度数为 ． １５．在线段AB 上,点C为不同于点A、B 的任意一点,点D 为AB 的中点,点E 为AC 的中 点,点F 为AD 的中点,点G 为AE 的中点,则DE∶FG＝ ． １６．如图,在边长为３０cm 的正方形ABCD 中,以顶点A 为圆心,２０cm 长为半径作圆弧,分别 交AB、AD 于点E、F;以顶点D 为圆心,３０cm 长为半径作圆弧,得到扇形ACD,记图中 两块阴影部分的面积分别为S１、S２,则S１－S２＝ cm２(π取３)． 三、解答题 １７．已知线段AB 上有一点C,AC、BC的中点分别为点M、N． (１)如图１,若点C为AB 的中点,AB＝１８cm,求线段MN 的长度; (２)如图２,若点C为AB 上任意一点,求MN∶AB 的值． !"#$%! ９　 １８．已知(x－３)２＋ y＋１３ ＝０ ,求３xy２－ xy－２２x－３２x ２yæ è ç ö ø ÷ ＋２xy２é ë êê ù û úú ＋３x２y． １９．有１０个同学围成一圈做游戏,游戏规则是:每个人心里都想好一个数,并把想好的这个 数如实地告诉与他相邻的两个人,然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数 报出来,若这１０个同学报出来的数如图所示,求报数字５的同学心里所想的数． ２０．把数字１,２,３,４,５,６,７,８,９这９个自然数分别填入下图中的９个圆圈内,要求△ABC和 △DEF 的每一条边上的３个圆圈内所填的数字之和都等于１８． (１)给出一种符合要求的填法,将相应的数字填入图中的圆圈内; (２)共有多少种不同的填法? 证明你的结论． NEWHOPECUP １００　 １６．７４　 提示:∵S△BCE ＝２S△CDF ＝１４S▱ABCD ＝１ ,∴ 点E为AB 的中点,点F 为AD 的四等分点, S▱ABCD ＝４,S△CDF ＝ １２ ,S△AEF ＝ １２× １ ２× (１－ １ ４ )×S▱ABCD ＝ ３１６×４＝ ３ ４ ,∴S△CEF ＝４－１－ １ ２－ ３ ４＝ ７ ４． 三、解答题 １７．解:(１)挖去一个小正方体后,新图形的表面积 与原正方体的表面积相等,为 ２０×２０×６＝ ２４００(cm２)． (２)这个零件的体积为２０３－１０３＝７０００(cm３)． 答:略． １８．解:∵ ３x－５ ≥０,∴ ３x－５ ＋４＞０,∴原方 程可变形为 ３x－５ ＋４＝８,即 ３x－５ ＝４, ∴３x－５＝±４,∴x＝３或x＝１３． 故原方程的解为x＝３或x＝１３． １９．解:(１)如图１,∵点B所对应的有理数为９０, ∴OB＝９０,又１３OA＋５０＝OB ,∴OA＝１２０, ∴点A 所对应的有理数为－１２０． (２)由题意得１２０＋(７－２)t＝(８＋７)×[t－９０ ÷(８＋７)],解得t＝２１(秒)． (３)由题意得１２０－(７－２)t＝(８＋７)t＋９０,解 得t＝３２ (秒)． MN＝１２０－３２× (７－２)＝２２５２ ,OM＝ ３２ ×７＝ ２１ ２ ,OP＝９０＋３２×８＝１０２ , 如图: ∵点Q为线段MN 的中点,点R 为线段OP 的 中点, ∴RQ＝MQ＋OM＋OR＝ １２MN＋OM＋ １ ２OP ＝２２５４ ＋ ２１ ２＋５１＝ ４７１ ４ ,OR＝１２OP＝５１ , NP＝MN＋OM＋OP＝２２５２ ＋ ２１ ２＋１０２＝２２５ , ∴２NP＋OR－４RQ＝４５０＋５１－４７１＝３０．答: 略． ２０．证明:显然,９９９９这个号码是“砳砳号”,除这个 号码外,如果某个号码n是“砳砳号”,那么号码 m＝９９９９－n也是“砳砳号”,因为９９９９是奇数, 所以m≠n,又因为m＋n＝９９９９,且相加时不可 能出现进位,所以除了９９９９这个号码之外,其 余所有“砳砳号”都可两两配对,每一对号码之 和都是９９９９,即所有“砳砳号”的号码之和是 ９９９９的倍数,因为９９９９能被１０１整除,所以所 有“砳砳号”的号码之和能被１０１整除． 七年级训练题(三) 一、选择题 １．D　提示:A、B、C各选项中的情况都是可能出现 的情形之一． ２．C　提示:参照正方体平面展开图的１１种情形． ３．B　提示:甲的成本为 １８０１＋２０％＝１５０ (元),乙的成 本为 １８０ １－２０％＝２２５ (元),１８０×２－(１５０＋２２５)＝ －１５(元),∴共亏损１５元． ４．B　提示:∵２５＝(－１)×１×(－５)×５,∴a－５＋ b－５＋c－５＋d－５＝－１＋１－５＋５＝０,∴a＋b ＋c＋d＝２０． ５．A　提示:∵a２０１５＋b２０１５＝０,２０１５为奇数,∴a、b 互为相反数,∴(a＋b)２０１５＝０． ６．C　提示:∠COD＝∠DOE＝∠BOE,它们都与 ∠AOE互补,这有３对;∠COE＝∠BOD,它们 都与∠AOD 互补,这有２对;∠AOC 与∠BOC 互补,有１对,共３＋２＋１＝６(对)． ７．A 　 提 示: (a－２)×１８０° a ＋ (b－２)×１８０° b ＋ (c－２)×１８０° c ＋ (d－２)×１８０° d ＝３６０° ,化简得 １ a ＋１b＋ １ c＋ １ d＝１． ８．D　提示:易知０≤z≤５,当z＝５时,x＋y＝１,∴ x＝１, y＝０{ 或 x＝０, y＝１．{ 有２组;当z＝４时,x＋y＝３, ∴ x＝０, y＝３{ 或 x＝１, y＝２{ 或 x＝２, y＝１{ 或 x＝３, y＝０．{ 有４组; 当z＝３ 时,x＋y＝５,∴ x＝０, y＝５{ 或 x＝１, y＝４{ 或 ! " # $! １０１　 x＝２, y＝３{ 或 x＝３, y＝２{ 或 x＝４, y＝１{ 或 x＝５, y＝０．{ 有６组;􀆺, 共２＋４＋６＋８＋１０＋１２＝４２(组)． 二、填空题 ９．３０°　提示:设∠COD＝x,则２×(１３５°－x)＋x＋ ４x＝３６０°,解得x＝３０°． １０．０或２　提示:当n＋１＝３时,n＝２;当３－n＝３ 时,n＝０,经检验,n＝０或n＝２都成立． １１．５．１８×１０８ 　 提 示:∵４６６２０００００９÷９＝ ５１８０００００１,∴从数１到４６６２０００００８中,能被９ 整除的数有５１８００００００个． １２．２０１４２０１５　 提示:原式＝１－１２＋ １ ２－ １ ３＋ １ ３－ １ ４ ＋􀆺＋ １２０１３－ １ ２０１４＋ １ ２０１４－ １ ２０１５＝１－ １ ２０１５＝ ２０１４ ２０１５． １３．９　提示:∵４１为奇数,∴a、b中有一个为偶数, 若a＝２,则３×２＋５b＝４１,b＝７,满足题意;若b ＝２,则３a＋５×２＝４１,３a＝３１,不合题意,舍 去,∴a＝２,b＝７． １４．１５°　提示:时针指向６、７的正中间,分针指向 ６,∴１２× ３６０° １２ ＝１５°． １５．２∶１　提示:点C 可能在线段AB 中点D 的左 边或右边,也可能与点D 重合,不管哪种情况, 结果都相同．∵AF＝１２AD ,AG＝ １２AE ,∴FG ＝AF－AG＝ １２ (AD－AE)＝ １２DE ,∴DE∶ FG＝２∶１． １６．７５　提示:正方形面积为３０×３０＝９００(cm２), 扇形ACD 的面积为１４×π×３０ ２＝２２５π(cm２), 扇形AEF的面积为１４×π×２０ ２＝１００π(cm２), ∴S１－S２＝１００π－(９００－２２５π)＝７５(cm２)． 三、解答题 １７．解:(１)∵点C、M、N 分别为AB、AC、BC 的中 点,∴点C、M、N 是线段AB 的四等分点, ∴CM＝CN＝１４AB＝ １ ４×１８＝ ９ ２ (cm), ∴MN＝９(cm)． (２)∵点 M、N 分别为AC、BC的中点, ∴MN＝CM＋CN＝ １２AC＋ １ ２BC＝ １ ２ (AC＋ BC)＝１２AB ,∴MN∶AB＝１２． 答:略． １８．解:∵(x－３)２＋ y＋１３ ＝０ , ∴x＝３,y＝－１３ , ∴原式＝３xy２－xy＋２ ２x－３２x ２y( ) －２xy２＋ ３x２y＝３xy２－xy＋４x－３x２y－２xy２＋３x２y＝ xy２－xy＋４x＝１３１３． １９．解:设报数字５的同学心里所想的数为x,则报 数字１的同学心里所想的数为６－x,报数字１７ 的同学心里所想的数为３２＋x,报数字１３的同 学心里所想的数为－x－２,报数字９的同学心 里所想的数２４＋x,则２４＋x＋x＝２×７,解得x ＝－５．即报数字５的同学心里所想的数为－５． 答:略． ２０．解:(１)填法如图． (２)共有６种不同的填法．证明如下． 设A、B、C三个圆圈内的数字之和为x,D、E、F 三个圆圈内的数字之和为y,其余三个圆圈内 的数字之和为z,则x＋y＋z＝１＋２＋３＋４＋５ ＋６＋７＋８＋９＝４５,△ABC 和△DEF 共６条 边,每条边上三个数之和为１８,总和为６×１８＝ １０８,其中A、B、C三个圆圈内的数字加了两次, D、E、F 三个圆圈内的数字加了三次,即２x＋ ３y＋z＝１０８,又考虑△DEF得２y＋z＝３×１８＝ ５４,联立得 x＋y＋z＝４５, ２x＋３y＋z＝１０８, ２y＋z＝５４． ì î í ïï ï 解得 x＝１５, y＝２４, z＝６． ì î í ïï ï １至 ９这９个自然数中,其中三个数的和为２４的只 有７、８、９,∴D、E、F 三个圆圈内的数字只能填 ７、８、９,共有６种填法,D、E、F 三个圆圈内的数 字确定之后,其它圆圈内的数字也就唯一确定,