精品解析：2024年筑梦杯高三第二次（7月）线上联考数学试卷

机密★启用前 试卷类型：B 2024年筑梦杯第二次线上联考 高中数学 本试题共4页，满分150分，时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上； 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效； 3．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 一组数据12，12，13，14，15，16，17的中位数是（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 3. 下列函数中，是偶函数的是（ ） A. 对称轴为轴的二次函数 B. 三次函数 C. 正弦函数 D. 正切函数 4. 指数函数的定义域为（ ） A. R B. Q C. Z D. N 5. 某车间生产一批生活用品．已知生产生活用品的个数x（单位：个）与利润y（单位：元）满足关系式：，则当该车间生产了657个生活用品时，可获利润______元．（ ） A. 237689 B. 248900 C. 230809 D. 229950 6. 函数的对称轴为______，对称中心为______．（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 7. 盒中装有1，2，3，4四个标号的小球．小明在盒中随机抽取两次（不放回），则抽中的两次小球号码均为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数为偶函数，函数为奇函数，则函数为______函数．（ ） A. 偶函数 B. 奇函数 C. 复变函数 D. 非奇非偶函数 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列有关三角函数的公式中，正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 下列叙述中，正确的有（ ） A. 正弦定理的变式： B. 余弦定理： C. 球体体积公式为： D. 棱台的体积公式为： 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 轴截面是边长为2的正三角形的圆锥的侧面积_____ 13. 将120°化为弧度制为______． 14. 以数集表示从之间的所有偶数，数集表示的所有质数，则数集的真子集个数与数集的真子集个数之和为______．（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共7分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某厂为提高工作效率，将全厂分为甲、乙2个车间，每个车间分别设有A，B，C，D，E5组．下表为该厂某日生产订单情况统计表，请据表解答下列问题： A B C D E 甲车间 100 120 150 180 200 乙车间 50 120 200 150 180 （1）求甲、乙2个车间该日生产订单的平均数与方差，并根据方差判断哪一个车间工作效率比较稳定？ （2）设甲车间合格率为0.54，乙车间合格率为0.57，求甲、乙2个车间都不合格的概率； （3）你认为哪个车间工作效率更高？请从平均数、方差、合格率的角度分析． 16. 已知中，，，. （1）求b； （2）求的面积. 17. 如图，在三棱锥中，，底面ABC （1）证明：平面平面PAC （2）若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）判断函数的单调区间； （3）将函数的图像向右平移个单位长度得到函数，请画出的图像． 19. 若关于x的指数函数方程 （1）有实数解，求实数a的取值范围； （2）在区间上有且只有一个实数解，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 试卷类型：B 2024年筑梦杯第二次线上联考 高中数学 本试题共4页，满分150分，时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上； 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效； 3．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合的交集运算求解． 【详解】依题意得，， 故选：A 2. 一组数据12，12，13，14，15，16，17的中位数是（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】A 【解析】 【分析】由中位数的定义求解． 【详解】一组数据从小到大排列为：， 它的中位数为：14， 故选：A 3. 下列函数中，是偶函数的是（ ） A. 对称轴为轴的二次函数 B. 三次函数 C. 正弦函数 D. 正切函数 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的图象判断即可. 【详解】偶函数的图象关于轴对称，A正确. 三次函数的图象不关于轴对称，B错误. 正弦函数、正切函数是奇函数，C，D错误. 故选：A. 4. 指数函数的定义域为（ ） A. R B. Q C. Z D. N 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数的性质求解． 【详解】因为指数函数为：且，它的定义域为：， 故选：A 5. 某车间生产一批生活用品．已知生产生活用品的个数x（单位：个）与利润y（单位：元）满足关系式：，则当该车间生产了657个生活用品时，可获利润______元．（ ） A. 237689 B. 248900 C. 230809 D. 229950 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，代入函数关系式即可求利润. 【详解】依题意 故选：D. 6. 函数的对称轴为______，对称中心为______．（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数图象及性质即可得解. 【详解】如图，函数的对称轴为，对称中心为. 故选：B. 7. 盒中装有1，2，3，4四个标号的小球．小明在盒中随机抽取两次（不放回），则抽中的两次小球号码均为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由古典概率公式求解． 【详解】由于抽取两次是不放回的，且盒子里有2个奇数球，2个偶数球， 则抽中的两次小球号码均为偶数的概率为：， 故选：D 8. 已知函数为偶函数，函数为奇函数，则函数为______函数．（ ） A. 偶函数 B. 奇函数 C. 复变函数 D. 非奇非偶函数 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的奇偶性判断即可． 【详解】函数的定义域为：，它关于原点对称， 则，且， 得函数为非奇非偶函数， 故选:D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列有关三角函数的公式中，正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由二倍角公式及诱导公式求解． 【详解】由， 得，故A，B两项正确； ，故C项正确； ，故D项错误， 故选：ABC 10. 已知，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由不等式的性质进行判断． 【详解】因为，所以，故A项错误，C项正确； ，则B项正确； ，则D项错误， 故选：BC 11. 下列叙述中，正确的有（ ） A. 正弦定理的变式： B. 余弦定理： C. 球体体积公式为： D. 棱台的体积公式为： 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正余弦定理和球体和台体的体积公式即可判断. 【详解】，则正弦定理的变式：，故A正确； ，故B正确； 球体体积公式为：，故C正确； 棱台的体积公式为：，故D错误； 故选：ABC 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 轴截面是边长为2的正三角形的圆锥的侧面积_____ 【答案】 【解析】 【分析】由题意求圆锥的底面半径和母线长，代入侧面积公式，即可求解. 【详解】圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则易知圆锥底面半径，母线长， 结合圆锥的侧面积公式. 故答案为： 13. 将120°化为弧度制为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用弧度制和角度制的转化即可得出答案. 【详解】因为 所以 所以 故答案为： 14. 以数集表示从之间的所有偶数，数集表示的所有质数，则数集的真子集个数与数集的真子集个数之和为______．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得集合与集合的元素个数，即可得其真子集个数之和. 【详解】由题意可得，， 则数集的真子集个数与数集的真子集个数之和为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共7分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某厂为提高工作效率，将全厂分为甲、乙2个车间，每个车间分别设有A，B，C，D，E5组．下表为该厂某日生产订单情况统计表，请据表解答下列问题： A B C D E 甲车间 100 120 150 180 200 乙车间 50 120 200 150 180 （1）求甲、乙2个车间该日生产订单的平均数与方差，并根据方差判断哪一个车间工作效率比较稳定？ （2）设甲车间合格率为0.54，乙车间合格率为0.57，求甲、乙2个车间都不合格的概率； （3）你认为哪个车间工作效率更高？请从平均数、方差、合格率的角度分析． 【答案】（1）甲车间的平均数150，乙车间的平均数140，甲车间的方差1360，乙车间的方差2760，甲车间工作效率比较稳定 （2）0.1978 （3） 平均数上甲车间的该日生产订单更大，方差更小，乙车间合格率更大，但是差别并不大，所以甲车间工作效率更高. 【解析】 【分析】（1）计算甲车间该日生产订单的平均数，乙车间该日生产订单的平均数，甲车间该日生产订单的方差，乙车间该日生产订单的方差； （2）计算甲、乙2个车间都不合格的概率； （3）比较2个车间的平均数、方差和合格率. 【小问1详解】 甲车间该日生产订单的平均数为， 乙车间该日生产订单的平均数为， 甲车间该日生产订单的方差为， 乙车间该日生产订单的方差为， 因为甲车间该日生产订单的方差小于乙车间该日生产订单的方差， 所以甲车间工作效率比较稳定； 【小问2详解】 甲、乙2个车间都不合格的概率为； 【小问3详解】 略 16. 已知中，，，. （1）求b； （2）求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由已知利用正弦定理可得的值． （2）由已知利用两角和的正弦函数公式可求的值，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：（1）中，，，． 由正弦定理 得； （2），，． ， ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 17. 如图，在三棱锥中，，底面ABC （1）证明：平面平面PAC （2）若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值 【答案】（1） 因为， 所以，又底面ABC， 所以，又， 所以平面PAC， 因为平面PBC， 所以平面平面PAC； （2） 【解析】 【分析】（1）由，得到，再根据底面ABC，得到，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明； （2）作，连接OM，由平面平面PAC，得到平面PBC， 则即为AM与平面PBC所成的角求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示： 作，连接OM， 因为平面平面PAC，平面平面PAC=PC， 所以平面PBC， 则即为AM与平面PBC所成的角， 设，则， 所以，又， 所以， 所以AM与平面PBC所成角的正切值为. 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）判断函数的单调区间； （3）将函数的图像向右平移个单位长度得到函数，请画出的图像． 【答案】（1） （2）单调增区间为，，单调减区间为， （3） 函数的图象为上述图象向左右无限延伸． 【解析】 【分析】（1）由正弦函数的周期公式求解； （2）由正弦函数的单调性求解； （3）先通过平移得到，再由“五点法”作图即可． 【小问1详解】 函数的最小正周期为：； 【小问2详解】 ， 由，得， 则函数的单调递增区间为：， 由，得， 则函数的单调递减区间为：． 【小问3详解】 依题意，得， 列表： 0 0 0 1 0 -1 0 0 3 0 -3 0 作一个周期的图象如下： 根据周期性，函数的图象为上述图象向左右无限延伸． 19. 若关于x的指数函数方程 （1）有实数解，求实数a的取值范围； （2）在区间上有且只有一个实数解，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）参变分离后借助基本不等式计算即可得； （2）参变分离后借助对勾函数的性质计算即可得. 【小问1详解】 由题意可得有解， 由，故， 当且仅当时，等号成立， 即，则，即； 【小问2详解】 由题意可得在区间上有且只有一个实数解， 由时，则， 由对勾函数性质可得，当，即时，单调递减， 此时， 当，即时，单调递增， 此时， 则有或， 解得或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $