训练题 19-“枫叶新希望杯”八年级数学竞赛训练题

PUECPOWHEN 一、选择题 黄冈.在武汉的八年级学生有a人,个人赛平均分为x分;赴黄冈的八年级学生有b人, 1.2013年8月,“创新希望”数学夏令营总决赛分两批同时进行,一批集中在武汉,一批奔赴 个 ( )分 人赛平均分为y分.在这次数学夏令营总决赛中,八年级的两批学生个人赛的总平均分为 . A.a+b2 B. x+y 2 C. ax+by a+b D. ax+by x+y 2.如图,将正方体纸盒剪开后,如果要得到如图所示的平面展开图,那么需要剪开( )条棱. A.7 B.8 C.9 D.10 (第2题图) (第3题图) 3.同时抛掷两枚大小不同的骰子,若小骰子朝上的面出现的点数为a,大骰子朝上的面出现 的点数为b,则由a、b所确定的点P(a,b)在双曲线y=4x 上的概率为( ). A.118 B. 1 12 C. 1 9 D. 1 6 4.已知一条直线经过互不相同的三点M(a,b)、N(b,a)、P(a-b,b-a),现有下列说法: (1)经过第一、二、三象限; (2)经过第一、三、四象限; (3)经过第一、三象限; (4)平行于x轴; (5)经过第二、三、四象限; (6)经过第一、二、四象限; (7)经过第二、四象限; (8)平行于y轴. 其中正确的有( ). A.7个 B.5个 C.3个 D.1个 5.已知在△ABC中,点D 为BC 边上的中点,且AD=BD=10cm,△ABC 的周长为48cm, 则△ABD 的面积为( ). A.48cm2 B.96cm2 C.144cm2 D.192cm2 6.已知 A=2014× 122-1+ 1 32-1+ 1 42-1+ …+ 120142 æ è ç ö ø ÷ -1 ,则与 A 最接近的正整数是 ( ). A.1507 B.1508 C.1509 D.1510 7.从一个等边三角形(如图1)开始,先把它的各边三等份,再以各边中间一份为边向外作等 边三角形,同时去掉中间一份所在位置上的线段,如图2;然后在图2的各边上,用同样的 八年级训练题（十九） ! %$#"! 方法向外作等边三角形,如图3.如此继续下去,图形的轮廓就能形成分支越来越多的曲 线,这就是著名的雪花曲线.如果把每一次作图称为一次操作,即第1次操作得到图1,第 2次操作得到图2……并且图1的边长为1,第n次操作后,得到的图形周长大于10,那么 n最小是( ). 图1 图2 图3 … A.5 B.6 C.7 D.8 8.已知xy=a,xz=b,yz=c,且abcxyz≠0,则x2+y2+z2=( ). A.ab+ac+bcabc B. a2+b2+c2 abc C. (ab)2+(ac)2+(bc)2 abc D. (ab+bc+ca)2 abc 二、填空题 9.某校男生人数与女生人数之比为3∶2,则作扇形统计图时,表示女生人数的扇形的圆心角是 度. 10.将一次函数y=-2x+1的图象先向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,则 变换后的函数图象所对应的函数表达式为 . (第11题图) 11.如图,在△ABC 中,BD=CD,∠B=∠CDE, ∠BAE=∠CAE,若AE=16,CE=12,DE= 10,则AB= . 12.已 知 a-b=2,a2+b2=10,则 a8-b8= . 13.已知2y2-x2= 3xy-9+ 9-3xy+2,则 2x-3( )y 2- y+3( )x 3x-( )y = . 14.已知点A(2,2),B(3,-1),△ABP 是以AB 为直角边的等腰直角三角形,则点P 的坐标 为 . 15.将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠,使点D 恰好落在BC 边上的点F 处,折痕为AE. 若AB=6cm,△ABF 的面积为24cm2,那么△CEF 的面积为 cm2. NEWHOPECUP 16.已知 3 -x=a,y2=b(y<0),且 (4a-b)2=8(b>4a), 3(a+b)3=18,则xy 的值为 . 三、解答题 17.如图,AB⊥AC,AB=AC=AD,AE 平分∠BAD 交CD 于点E,AF⊥AE 交CD 于点F, 求证:EF= 2AE. 18.如图,正方形ABCD 的边长为1,点E 为CD 边上的中点,动点P 在正方形边上沿A→B →C→E 运动(与点E 不重合),设点P 经过的路程为x,△APE 的面积为y. (1)求y与x 的函数关系式; (2)当x取何值时,y取最大值? !"#$%! 19.希望之星代表队要将一份资料复印给25名队员,复印店规定300页以内(含300)每页1 元,超过部分每页8角,这样复印25份资料的费用正好是复印1份资料的23倍,那么这 份资料共有多少页? 20.如图,已知△ABC为等边三角形,在AC 上取一点D(与点A、C 不重合),以CD 为边向 外作等边△CDE,连接 AE、BD,再分别以 CE、AE 为边向外作等边△CEF 和等边 △AEG,连接DG. (1)求证:△BCD≌△GDE; (2)求证:四边形ABDG 为平行四边形; (3)记△ABC、△ACE、△AEG、△CEF 的面积分别为S1、S2、S3、S4,则这四个面积之间 存在怎样的数量关系式? 说明理由. PUECPOWHEN 44 20.证明:(1)如图a,连接AF、CD, ∵CEAE= S△CEF S△AEF= S△CDE S△ADE , ∴CEAE= S△CEF+S△CDE S△AEF+S△ADE= S△CDF S△ADF , 又∵ADBD= S△ADF S△BDF ,BF CF= S△BDF S△CDF , ∴ADBD ·BF CF ·CE AE= S△ADF S△BDF ·S△BDF S△CDF ·S△CDF S△ADF=1. 图a (2)如图b,连接并延长AG交BC 于点H, 由GEF截△AHC可得CEEA ·AG GH ·HF FC=1 , 则CE EA= GH·FC AG·HF , 由DGF截△ABH 可得BDDA ·AG GH ·HF FB=1 , 则BD DA= GH·FB AG·HF , ∵点G 为△ABC 的重心,∴AH 为BC 边上的 中线,且AG=2GH, ∴ CEEA + BD DA = GH·FC AG·HF + GH·FB AG·HF = GH· FC+( )FB AG·HF = 2GH AG =1. 图b 一、选择题 1.C 2.A 提示:还有5条棱没剪开,所以共剪开了12 -5=7(条)棱. 3.B 提示:共6×6=36(种)可能,其中在双曲线 上的有(1,4)、(4,1)、(2,2),共3种,336= 1 12. 4.D 提 示:设 这 条 直 线 为 y=kx+m,则 b=ak+m, a=bk+m, b-a=(a-b)k+m ì î í ïï ï . 解得 k=-1, m=0{ . 即y=-x, ∴经过第二、四象限. 5.A 提 示:由 BD =AD =CD 知 ∠ABD = ∠BAD,∠CAD=∠ACD,∴∠BAC=∠BAD+ ∠CAD=90°,∴AB2+AC2=202,即(AB+AC)2 -2AB·AC=400,又AB+AC=28,∴AB·AC =192,∴S△ABD=12S△ABC=48 (cm2). 6.D 提 示: 122-1+ 1 32-1+ 1 42-1+ … + 1 20142-1= 1 1×3 + 1 2×4 + 1 3×5 + … + 1 2013×2015= 1 2 (1-13+ 1 2- 1 4+ 1 3- 1 5+ … + 12012 - 1 2014 + 1 2013 - 1 2015 )= 12 1+12- 1 2014- 1( )2015 ,A=1510- 1007 2015 ,所 以 与A 最接近的整数是1510. 7.B 提示:后一个图形的周长是前一个图形周长 的4 3 倍,图形的周长依次为3,4,163 ,64 9 ,256 27 , 1024 81 ,…其中256 27<10< 1024 81 ,所以n最小是6. 8.C 提示:由已知可得x2=xy ·xz yz = ab c ,同理y2 =acb ,z2=bca ,那 么 原 式 =abc + ac b + bc a = (ab)2+(ac)2+(bc)2 abc . 二、填空题 9.144 提示:23+2×360°=144°. 10.y=-2x+1 提示:y=-2(x+1)+1+2= 八年级训练题（十九） ! $#"! 45 -2x+1. 11.40 提示:如图,延长CE 交AB 于点F,DE 是 △BCF 的 中 位 线,则 BF=2DE=20,CF= 2CE,又由∠BAE=∠CAE,可得△ACF 为等 腰三角形,则AF= 122+162=20,AB=20+ 20=40. 12.±6560 提示:2ab=10-22=6,ab=3,(a+b)2 =10+6=16,a+b=±4,a4+b4=(a2+b2)2- 2a2b2=82,a8-b8=(a4+b4)(a2+b2)(a+b)(a -b)=±6560. 13.-26 提示:由3xy-9≥0,9-3xy≥0可得 3xy-9=0,∴xy=3,2y2 -x2 =2,∴ 2x-3( )y 2- y+3( )x 3x-( )y =4x2-12xy +9y2-9x2+y2=10y2-5x2-12xy=5×2- 12×3=-26. 14.(-1,1)或(5,3)或(6,0)或(0,-2) 提示:如 图,点P 坐标为(-1,1)或(5,3)或(6,0)或(0, -2). 15.83 提示:BF=2S△ABFAB =8 ,BC=AD=AF= 62 +82=10,CF=10-8=2,设EF=DE= x,则CE=6-x,所以 6-( )x 2+22=x2,解得x =103 ,S△CEF=12×2× 6- 10( )3 = 8 3. 16.32 提示:∵ (4a-b)2=8,∴|4a-b|=8,∵ b>4a,∴b-4a=8;又∵ 3(a+b)3=18,∴a+ b=18,解得a=2,b=16,可得x=-8,y=-4, xy=32. 三、解答题 17.证明:设∠BAE=∠DAE=x,则 ∠CAD=90°+2x, ∵AB=AC=AD, ∴∠ACD=∠D=45°-x, ∴∠AEF=∠DAE+∠D=45°, 又AF⊥AE, ∴△AEF为等腰直角三角形, ∴EF= 2AE. 18.解:(1)当点P 在AB 上运动,即0<x≤1时,y =12x ; 当点P 在BC 上运动,即1<x≤2时,y=1- 1 2 x ( )-1 -14 2- ( )x -14= 3 4- 1 4x ; 当点P 在CE 上运动,即2<x<2.5时,y= 1 2 2.5- ( )x =54- 1 2x. (2)由(1)可知,当x=1时,y取最大值12. 答:略. 19.解:设这份资料共有x页,单份复印费为a角, 25份复印费为b角,则b=23a. 当x>300时,25x>300, a=300×10+8(x-300)=8x+600, b=300×10+8(25x-300)=200x+600, 则200x+600=23(8x+600),解得x=825; 当x≤300,25x>300时, 200x+600=23×10x,解得x=20; 当25x≤300时,b=250x=25a>23a,无解. 综上,这份资料共有825页或20页. 答:略. 20.证明:(1)∵△CDE、△AEG均为等边三角形, ∴CE=DE,AE=EG,∠CED=∠AEG=60°, ∴∠AEC=∠GED=60°+∠AED, ∴△ACE≌△GDE, ∴∠ACE=∠GDE=60°,AC=GD, ∴∠ACB=∠GDE=60°,BC=GD, 又CD=DE,∴△BCD≌△GDE. (2)由(1)知BC=GD,BD=EG, 而BC=AB,AG=EG, ∴AB=GD,BD=AG, ∴四边形ABDG为平行四边形. PUECPOWHEN 46 (3)如图,过点A 作AH⊥CE于点H, ∵∠ACE=60°,∴CH=12AC , ∴AH= 32AC , ∴S2=12 ·CE·AH=12× 3 2 ·CE·AC 又EH=CE-CH=CE-12AC , ∴ AE2 = AH2 + EH2 = 3 2 æ è ç ö ø ÷AC 2 + CE-12( )AC 2 =AC2+CE2-AC·CE, ∵S1=12× 3 2AC 2,S3=12× 3 2AE 2,S4=12 × 32CE 2, ∴S1+S4-S2=12× 3 2AC 2+12× 3 2CE 2- 1 2× 3 2 ·CE·AC=12× 3 2 ·(AC2+CE2- CE·AC)=12× 3 2AE 2=S3, ∴S1+S4=S2+S3. 一、选择题 1.C 提示:a= 7-2,a2-27a+7=(a- 7) 2 = 4. 2.A 提示:易知x3+ax2+bx+8的另外一个因 式 为 x + 4,则 x3 + ax2 + bx + 8 = x( )+1 x( )+2 x( )+4 =x3+7x2+14x+8,所 以a=7,b=14,a+b=21. 3.A 提示:设∠BAC=x,则∠ACB=90°-x2 , ∠CAD=60°-x,∠ACD=60°+x2 ,∴∠BCD =150°. 4.D 提示:1-1=0<2,-1+2=1<2,∴(1,2)在 l1 和l2 的上方,∴在第四部分. 5.D 提示:如图,所求的最小值等于DF的长. 6.B 提示:易证CP、AB 和A1B1 三条线交于一 点,设 为 点 D,设 S△ACD =3x,则 S△A1CD =3x, S△A1BD=x,∴3x+3x+x= 3×4 2 =6 ,解得x= 6 7 ,重叠部分的面积为6x=67×6= 36 7 ,36+7 =43. 7.A 提示:解法一:∵点E为AD 的中点, ∴S△ACE+S△ABE=S△CED+S△BED, 即S1+S2=S3-S2,∴S3-S1=2S2. 解法二:如图,分别过点A、D、E 作AF⊥BC,DG ⊥BC,EH⊥BC,分别交BC 于点F、G、H,连接 AH 并延长交DG 于点 M,则EH 为△ADM 的 中位线,∴EH= 12DM ,AH=MH,从而易证 △AFH≌△MGH,∴AF=MG,∴EH=12DM =12 (DG-AF),即DG-AF=2EH,∴S△BCD- S△ABC=2S△BCE,即S3-S1=2S2. 8.C 提示:(4)中位数相同,都是80分,所以从中 位数来看,不能说甲排成绩总体比乙排成绩好. 故(4)不正确. 二、填空题 9.2 提示:设n=20142014, 八年级训练题（二十）