1.1.2 空间向量基本定理课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

第一章　空间向量与立体几何 1.1.2　空间向量基本定理 人教B版 数学 选择性必修第一册 课程标准 1.掌握共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理及空间向量基本定理的内容及含义; 2.理解基底、基向量的概念,能用恰当的基底表示空间向量; 3.能用共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理和空间向量基本定理解决立体几何中的简单问题. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 空间中的共线向量基本定理 由于向量可以平移,该定理与平面上的共线向量定理相同 两个空间向量a,b,如果a≠0,且b∥a,则　　 　　的实数λ,使得　　　　　　.  名师点睛 存在唯一 b=λa 过关自诊 已知向量a,b不共线,p=ka+b,q=a-k2b,若p,q共线,则k的值是(　　) A.0 B.1 C.-1 D.2 C 解析 若p,q共线,则存在唯一的实数x,使p=xq,即ka+b=xa-xk2b,则 知识点2 共面向量定理 如果两个向量a,b不共线,则向量a,b,c共面的充要条件是,存在唯一的实数对(x,y),使c=xa+yb. 名师点睛 证明空间向量共面或四点共面的方法 (1)向量表示:只需判断三个向量中的一个向量是否可以表示成另两个向量的线性组合,即若p=xa+yb,则向量p,a,b共面. (2)若存在有序实数组(x,y,z)使得对于空间任一点O及不共线的三点A,B,C, 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) √ × 2.向量a,b均是非零向量,a,b不共线,在空间中任取一点O,作 =a, =b,若向量c与a,b共面,则表示c的有向线段所在的直线与平面OAB的关系是什么? 解 表示c的有向线段所在直线与平面OAB平行或该直线在平面OAB内. 知识点3　空间向量基本定理 如果空间中的三个向量a,b,c　　　　,那么对空间中的任意一个向量p,存在　　　　的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.空间中不共面的三个向量a,b,c组成空间向量的一组基底,记为{a,b,c}.此时,a,b,c都称为基向量;如果p=xa+yb+zc,则称xa+yb+zc为p在基底{a,b,c}下的分解式.  名师点睛 任意三个不共面向量都可构成空间向量的一组基底,每一个空间向量都可被分解成任意一组基底的线性组合,同一个向量在同一组基底下的分解式是唯一的. 不共面 唯一 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底.(　　) (2)任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底.(　　) (3)对于三个不共面向量a1,a2,a3,不存在实数组(x,y,z),使0=xa1+ya2+za3.(　　) × × × C 重难探究·能力素养全提升 探究点一　空间向量共线的判定 【例1】 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1D1,AB的中点,E在AA1上且AE=2EA1,F在CC1上且 变式探究本例中问题改为“用向量法证明四边形EMFN为平行四边形”. ∵点M,N,F,E不在一条直线上,∴四边形EMFN为平行四边形. 规律方法　1.判断两向量是否共线:判断两向量a,b(b≠0)是否共线,即判断是否存在实数λ,使a=λb.本例中紧紧围绕 之间的关系,正是体现了共线向量基本定理的应用要领. 2.求解参数:已知两非零向量共线,可求其中参数的值,即利用“若a∥b,b≠0,则a=λb(λ∈R)”.这一结论可逆向解决已知条件为向量平行的若干问题. 3.判断或证明空间中的三点(如P,A,B)是否共线的方法 变式训练1如图,已知M,N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,G为AM上一点,且GM∶GA=1∶3.求证:B,G,N三点共线. 证明 如图,取CD的中点E,连接AE,BE. 因为M,N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,所以M在BE上,N在AE上. 又因为BN与BG有公共点B, 所以B,G,N三点共线. 探究点二　空间向量共面问题 【例2】如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在BB1和DD1 证明:A,E,C1,F四点共面. 规律方法　证明空间三向量共面或四点共面的方法 设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合,即若p=xa+yb,则向量p,a,b共面.对于此方法的使用要注意涉及的向量的始点、终点问题. x+y+z=1成立,则P,A,B,C四点共面.可使用这一推论进行共面的证明. (2)点M是否在平面ABC内? ∵它们有共同的起点M,且A,B,C三点不共线, ∴M,A,B,C四点共面,即点M在平面ABC内. 探究点三　空间向量基本定理 角度1.基底的判断 ∴e1+2e2-e3=λ(-3e1+e2+2e3)+μ(e1+e2-e3)=(-3λ+μ)e1+(λ+μ)e2+(2λ-μ)e3. ∵e1,e2,e3不共面, 规律方法　判断给出的某三个向量能否组成空间向量的一组基底,关键要判断它们是否共面,如果从正面难以入手,那么常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断.此例中将能否作为基底问题转化为一个方程组是否有解的讨论. 变式训练3下列说法正确的是(　　) A.任何三个向量可构成空间向量的一组基底 B.空间向量的基底有且仅有一组 C.A,B,M,N是空间中的四个点,若 不能构成空间向量的一组基底,则点A,B,M,N共面 D.基底{a,b,c}中基向量与基底{e,f,g}中基向量对应相等 C 解析 A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的一组基底,所以A错. B项中空间向量的基底有无数组,所以B错.C项显然正确. D项中因为基底不唯一,所以D错. 故选C. 角度2.用基底表示向量 规律方法　1.空间中,任一向量都可以用一组基底表示,且只要基底确定,则表示形式是唯一的. 2.用基底表示空间向量时,一般要结合图形,运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则,以及数乘向量的运算法则,逐步向基向量过渡,直至全部用基向量表示. 3.在空间几何体中选择基底时,通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量组成基底,例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量组成基底. 变式训练4[人教A版教材例题]如图,M是四面体OABC的棱BC的中点,点 角度3.空间向量基本定理的应用 【例5】 如图所示,已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,M,N分别为PC,PD上的点,且PM∶MC=2∶1,N为PD中点,求满足 规律方法　用基向量表示指定向量的方法 选定空间中不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的一项基本功.要结合已知和所求,观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就近表示待求向量,再对照目标,将不符合目标要求的向量当作新的待求向量,如此继续下去,直到所有向量都符合目标要求为止. D 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 1.给出下列说法,其中错误的是(　　) A.空间任意三个向量都可以组成空间向量的一组基底 B.已知向量a∥b,则a,b与任何向量都不能构成空间向量的一组基底 C.若{a+b,b+c,c+a}是空间向量的一组基底,则{a,b,c}也是空间向量的一组基底 D.已知{a,b,c}是空间向量的一组基底,若m=a+c,则{a,b,m}也是空间向量的一组基底 A 1 2 3 4 5 解析 A选项,空间任意三个不共面的向量才可以组成一组基底,故A错; B选项,若a∥b,则a,b与任何向量都共面,故不能构成空间向量的一组基底,故B对; C选项,设d是空间任意一个向量,由题意存在唯一一组实数(x,y,z),使d=x(a+b)+y(b+c)+z(c+a)=(x+z)a+(x+y)b+(y+z)c,则{a,b,c}也是空间向量的一组基底,故C对; D选项,∵{a,b,c}是空间向量的一组基底,∴a,b与向量m=a+c一定不共面,∴{a,b,m}也是空间向量的一组基底,故D对.故选A. 1 2 3 4 5 2.下列条件中,使点M与点A,B,C一定共面的是(　　) C 1 2 3 4 5 论正确的有( 　　) A.P∈直线AB B.P∉直线AB C.O,A,B,P四点共面 D.P,A,B三点共线 ACD 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 证明(或判断)三点A,B,C共线时,只需证明存在实数λ,使=λ(或=λ)即可;也可用“对空间任意一点O,有=t+(1-t)”来证明三点共线. 解得x=k=-1. 有=x+y+z,且x+y+z=1成立,则P,A,B,C四点共面. (1)若=x+y,则P,M,A,B四点共面.(　　) (2)若四点P,M,A,B共面,则=x+y.(　　) 2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若=3i,=2j,=5k,则等于(　　) A.i+j+k B.i+j+k C.3i+2j+5k D.3i+2j-5k 解析 =3i+2j+5k. CF=FC1,判断是否共线. 解 由题意,得 =-, ∴共线. 证明 由例1知=-,∴. 设=a,=b,=c. 因为M为△BCD的重心, 所以)=) =)=)=(a+b+c). 因为GM∶GA=1∶3,所以, 所以=-a+(a+b+c)=-a+b+c. 因为N为△ACD的重心, 所以)=-a+b+c=, 所以. 上,且BE=BB1,DF=DD1. 证明 ∵在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, , ∴, ∴, ∴共面, ∴A,E,C1,F四点共面. 若存在有序实数组(x,y,z)使得对于空间任一点O,有=x+y+z,且 变式训练2已知A,B,C三点不共线,点M满足. (1)三个向量是否共面? 解 (1)∵=3, ∴=()+(),∴=-, ∴向量共面. (2)由(1)知向量共面. 【例3】 已知{e1,e2,e3}是空间向量的一组基底,且=e1+2e2-e3, =-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3,试判断{}能否作为空间向量的一组基底. 解 假设共面, 则存在实数λ,μ,使得=λ+μ, ∴此方程组无解, ∴不共面, ∴{}可以作为空间向量的一组基底. 【例4】如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,已知=a,=b,=c,点M,N分别是BC',B'C'的中点,试用基底{a,b,c}表示向量. 解 连接A'N(图略). )=)+(a+b+c),)=)=a+b+c. 变式探究若把本例中,“=a”改为“=a”,其他条件不变,则结果是什么? 解 因为M为BC'的中点,N为B'C'的中点, 所以)=a+b. )=)=)+b+a-c. N在线段OM上,点P在线段AN上,且MN=ON,AP=AN,用向量表示. 解 )=)=. =x+y+z的实数x,y,z的值. 解 如图,在PD上取一点F,使PF∶FD=2∶1,连接MF,则, 而), =-, ∴=-, ∴x=-,y=-,z=. 变式训练5已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为平行四边形,M,N分别为棱BC,PD上的点,,PN=ND,设=a,=b,=c,则向量可表示为 (　　) A.a+b+c B.-a+b+c C.a-b+c D.-a-b+c 解析 )=-,即=-a-b+c. 故选D. A.=2 B. C.=0 D.=0 解析 C选项中,=-,∴点M,A,B,C共面. 3.(多选题)若空间中任意四点O,A,B,P满足=m+n,其中m+n=1,则结 解析 因为m+n=1,所以m=1-n,所以=(1-n)+n,即=n(),即=n,所以共线. 又有公共起点A,所以P,A,B三点在同一直线上,即P∈直线AB.因为=m+n,所以O,A,B,P四点共面. 解析 如图所示,可知. 因为=x+2y+3z, 所以解得所以x+y+z=. 4.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若=x+2y+3z,则x+y+z=　　　　　.  解析 如图所示, =-)=-. 由空间向量基本定理得x=-,y=,z=,故x+y+z=. 5.在正四面体PABC中,M是棱PA上的点,且PM=2MA,N是棱BC的中点,若=x+y+z,则x+y+z的值为　　　　　.  $$