训练题 20-“枫叶新希望杯”八年级数学竞赛训练题

PUECPOWHEN 一、选择题 1.已知 7的小数部分为a,则a2-27a+7的值为( ). A.2 B.7 C.4 D.7 2.整式x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2,则a+b=( ). A.21 B.24 C.27 D.30 3.如图,在四边形ABCD 中,AC、BD 为两条对角线,如果AB=AC=AD=BD,那么∠BCD 的度数为( ). A.150° B.135° C.120° D.无法求出 (第3题图) (第4题图) 4.如图,直线y=x-1与直线y=-x+2把坐标平面分成了四个部分,点(1,2)在( ). A.第一部分 B.第二部分 C.第三部分 D.第四部分 5.已知a、b是正整数,且a+b=16,则 a2+25+ b2+49的最小值是( ). A.5+ 305 B.281+7 C.89+ 113 D.20 6.已知△ABC的三边长分别为AB=5cm,AC=3cm,BC=4cm,CP 是∠ACB 的内角平分 线,△ABC关于直线CP 的对称图形是△A1B1C1,若△ABC 和△A1B1C1 重叠部分的面 积是q p (p、q是互质的正整数),则p+q=( ). A.25 B.43 C.58 D.73 (第7题图) 7.如 图,在 四 边 形 ABDC 中,点 E 是 对 角 线 AD 的 中 点,设 △ABC、△BCE、△BCD 的面积分别为S1、S2、S3,则S1、S2、S3 之间的关系是( ). A.S3-S1=2S2 B.S3-S2=2S1 C.S1+S2=S3 D.S1+S2=23S3 八年级训练题（二十） ! %$#"! 8.两个加强排的士兵进行射击训练的得分情况如下表所示: 射击得分 50分 60分 70分 80分 90分 100分 人数 甲排 2人 5人 10人 13人 14人 6人 乙排 4人 4人 16人 2人 12人 12人 已知两个加强排士兵射击得分的方差为s2甲=172,s2乙=256.现有下列说法: (1)两排士兵得分的平均分相同,(2)甲排的射击水平比乙排的射击水平稳定,(3)甲排得 分的众数大于乙排得分的众数,(4)两排士兵得分的中位数都是80分,但得分大于等于80 分的士兵中,甲排人数比乙排人数多,所以从中位数来看,甲排成绩总体比乙排成绩好, (5)乙排得分大于等于90分的人数比甲排多,即乙排高分段成绩比甲排好.其中正确的说 法有( ). A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 二、填空题 9.计算20142013 2+201420152-2 201420142 = . 10.已知x+y-z=8,xy-yz+2y-z2=25,则(y-x)x+y-(y-z)x+z= . 11.如图,在平面上将△ABC 绕点A 旋转到△ADE 的位置后得到BD∥AE,若∠BAC= 70°,则∠CAE= . (第11题图) (第12题图) 12.如图,在梯形ABCD 中,AB∥CD,BE⊥AB,若AC=15cm,BD=20cm,BE=12cm,则梯 形ABCD 的面积为 cm2. 13.已知一次函数y=ax+b的图象经过点(2,1),它与坐标轴围成的图形是等腰直角三角 形,则b= . (第16题图) 14.桌面上按矩形阵式整齐摆放着若干颗棋子,增加16颗棋子后,摆成了一个正方形阵式, 再从该正方形阵式中拿走15颗棋子,仍然摆成了一个较小的正方形阵式.那么桌面上原 来摆放的棋子数量为 颗. 15.已知正整数a、b、c满足:a<b<c,且42a+ 42 b+ 42 c=41 ,则c = . 16.一辆快车从甲地驶往乙地,一辆慢车从乙地驶往甲地,两 车同时出发,到达目的地即停.设两车行驶的时间为x(h), 两车与甲地之间的距离为y(km),图中的直线表示y与x 之间的函数关系,则两车出发 小时后相遇. PUECPOWHEN 三、解答题 17.若实数a、b、c满足a+b+c=2 a+1+4 b+2+6 c+3-20,求 a+( )b c 的值. 18.如图,四边形ABCD 为正方形,△AEF 为等腰直角三角形,且点C、B、E 三点共线,延长 BA 交DF 于点G,若EF=DF,求证:AE= 2DG. !"#$%! 19.王老板要运送一批需要冷藏保鲜的食品,正在考虑是选择汽车货运公司还是铁路货运公 司来承担该运输业务.已知运输路程为100千米,汽车和火车的速度分别为50千米/时 和100千米/时.两货运公司的收费项目及其标准如下表所示: 运输工具 运输费单价 (元/吨·千米) 冷藏费单价 (元/吨·小时) 过路费 (元) 装卸及管理费 (元) 汽车 2 10 200 0 火车 1.8 10 0 1400 (注:“元/吨·千米”表示每吨货物每千米的运费,“元/吨·小时”表示每吨货物每小时的冷藏费) (1)设王老板要运输的食品有x(吨),汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分 别为y1(元)和y2(元),试求出y1、y2与x的函数关系式; (2)为节省费用,王老板应该选择哪个货运公司承担该运输业务? 20.如图,正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF 和GH 分割成4个小矩形,点P 是EF 和GH 的交点,若矩形PFCH 的面积恰是矩形AGPE 面积的2倍,求∠HAF 的大小. PUECPOWHEN 46 (3)如图,过点A 作AH⊥CE于点H, ∵∠ACE=60°,∴CH=12AC , ∴AH= 32AC , ∴S2=12 ·CE·AH=12× 3 2 ·CE·AC 又EH=CE-CH=CE-12AC , ∴ AE2 = AH2 + EH2 = 3 2 æ è ç ö ø ÷AC 2 + CE-12( )AC 2 =AC2+CE2-AC·CE, ∵S1=12× 3 2AC 2,S3=12× 3 2AE 2,S4=12 × 32CE 2, ∴S1+S4-S2=12× 3 2AC 2+12× 3 2CE 2- 1 2× 3 2 ·CE·AC=12× 3 2 ·(AC2+CE2- CE·AC)=12× 3 2AE 2=S3, ∴S1+S4=S2+S3. 一、选择题 1.C 提示:a= 7-2,a2-27a+7=(a- 7) 2 = 4. 2.A 提示:易知x3+ax2+bx+8的另外一个因 式 为 x + 4,则 x3 + ax2 + bx + 8 = x( )+1 x( )+2 x( )+4 =x3+7x2+14x+8,所 以a=7,b=14,a+b=21. 3.A 提示:设∠BAC=x,则∠ACB=90°-x2 , ∠CAD=60°-x,∠ACD=60°+x2 ,∴∠BCD =150°. 4.D 提示:1-1=0<2,-1+2=1<2,∴(1,2)在 l1 和l2 的上方,∴在第四部分. 5.D 提示:如图,所求的最小值等于DF的长. 6.B 提示:易证CP、AB 和A1B1 三条线交于一 点,设 为 点 D,设 S△ACD =3x,则 S△A1CD =3x, S△A1BD=x,∴3x+3x+x= 3×4 2 =6 ,解得x= 6 7 ,重叠部分的面积为6x=67×6= 36 7 ,36+7 =43. 7.A 提示:解法一:∵点E为AD 的中点, ∴S△ACE+S△ABE=S△CED+S△BED, 即S1+S2=S3-S2,∴S3-S1=2S2. 解法二:如图,分别过点A、D、E 作AF⊥BC,DG ⊥BC,EH⊥BC,分别交BC 于点F、G、H,连接 AH 并延长交DG 于点 M,则EH 为△ADM 的 中位线,∴EH= 12DM ,AH=MH,从而易证 △AFH≌△MGH,∴AF=MG,∴EH=12DM =12 (DG-AF),即DG-AF=2EH,∴S△BCD- S△ABC=2S△BCE,即S3-S1=2S2. 8.C 提示:(4)中位数相同,都是80分,所以从中 位数来看,不能说甲排成绩总体比乙排成绩好. 故(4)不正确. 二、填空题 9.2 提示:设n=20142014, 八年级训练题（二十） ! $#"! 47 原式= n ( )-1 2+ n( )+1 2-2 n2 = 2n2 n2 =2. 10.131 提示:消去x得y2-10y+z2+25=0, 即 y( )-5 2+z2=0,∴y=5,z=0,x=3, ∴(y-x)x+y-(y-z)x+z=28-53=131. 11.40° 提示:设∠CAE=x,则∠CAD=70°-x, ∠BAD=x,AB=AD, ∴∠ADB=90°-x2=70° ,解得x=40°. 12.150 提示:如图,过点B 作BF∥AC 交DC 的 延长线于点F,则 BF=AC=15cm,S△BCF = S△ABC=S△ABD,由勾股定理可得 DE=16cm, EF=9cm,∴S梯形ABCD=S△BDF=12×12× (16 +9)=150(cm2). 13.-1或3 提示:由图象经过点(2,1)知2a+b= 1,又它与坐标轴围成的图形是等腰直角三角 形,∴它与两坐标轴的交点到原点的距离相等, ∴a=1,b=-1或a=-1,b=3. 14.48 提示:设增加16颗棋子后的正方形阵式中 每行有a颗棋子,再拿走15颗棋子后的阵式每 行有b颗棋子,则a2-b2=(a+b)(a-b)=15 =15×1=5×3,且 a>4,得 a+b=15, a-b=1{ .或 a+b=5, a-b=3{ .解得 a=8, b=7{ .或 a=4, b=1{ .(舍).8×8-16 =48(颗). 15.7 提示:1a+ 1 b+ 1 c= 41 42 ,因为1 a> 1 b> 1 c , 所以3 a> 41 42 ,则a<12641 ,所以a≤3,易知a>1, 所以a=2或3,当a=2时,1b+ 1 c= 10 21 ,2 b> 10 21 ,所以b<4210 ,所以3≤b≤4,若b=3,则c= 7;若b=4,则c=8419 (舍去);当a=3时,1b+ 1 c =914 ,2 b> 9 14 ,所以b<289 ,即b≤3,这与b>a 矛盾,所以a=2,b=3,c=7. 16.3.6 提示:快车行驶速度为45km/h,慢车行驶 速度为30km/h,两车相遇时间为270÷(45+ 30)=3.6(h). 三、解答题 17.解:等式可变形为 a( )+1 -2 a+1+1+ b( )+2 -4 b+2+ 4+ c( )+3 -6 c+3+9=0, 即 a( )+1-1 2+ b( )+2-2 2 + c( )+3-3 2=0, ∴ a+1-1= b+2-2= c+3-3=0, ∴a=0,b=2,c=6, ∴ a+( )b c=26=64. 18.证明:如图,作FH⊥AG 交AG 的延长线于点 H,连接DH, ∵∠HAF+∠BAE=90°, ∠BEA+∠BAE=90°, ∴∠HAF=∠BEA, 在△HAF和△BEA 中, ∠AHF=∠ABE=90°, ∠HAF=∠BEA, AF=AE ì î í ïï ï , ∴△HAF≌△BEA,HF=AB=AD, ∵AD⊥AH,HF⊥AH, ∴AD∥HF,四边形AFHD 为平行四边形, ∴DG=12DF= 1 2EF= 1 2× 2AE , ∴AE= 2DG. 19.解:(1)y1=2×100x+10050×10x+200=220x +200, y2=1.8×100x+100100×10x+1400=190x+ 1400. (2)若y1=y2,即220x+200=190x+1400,则 PUECPOWHEN 48 x=40, 当0<x<40时,选择汽运较划算; 当x=40时,选择汽运和铁运费用一样; 当x>40时,选择铁运较划算. 答:略. 20.解:连接FH, 设DF=a,CF=b,BH=m,CH=n, 则 a+b=m+n, ① bn=2am.{ ② 由①得a-m=n-b,两边平方得 a2-2am+m2=n2-2bn+b2,将②代入得 a+( )m 2=b2+n2, 即 DF+( )BH 2=CF2+CH2=FH2, 则FH=DF+BH, 延长FD 至点Q,使DQ=BH,则QF=FH, AB=AD,∠ABH=∠ADQ=90°,BH=DQ, 所以Rt△ABH≌Rt△ADQ,AH=AQ, 又FH=QF,AF=AF, 所以△AFH≌△AFQ, 故∠FAH=∠FAQ=12∠BAD=45°. 一、选择题 1.D 提示:∠BED=12∠EDC=∠ADC=65°. 2.A 提示:2013-( )a 2+ 2015-( )a 2 = 2013-( )a - 2015-( )[ ]a 2+ 22013-( )a 2015-( )a ( )= -2 2+2×2014=4032. 3.B 提示:原方程可化为(1-a)x=10,当a≠1 时,x= 101-a. 原方程如果产生增根,则增根为x =±2.若x=2,则a=-4;若x=-2,则a=6. 即当a=-4或a=6时,原方程产生增根. 4.C 提示:设瓶子体积为1,则第一个瓶子中酒精 和水的体积分别为 m 1+m 、1 1+m ,第二个瓶子中酒 精和水的体积分别为 n 1+n 、1 1+n ,混合后,酒精与 水的体积之比为 m 1+m+ n 1+n 1 1+m+ 1 1+n =2mn+m+nm+n+2 . 5.B 提示: a-2<0, a+3≥0{ .解得-3≤a<2. 6.B 提示:∠2=∠1=40°,∠4=∠3=∠2+15° =40°+15°=55°,∠6=∠5=∠4+15°=55°+ 15°=70°. 7.D 提示:易证 EF= 12AP ,又∠B 是锐角,作 AG⊥BC于点G,所以P 点移动到G 点时,线段 AP的长度最小,所以AP 的长度先减少再增加, 那么EF的长度也是先减少再增加. 8.D 提示:a( )+3 b( )+1 =2016=25×32×7,又 a、b 为 整 数,所 以a+3、b+1的 因 子 搭 配 共 ( ) ( ) ( )1+5 × 1+2 × 1+1 ×2=72(组). 二、填空题 9. 2014-1 提示:原式= 2-1+ 3- 2+… + 2014- 2013= 2014-1. 10.2(5+ 2) 提示:作点A 关于x 轴对称的点 D(2,-3),连接BD 交x 轴于点E,当点C与点 E 重 合 时,△ABC 的 周 长 最 小,最 小 为 ( )4-2 2 ( )+ 1+3 2 ( )+ 4-2 2 ( )+ 3-1 2= 2(5+ 2). 11.±64 提示:ab+a+b+1=77, 即(a+1)(b+1)=7×11, ∴a+b=7+11-2=16,a-b=±4, ∴a2-b2=±64. 12.①②③④ 提示:一组对边平行,另一组对边相 等的四边形也可能是等腰梯形. 13.k≤ -3 或 k≥1 提 示:画 图 可 知,k≤ ( )4- -2 -2-0 =-3 或k≥ ( )2- -2 4-0 =1. 14.54 提示:如图,作 DE⊥AB 于点E,可证 DE =DC=4,则BE= 52-42=3, 设AC=x,则x2+92= x( )+3 2, 解得x=12,S△ABC=12×9×12=54. 八年级训练题（二十一）