1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

第一章　空间向量与立体几何 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 人教B版 数学 选择性必修第一册 课程标准 1.理解空间向量基本定理,掌握空间向量正交分解的原理及坐标表示; 2.能用空间向量的坐标,进行向量的线性运算与数量积运算; 3.能用坐标的方法解决立体几何中的简单几何问题. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 空间中向量的坐标 (1)一般地,如果空间向量的基底{e1,e2,e3}中,e1,e2,e3都是单位向量,而且这三个向量两两垂直,就称这组基底为单位正交基底;在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解,而且,如果p=xe1+ye2+ze3,则称有序实数组(x,y,z)为向量p的坐标,记作p=(x,y,z),其中x,y,z都称为p的坐标分量 (2)空间向量的运算与坐标的关系 空间向量a,b,其坐标形式为a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2). 体会坐标运算从平面到空间的推广 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a+b a+b=　　　　 　　　　  减法 a-b a-b=　　　　　　　  数乘 λa λa=　　　　　　　　  数量积 a·b a·b=　　　　　　　　  (x1+x2,y1+y2,z1+z2) (x1-x2,y1-y2,z1-z2) (λx1,λy1,λz1)　 x1x2+y1y2+z1z2 特别地, ①如果μ,v是两个实数,那么 μa+vb=(μx1+vx2,μy1+vy2,μz1+vz2); (3)空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则有a∥b⇔ (其中x1,y1,z1均不为0); a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0. 名师点睛 1.若不明确x1y1z1≠0,则可以用以下结论进行求解,即 2.空间向量的坐标运算可类比平面向量的坐标运算进行记忆. 过关自诊 1.已知向量a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),则4a+2b等于(　　) A.(16,0,4) B.(8,-16,4) C.(8,16,4) D.(8,0,4) D 解析 4a+2b=4(3,-2,1)+2(-2,4,0)=(12,-8,4)+(-4,8,0)=(8,0,4). 2.已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b,则(　　) D 3.向量a=(2,-3, ),b=(1,0,0),则cos<a,b>=　　　　　.  4.已知向量a=(1,-2,-1),b=(3,m,-1),若a⊥b,则m=　　　　　. 2 解析 ∵a⊥b, ∴a·b=3-2m+1=0,∴m=2. 知识点2 空间直角坐标系 为了刻画空间中点的位置,按照如下方式建立空间直角坐标系:在空间中任意选定一点O作为坐标原点,选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy,然后过O作一条与xOy平面　　　　的数轴z轴.这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz.  在空间直角坐标系Oxyz中,x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的,它们都称为坐标轴;通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面,分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面.z轴的正方向一般按照如下方式确定:在z轴的正半轴看xOy平面,x轴的正半轴绕O点沿　　　时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合.  垂直 逆 空间中建立了空间直角坐标系之后,三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分,如图.每一部分都称为一个卦限. 命名体会传统文化,四象生八卦 名师点睛 1.空间中的点与三个实数组成的有序实数组之间,有了一一对应关系,空间一点M的位置完全由有序实数组(x,y,z)确定,因此将(x,y,z)称为点M的坐标,记作M(x,y,z).此时,x,y,z都称为点M的坐标分量,且x称为点M的横坐标(或x坐标),y称为点M的纵坐标(或y坐标),z称为点M的竖坐标(或z坐标). 2.八个卦限中的点的坐标符号也有一定的特点: Ⅰ:(+,+,+);Ⅱ:(-,+,+); Ⅲ:(-,-,+);Ⅳ:(+,-,+); Ⅴ:(+,+,-);Ⅵ:(-,+,-); Ⅶ:(-,-,-);Ⅷ:(+,-,-). 过关自诊 1.点P(1,2,1)关于xOz平面的对称点的坐标是(　　) A.(1,-2,1) B.(-1,-2,1) C.(1,2,-1) D.(-1,-2,-1) 2.点A(0,-2,3)在空间直角坐标系中的位置是(　　) A.在x轴上 B.在xOy平面内 C.在yOz平面内 D.在xOz平面内 A C 解析 ∵点A的横坐标为0,∴点A(0,-2,3)在yOz平面内.故选C. 知识点3 空间直角坐标系中两点之间的距离公式及中点坐标 设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间直角坐标系中的两点,则 过关自诊 1.已知点A(-3,1,5)与点B(4,3,1),则AB的中点坐标是(　　) B 2.[2023湖南祁东高二阶段练习]已知点A(3,-1,0),若向量 =(2,5,-3),则点B的坐标是(　　) A.(1,-6,3) B.(5,4,-3) C.(-1,6,-3) D.(2,5,-3) B 重难探究·能力素养全提升 探究点一　空间向量坐标的计算 【例1】 [北师大版教材例题]已知向量a=(-1,-3,2),b=(1,2,0),求: (1)2a;(2)(a+2b)·(-2a+b). 解 (1)2a=2(-1,-3,2)=(-2,-6,4). (2)因为a+2b=(-1,-3,2)+2(1,2,0)=(-1,-3,2)+(2,4,0)=(1,1,2), -2a+b=-2(-1,-3,2)+(1,2,0)=(2,6,-4)+(1,2,0)=(3,8,-4), 所以(a+2b)·(-2a+b)=(1,1,2)·(3,8,-4)=1×3+1×8+2×(-4)=3. 规律方法　空间向量坐标的计算技巧 (1)直接代入公式计算 首先将空间向量用坐标表示出来,然后准确运用空间向量坐标运算公式计算. (2)由条件求向量或点的坐标 首先把向量按坐标形式设出来,然后通过建立方程组,解方程组求出其坐标.变式中的求参问题便属于这一类型题目. 变式训练1若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),且满足条件(c-a)·(2b)=-2,则x=　　　　.  2 解析 据题意,有c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2),故(c-a)·2b=2(1-x)=-2,解得x=2. 探究点二　空间向量平行、垂直的坐标表示 (2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k. 所以ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4). 又因为(ka+b)⊥(ka-2b),所以(ka+b)·(ka-2b)=0,即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4) 变式探究若将本例改为“若ka-b与ka+2b互相垂直”,求k的值. 解 由题意知ka-b=(k+1,k,-2),ka+2b=(k-2,k,4). ∵(ka-b)⊥(ka+2b),∴(ka-b)·(ka+2b)=0, 规律方法　1.判断空间向量垂直或平行的步骤 2.求出参数值后还要再回归到原题检验解的可行性,解决平行或垂直时用的坐标,若含参数还要注意分类讨论思想的应用. 变式训练2[2023河南高二阶段练习]已知a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),c=(1,-x,2). (1)若a∥b,求x的值; (2)若(a+b)⊥c,求x的值. 解 (1)∵a∥b,∴b=λa, (2)a+b=(-2,1,3+x). ∵(a+b)⊥c, ∴(a+b)·c=0, ∴-2-x+2(3+x)=0, ∴x=-4. 探究点三　空间向量的夹角与长度的计算 【例3】 [2023安徽高二阶段练习]棱长为2的正方体中,E,F分别是DD1,DB的中点,G在棱CD上,且CG= CD,H是C1G的中点.建立适当的空间直角坐标系,解决下列问题: (1)求证:EF⊥B1C; (3)求FH的长. (1)证明 如图,以D为原点,DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Dxyz, 规律方法　通过分析几何体的结构特征,建立适当的坐标系,使尽可能多的点落在坐标轴上,以便写点的坐标时便捷.对于正方体载体常用的建系方法一般如例题中所述.建立坐标系后,写出相关点的坐标,然后再写出相应向量的坐标,把向量坐标化,然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题. 变式训练3如图,在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,N为A1A的中点. (1)求BN的长; 解 已知∠BCA=90°,如图,以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Cxyz. (1)依题意得B(0,1,0),N(1,0,1), 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 1.已知M(5,-1,2),A(4,2,-1),O为坐标原点,若 ,则点B的坐标为(　　) A.(-1,3,-3) B.(9,1,1) C.(1,-3,3) D.(-9,-1,-1) 6 B 因为O为坐标原点,则点B坐标为(9,1,1). 1 2 3 4 5 2.在空间直角坐标系中,点P(-2,1,4)关于点M(2,-1,-4)的对称点的坐标是 (　　) A.(0,0,0) B.(2,-1,-4) C.(6,-3,-12) D.(-2,3,12) 6 C 解析 设对称点为P3,则点M为线段PP3的中点,设P3(x,y,z),由中点坐标公式,可得x=2×2-(-2)=6,y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12, 所以P3(6,-3,-12). 1 2 3 4 5 3.(多选题)已知a=(2,-3,1),则下列向量中不与a平行的是( 　　) A.(1,1,1) B.(-4,6,-2) C.(2,-3,5) D.(-2,-3,5) 6 ACD 解析 若a∥b,b≠0,必有b=λa.当b=(-4,6,-2)时,b=-2(2,-3,1)=-2a,所以a∥b.经检验,其他向量均不与a平行. 1 2 3 4 5 4.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是　　　.  6 解析 依题意得(ka+b)·(2a-b)=0, 所以2k|a|2-ka·b+2a·b-|b|2=0, 而|a|2=2,|b|2=5,a·b=-1, 1 2 3 4 5 6 3 1 2 3 4 5 6.[2023辽宁沈阳高二阶段练习]设空间向量a=(-1,2,m),b=(2,n,-4),若a∥b,则|a-b|=　　　　　.  6 9 解析 因为a∥b,所以b=λa, 即(2,n,-4)=λ(-1,2,m), 所以a=(-1,2,2),b=(2,-4,-4), 则a-b=(-3,6,6), ②|a|=; ③cos<a,b>==(a≠0,b≠0). a∥b(a≠0)⇔b=λa⇔(x2,y2,z2)=λ(x1,y1,z1)⇔ A.x=6,y=15 B.x=3,y= C.x=3,y=15 D.x=6,y= 解析 ∵a∥b,∴,解得 解析 cos<a,b>==. =(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),所以=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1,y2-y1,z2-z1), AB=||=. 设线段AB的中点为M(x,y,z),则=(x,y,z),) =(x1+x2,y1+y2,z1+z2)=(),所以点M的坐标为(). A. B. C.(-12,3,5) D. 【例2】 已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=, b=. (1)若|c|=3,c∥,求c; 解 (1)因为=(-2,-1,2),且c∥,所以设c=λ=(-2λ,-λ,2λ), 得|c|==3|λ|=3, 解得λ=±1,即c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2). (2)因为a==(1,1,0),b==(-1,0,2), =2k2+k-10=0,解得k=2或k=-. 即(k+1)(k-2)+k2-8=0,解得k=-2或k=, 故所求k的值为-2或. ∴ ∴x=-6. (2)求cos<>; 则D(0,0,0),E(0,0,1),F(1,1,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),B1(2,2,2),G(0,,0). 因为=(1,1,-1),=(-2,0,-2), 所以=(1,1,-1)·(-2,0,-2)=1×(-2)+1×0+(-1)×(-2)=0, 所以, 故EF⊥B1C. (2)解 因为=(0,-,-2),所以||=. 因为||=,且=(1,1,-1)·(0,-,-2)=2-, 所以cos<>=. (3)解 因为H是C1G的中点,所以H(0,,1). 又因为F(1,1,0),所以=(1,-,-1), ||=, 即FH的长为. (2)求cos<>. ∴||=,∴线段BN的长为. (2)依题意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2), ∴=(-1,1,-2),=(0,-1,-2), ∴=(-1)×0+1×(-1)+(-2)×(-2)=3. 又||=,||=,∴cos<>=. 解析 =(9,1,1). 所以4k+k-2-5=0,解得k=. 解析 ∵=(0,3,3),=(-1,1,0),∴||=3,||=, =0×(-1)+3×1+3×0=3, ∴cos<>=. ∵<>∈[0,π],∴<>=. 5.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则=　　　　, <>=　　　　　.  所以|a-b|==9. 可得解得 $$