第二十二章二次函数综合压轴题-最短路径（将军饮马）2024-2025学年人教版数学九年级上册

二次函数综合压轴-最短路径（将军饮马） 模型一：两个定点一个动点 模型 作法 结论 当两定点A、B在直线异侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小. 连接AB交直线于点 P，点P即为所求作的点. PA+PB的最小值为AB 当两定点A、B 在直线同侧时，在直线上找一点 P使得PA+PB最小 作点A关于的对称点A′，连接A′B、A′B与直线的交点即为点P. PA+PB的最小值为 模型 作法 结论 在直线同侧有A、B两个定点，在直线上找到一点P，使得|PA-PB|的值最大. 连接AB并延长与的交点为点P，点P即为所求作的点. |PA-PB|的最大值为AB 在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，在直线上找到一点P，使得|PA-PB|的值最大. 作点B关于直线的对称点B′，连接AB′并延长与的交点为点P，点P即为所求作的点. |PA-PB|的最大值为 在直线同侧有A、B两个定点，在直线上找到一点P，使得|PA-PB|的值最小. 连接AB，作AB的垂直平分线与直线交于点P，点P即为所求作的点. |PA-PB|的最小值为0 模型二：一个定点两个动点 模型 作法 结论 点P在∠AOB的内部，在OA上找一点C，在OB上找一点D，使△PCD的周长最小. 分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求点. P′P″即为△PCD的周长最小值. 点P在∠AOB的内部，在OA上找一点C，在OB上找一点D，使PD＋CD的值最小. 作点P关于OB的对称点P′，过点P′作P′C⊥OA交OB于点D，交OA于点C，点C、D即为所求点. P′C为PD＋CD的最小值. 点P在∠AOB的内部，在OA、OB上分别取点C、D，使得四边形PQCD的周长最小 分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P′、Q′，连接P′Q′分别交OA、OB于点C、D， 点C、D即为所求点. 四边形PQCD的周长最小值为PQ＋P′Q 模型三：两定点一定长 模型 作法 结论 如图，在直线上找M、N两点(M在左)，使得AM+MN+NB最小，且MN=. 将A向右平移个单位到，作关于的对称点，连接 与直线交于点N，将点N向左平移个单位即为M，点M、N即为所求. A″B +即为AM+MN+NB的最小值. 如图，∥，，间的距离为，在，分别找M、N两点，使得MN⊥，且AM+MN+NB最小. 将A向下平移个单位得到A′，连接A′B，交直线于点N，过点N作MN⊥，连接AM.点M、N即为所求. A′B +即为AM+MN+NB的最小值. 【例1】如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使得的值最小，求此时点的坐标． 【练习1】如图，已知，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为．与y轴交于点在抛物线上． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线的对称轴上有一动点P，求出当最小时点P的坐标； 【练习2】如图，抛物线经过三点． (1)求b，c的值； (2)点P在抛物线上，当，求点P的坐标； (3)在抛物线对称轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标． 【例2】如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，连接和．    (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线的对称轴上，当三角形ACD的周长最小时，求点的坐标． 【练习3】如图，抛物线与x轴交于，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 【例3】如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为） (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标． 【练习4】如图，已知抛物线过点，，其对称轴为． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限． ①当的面积为15时，求点的坐标； ②是抛物线上的动点，当取得最大值时，求点的坐标． 直击中考 1.（天津市2021年中考数学真题）已知抛物线（a，c为常数，）经过点，顶点为D． （Ⅰ）当时，求该抛物线的顶点坐标； （Ⅱ）当时，点，若，求该抛物线的解析式； （Ⅲ）当时，点，过点C作直线l平行于x轴，是x轴上的动点，是直线l上的动点．当a为何值时，的最小值为，并求此时点M，N的坐标． 2.（2022年天津市中考数学真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B． (1)若， ①求点P的坐标； ②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标； (2) 若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标． 3．（2022年天津市滨海新区九年级学业质量调查（二）数学试题）已知：抛物线（b，c为常数），经过点A（－2，0），C（0，4），点B为抛物线与x轴的另一个交点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标； (3)设点M，N是该抛物线对称轴上的两个动点，且，点M在点N下方，求四边形AMNC周长的最小值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$