1.2.5 空间中的距离课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

第一章　空间向量与立体几何 1.2.5　空间中的距离 人教B版 数学 选择性必修第一册 课程标准 会用向量方法求两点之间、点到直线、点到平面、相互平行的直线与平面、平面与平面之间的距离及它们之间的相互转化,能用法向量求距离. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 空间中点与点、直线、平面的距离 借助图形理解公式的由来并记忆 (1)空间中两点之间的距离 (2)点到直线的距离 n0是直线l的单位方向向量,A∈l,则点P到直线l的距离 (3)点到平面的距离 一般地,若A是平面α外一点,B是平面α内一点,n是平面α的一个法向量,则点A到平面α的距离 过关自诊 1.若已知点A(1,1,1),B(-3,-3,-3),则线段AB的长为(　　) A 2.已知空间中三点A(1,0,0),B(2,1,-1),C(0,-1,2),则点C到直线AB的距离为 (　　) A 3.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在α内,则P(-2,1,4)到α的距离为(　　) D 知识点2 相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 两类距离都可以转化为点到面的距离 (1)如果直线l与平面α平行,n是平面α的一个法向量,A,B分别是l上和α内的点,则直线l与平面α之间的距离为d=　　　.  (2)如果平面α与平面β平行,n是平面β的一个法向量(当然也是平面α的一个法向量),A和B分别是平面α与平面β内的点,则平面α与平面β之间的距离为d=　　　　.  名师点睛 解决立体几何问题的三种方法 (1)综合方法:以逻辑推理作为工具解决问题. (2)向量方法:利用向量的概念及其运算解决问题. (3)坐标方法:建立直角坐标系,利用坐标表示几何对象或向量,通过运算解决几何问题. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)直线l∥平面α,则直线l到平面α的距离等于直线l上的点到平面α的距离.(　　) (2)若平面α∥平面β,则两平面α,β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离,也可转化为平面α内某点到平面β的距离.(　　) √ √ 2.已知平面α∥平面β,直线l⊂α,α与β之间的距离为d,下列说法中正确的有 (　　) ①β内有且仅有一条直线与l的距离为d; ②β 内所有的直线与l的距离都等于d; ③β内有无数条直线与l的距离为d; ④β内所有直线与α的距离都等于d. A.① B.② C.①④ D.③④ D 解析 在直线l上任取一点O,过O作OA⊥β于A,在平面β内,过点A且与l不平行的所有直线与l的距离都是d,否则不一定是d,所以①②错误.故选D. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　求两点间的距离 【例1】 已知在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,沿对角线AC折叠,使平面ABC与平面ADC垂直,求点B,D之间的距离. 解 (方法一)过点D和点B分别作DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F,则由已知条件可知AC=5, ∵平面ADC⊥平面ABC,DE⊥AC,平面ADC∩平面ABC=AC,∴DE⊥平面ABC. 又BF⊂平面ABC, (方法二)如图,过点D作DE⊥AC于点E,过点B作BF⊥AC于点F,过点E作FB的平行线EP,易知EP,EC,ED两两垂直.以E为坐标原点,EP,EC,ED所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系. 规律方法　用向量法求两点间距离的方法主要是坐标法和基向量法,设 变式训练1如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF的长是(　　) A.2 C 解析 (方法一)如图,以线段AC中点O为原点,分别以OB,OC,OF为x轴、y (方法二)设AC中点为G,连接GE,GF.在Rt△FGE中,|EF|2=|FG|2+|GE|2=4+1=5,∴EF= . 探究点二　求点到直线的距离 【例2】如图,在空间直角坐标系Axyz中,有长方体ABCD-A'B'C'D',AB=1, BC=2,AA'=3,求点B到直线A'C的距离. 解 因为AB=1,BC=2,AA'=3, 所以A'(0,0,3),C(1,2,0),B(1,0,0), 规律方法　求点到直线的距离在特定的几何结构中还可以直接根据定义用平面几何知识解决或用体积法解决,但这两类解法技巧性强.用向量法就避免了这一构造技巧,但要注意在选取方向向量时要用上几何体中的已知点,然后用向量计算公式解决. 变式训练2如图,六面体ABCD-EFGH是棱长为1的正方体,若P在正方体 C 解析 如图,以A为坐标原点,AB,AD,AE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 探究点三　求点到平面的距离 【例3】 如图,在四棱锥P-ABCD中,正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点. (1)求点D到平面PEF的距离; (2)求直线AC到平面PEF的距离. 解 (1)以点D为原点,分别以DA,DC,DP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 (2)连接AC,则AC∥EF,直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离, 规律方法　向量法求点到平面的距离的一般步骤 变式训练3[人教A版教材习题]如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为CD的中点,求点D1到平面AEC1的距离. 图1 图2 成果验收·课堂达标检测 A 级 必备知识基础练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1.[探究点一]如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1= , E,F分别是平面A1B1C1D1,平面BCC1B1的中心,则E,F两点间的距离为(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.[探究点三]已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则点P(-2,1,4)到α的距离为(　　) A.10 B.3 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.[探究点二·2023华中师范大学附属中学高二阶段练习]Rt△ABC的两条直角边BC=3,AC=4,PC⊥平面ABC,PC= ,则点P到斜边AB的距离是　　　　　.  3 解析 以点C为坐标原点,CA,CB,CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.[探究点三]如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,A1A=5,AB=12,则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.[探究点三]在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,CD的中点,则BD到平面EFD1B1的距离为　　　　　.  解析 以D为原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴建立如图空间直 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.[探究点三·2023浙江杭州高二期末]若两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量为n=(-1,0,1),则两平面间的距离是　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析 如图,以D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.[探究点二、三]在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2, ∠BAC=90°,M为BB1的中点,N为BC的中点. (1)求点M到直线AC1的距离; (2)求点N到平面MA1C1的距离. 解 (1)建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),A1(0,0,2),M(2,0,1),C1(0,2,2),直线AC1的一个单位方向向量为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 B 级 关键能力提升练 10.已知直线l过定点A(2,3,1),且方向向量为s=(0,1,1),则点P(4,3,2)到直线l的距离为(　　) A 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4,则点B1到平面AD1C的距离为(　　) A 解析 如图,以D为原点,DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.[2023安徽太和高二阶段练习]已知点M(-1,2,0),平面α过A(1,0,1), B(1,1,0),C(0,1,1)三点,则点M到平面α的距离为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.已知在边长为4的正三角形ABC中,E,F分别为BC和AC的中点.PA=2,且PA⊥平面ABC,设Q是CE的中点. (1)求证:AE∥平面PFQ; (2)求AE与平面PFQ间的距离. (1)证明 如图所示,以A为坐标原点,平面ABC内垂直于AC边的直线为x轴,AC所在直线为y轴,AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系. ∵AP=2,AB=BC=AC=4,E,F分别是BC,AC的中点, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又FQ⊂平面PFQ,AE⊄平面PFQ,∴AE∥平面PFQ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)解 由(1)知,AE∥平面PFQ, ∴点A到平面PFQ的距离就是AE与平面PFQ间的距离. 设平面PFQ的法向量为n=(x,y,z), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.[2023黑龙江哈尔滨高二阶段练习]在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段A1B1的中点,F为线段AB的中点. (1)求点B到直线AC1的距离; (2)求直线FC到平面AEC1的距离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解 (1)以D1为原点,D1A1,D1C1,D1D所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C 级 学科素养创新练 15.已知二面角α-l-β为60°,动点P,Q分别在平面α,β内,点P到β的距离为 C 解析 作PM⊥β,QN⊥α,垂足分别为M,N. 分别在平面α,β内作PE⊥l,QF⊥l,垂足分别为E,F, 如图所示, 连接ME,NF,则ME⊥l,∴∠PEM为二面角α-l-β的平面角. ∴∠PEM=60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间中任意两点,则d=||=. d=. d=. A.4 B.2 C.4 D.3 解析 |AB|==4. A. B. C. D. 解析 依题意得=(-1,-1,2),=(1,1,-1),则点C到直线AB的距离为d=. 故选A. A.10 B.3 C. D. 解析 =(-1,-2,4),d=. ∴DE=,BF=. ∵AE==CF,∴EF=5-2×. ∵, ∴||2=()2=+2+2+2. ∴DE⊥BF,即,故B,D间距离是. 由(方法一)知DE=FB=,EF=, ∴D,B,∴, ∴||=, 故B,D间距离是. A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则dAB=||=,或利用||=求解. B. C. D. 轴、z轴建立直角坐标系,则E,F(0,0,2), 则, ∴||=. 所以直线A'C的方向向量=(1,2,-3). 又=(0,2,0), 所以上的投影长为,所以点B到直线A'C的距离d=. 内部且满足,则P到AB的距离为(　　) A. B. C. D. 则=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1).因为, 所以=(),||=, ||=, 所以点P到AB的距离d=. 故选C. D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E(1,,0),F(,1,0),则=(1,,0),=(,1,0),=(0,0,1). 设DH⊥平面PEF,垂足为H,则=x+y+z=(x+y,x+y,z)(x+y+z=1),=(1,,-1),=(,1,-1),所以=x+y+x+y)-z=x+y-z=0.同理,=x+y-z=0. 又x+y+z=1,所以x=y=,z=, 所以(2,2,3),所以||=, 因此,点D到平面PEF的距离为. 平面PEF的一个法向量为n=(2,2,3),=(0,,0), 所以所求距离为. 解 (方法一)如图1,以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系,D为原点,则A(1,0,0),C1(0,1,1),E(0,,0),D1(0,0,1),则=(-1,0,1),=(-1,,0),=(-1,1,1). 设平面AEC1的法向量为n=(x,y,z), 则取x=1,则y=2,z=-1, ∴n=(1,2,-1),∴点D1到平面AEC1的距离为. (方法二)如图2,连接AD1,D1E,则·AD=×1×1×1=. 又在△AEC1中,AE=EC1=,AC1=, ∴. 设点D1到平面AEC1的距离为h, 则·h=·h=,∴h=, ∴点D1到平面AEC1的距离为. A.1 B. C. D. C. D. 解析 由已知得=(1,2,-4),故点P到平面α的距离d=. 则A(4,0,0),B(0,3,0),P(0,0,),所以=(-4,3,0),=(-4,0,), 所以点P到AB的距离d==3. A.5 B.8 C. D. 5.[探究点三](多选题)已知=(0,1,1),=(2,-1,2),BE⊥平面BCD,则(　　) A.点A到平面BCD的距离为 B.AB与平面BCD所成角的正弦值为 C.点A到平面BCD的距离为 D.AB与平面BCD所成角的正弦值为 解析 因为BE⊥平面BCD,所以是平面BCD的一个法向量, 所以点A到平面BCD的距离为,故A错误,C正确; AB与平面BCD所成角的正弦值为,故B正确,D错误. 故选BC. 角坐标系,则E,F,D1(0,0,1),D(0,0,0), 所以=(-,-,0),=(0,-,1). 设平面EFD1B1的一个法向量为n=(x,y,z), 所以 令x=-1,则y=1,z=,所以n=(-1,1,). 又,所以所求距离为. 解析 依题意,平行平面α,β间的距离即为点O到平面β的距离,而=(2,1,1),所以平行平面α,β间的距离d=. 8.[探究点三]在长方体A1B1C1D1-ABCD中,AA1=1,AD=DC=,Q是线段A1C1上一点,且C1Q=C1A1,则点Q到平面A1DC的距离为　　　　　.  则D(0,0,1),C(0,,1),A1(,0,0),C1(0,,0), ∴=(0,,0),=(,0,-1),=(,-,0). 由题可知,得Q(,0), ∴=(,-1). 设平面A1DC的法向量为n=(x,y,z), 则 取x=1,则z=,y=0,∴n=(1,0,), ∴点Q到平面A1DC的距离d=. s0=(0,),=(2,0,1), 故点M到直线AC1的距离d=. (2)设平面MA1C1的法向量为n=(x,y,z),=(0,2,0),=(2,0,-1),则n·=0,且n·=0,即(x,y,z)·(0,2,0)=0,且(x,y,z)·(2,0,-1)=0,即y=0,且2x-z=0,取x=1,得z=2,故n=(1,0,2)为平面MA1C1的一个法向量,因为N(1,1,0),所以=(-1,1,-1),故点N到平面MA1C1的距离d=. A. B. C. D. 解析 因为A(2,3,1),P(4,3,2),所以=(2,0,1), 则||=.由点到直线的距离公式得 d=. A. B. C. D. 标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4),B1(2,2,4),∴=(-2,2,0),=(-2,0,4), =(-2,-2,0).设平面AD1C的法向量为n=(x,y,z), 则取z=1,则x=y=2, 所以n=(2,2,1),所以点B1到平面AD1C的距离为 ,故选A. 解析 因为M(-1,2,0),A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1),所以=(-2,2,-1), =(0,1,-1),=(-1,1,0). 设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z), 则 令x=1,则n=(1,1,1), 所以点M到平面α的距离为d=. ∴A(0,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),F(0,2,0),E(,3,0), Q(,0),P(0,0,2), ∴=(,0),=(,3,0),∴=2. ∵无交点,∴AE∥FQ. 则n⊥,n⊥,即n·=0,n·=0. 又=(0,2,-2),∴n·=2y-2z=0,即y=z.又=(,0),∴n·x+y=0,即x=-y.令y=1,则x=-,z=1,∴n=(-,1,1). 又=(-,-,0),所求距离d=. 则A(1,0,1),B(1,1,1),C(0,1,1),C1(0,1,0),E(1,,0),F(1,,1), ∴=(0,1,0),=(-1,1,-1),=(0,,-1),=(-1,,0),=(-1,,0),=(0,,0). 取a==(0,1,0),u=(-1,1,-1),a2=1,a·u=,则点B到直线AC1的距离为. (2)∵=(-1,,0),∴FC∥EC1,而FC⊄平面AEC1,EC1⊂平面AEC1, ∴FC∥平面AEC1,∴点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离. 设平面AEC1的法向量为n=(x,y,z),则 ∴取z=1,则x=1,y=2, ∴n=(1,2,1). 又=(0,,0),∴点F到平面AEC1的距离为. ,点Q到α的距离为2,则P,Q两点之间距离的最小值为(　　) A. B.2 C.2 D.4 在Rt△PME中,||==2, 同理||=4.又, ∴||2=4+||2+16+2+2+2 =20+||2+2×2×4cos 120°=12+||2. ∴当||2取最小值0时,||2最小,此时||=2. $$