1.1.1 空间向量及其运算（第1课时 空间向量的概念及线性运算）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

第一章　空间向量与立体几何 1.1.1　空间向量及其运算 第1课时　空间向量的概念及线性运算 人教B版 数学 选择性必修第一册 课程标准 1.了解由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念; 2.了解由平面向量的线性运算及其运算法则推广到空间向量的过程; 3.掌握空间向量的线性运算,并理解其几何意义. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 空间向量的概念 (1)空间向量的定义 空间向量 空间中既有　　　　,又有　　　　的量  向量的模(或长度) 向量的大小也称为向量的模,向量a的模可用　　来表示  大小 方向 |a| (2)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 始点和终点相同的向量称为　　 　,记为0(书写时,用 表示) 单位向量 　　　　　　的向量称为单位向量(常用e表示,即|e|=1)  相等向量 　　　　　　　　　　的向量称为相等向量  相反向量 与向量a大小　　　　　,方向　　　　　的向量,称为a的相反向量,记作　　　  向量共线 如果两个非零向量的方向　　　　　　　　,则称这两个向量平行(也称为两个向量共线),记作a∥b  共面向量 一般地,空间中的多个向量,如果表示它们的有向线段通过平移之后,都能在　　　　　　内,则称这些向量共面,否则称这些向量　　　　　  零向量 模等于1 大小相等,方向相同 相等 相反 相同或者相反 -a 同一平面 不共面 名师点睛 1.平面向量的相关概念与约定,去掉“在平面内”的限定后,就都可以推广到空间中. 2.易错点重温: (1)向量的模可以比较大小,而两个向量可以相等但不可以比较大小. (2)通常规定零向量与任意向量平行,研究向量平行(共线)问题时勿遗漏这一特殊情况.例如,“a∥b,b∥c,则a∥c”这是一个假命题. 过关自诊 1.下列说法正确的是(　　) A.若|a|=|b|,则向量a∥b B.若|a|>|b|,则向量a>b C.若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同 D.若a与b是相反向量,则|a|=|b| D 2.[人教A版教材习题]如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别为棱AA',AB的中点. 知识点2 空间向量的线性运算及其运算律 (1)如图,任意给定两个不共线的向量a,b,在空间中任取一点O,作 ①加法:a+b=　　.  ②减法:a-b=　　.  (2)数乘:λa, ①当λ≠0,a≠0时, |λa|=　　　,而且λa的方向:  当λ>0时,λa与a方向　　　　;  当λ<0时,λa与a方向　　　　;  ②当λ=0或a=0时,λa=0. (3)共线向量基本定理 如果a≠0且b≠a,则存在唯一的实数λ,使得　　　　　　.  |λ||a| 相同 相反 b=λa (4)线性运算律 ①加法交换律:a+b=　　　;  ②加法结合律:(a+b)+c=　　　　　;  ③分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=　　　　　　　.  b+a a+(b+c) λa+λb 名师点睛 1.空间向量的线性运算及其运算律为平面向量的推广. 2.以向量a,b为邻边的平行四边形中,a+b与a-b对应的有向线段所表示的是两条对角线,|a+b|与|a-b|为两条对角线的长度. 3.三个不共面的向量的和,等于以这三个向量为邻边的平行六面体中,与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量. 4.首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,它们的和向量为0. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)空间中两个非零向量相加时,可以在空间中任取一点作为它们的共同始点.(　　) (2)若a=λb(b≠0),则λ= .(　　) √ × 重难探究·能力素养全提升 探究点一　空间向量的概念 【例1】 给出下列说法:①两个空间向量相等,则它们的始点相同,终点也相同;②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;③在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有 ;④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p;⑤空间中任意两个单位向量必相等.其中正确的个数为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 C 解析 当两个空间向量的始点相同,终点也相同时,这两个向量必相等;但两个向量相等,不一定有始点相同、终点相同,故①错误;根据向量相等的定义,要保证两向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,但②中向量a与b的方向不一定相同,故②错误;根据正方体的性质,在正方体ABCD-A1B1C1D1 ④显然正确;对于⑤,空间中任意两个单位向量的模均为1,但方向不一定相同,故不一定相等,故⑤错误. 故选C. 规律方法　解决有关向量概念的问题时,要熟练掌握空间向量的有关概念,注意区分向量与向量的模以及数量.尤其要注意解决此类概念问题时,要多结合几何图形进行分析,并要与平面向量中的结论进行类比. 变式训练1(多选题)下列命题正确的是(　　) A.零向量没有确定的方向 ABD 探究点二　空间向量的线性运算 【例2】 如图,已知长方体ABCD-A'B'C'D',化简下列向量表达式,并在图中标出化简结果的向量. 规律方法　1.对于借助几何图形的向量运算,应该在线性运算的基础上挖掘几何体本身的特征,如平行、相等、垂直等. 2.转化与化归思想意识要加强,除借助向量的运算律外,还可以将已知向量转化为与之相等的向量以方便运算. B 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 1.“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B 1 2 3 4 5 2.若向量a=2i-k,向量b=j-2k,则2a-b=(　　) A.-4i+j B.-4i+j-4k C.4i-j D.4i-j-4k C 解析 因为向量a=2i-k,向量b=j-2k, 所以2a=4i-2k,所以2a-b=(4i-2k)-(j-2k)=4i-j.故选C. 1 2 3 4 5 3. [北师大版教材习题]如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,点M为A'C'与 A 1 2 3 4 5 4. (多选题)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC和BD的交点为O,设 AC 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E为PD中点,若 (1)写出与向量相等的向量; (2)写出与向量相反的向量; (3)写出与向量平行的向量. 解 (1)与相等的向量有. (2)与相反的向量有. (3)与平行的向量有. =a,=b,以OA,OC为邻边作平行四边形OABC,则 2.[北师大版教材习题]已知空间任意四点A,B,C,D,则=　　　　　.  . 中,向量的方向相同,模也相等,所以,故③正确; B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,=- C.向量a,b相等的充要条件是 D.若A,B,C,D是不共线的四点,则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件 (1); (2). 解 (1)'+. (2).向量如图所示. 变式探究试把例2中的体对角线所对应向量用向量表示. 解 在平行四边形ACC'A'中,由平行四边形法则可得. 在平行四边形ABCD中, 由平行四边形法则可得. 故. 变式训练2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,=a,=b,=c,若E为DD1的中点,F在BD上,且BF=2FD,则等于(　　) A.a-b-c B.a-b-c C.-a-b+c D.a-b+c 解析 )-a-b-c. 故选B. 解析 ) ==-c+b-a=-a+b-c. B'D'的交点,若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是(　　) A.-a+b-c B.a+b+c C.a-b+c D.-a-b+c =a,=b,=c,则下列结论正确的是(　　) A.=b-a B.=a-b+c C.=a+b+c D.a+b+c 解析 选项A,=b-a,故A正确; 选项B,=b+c-a,故B错误; 选项C,=a+b+c,故C正确; 选项D,)-a+b-c,故D错误. 故选AC. a-b+c )=(-b+)=-b+) =-b+(a+c-2b)=a-b+c. =a,=b,=c,则=　　　　　.  $$