训练题 18-“枫叶新希望杯”八年级数学竞赛训练题

PUECPOWHEN 一、选择题 1.某商品按原价出售,可获利50%;若打八折出售,可获利( ). A.12% B.15% C.20% D.40% 2.有一道数学题是要求化简 2 2012+ 2014 ,甲、乙两名同学的解法分别如下: 甲: 2 2012+ 2014 = 2 (2014- 2012) (2012+ 2014)(2014- 2012) = 2014- 2012 乙: 2 2012+ 2014 = (2012+ 2014)(2014- 2012) 2012+ 2014 = 2014- 2012 下列说法正确的是( ). A.甲、乙的解法都正确 B.甲的解法正确,乙的解法不正确 C.乙的解法正确,甲的解法不正确 D.甲、乙的解法都不正确 3.一个正方体的六个面上分别写着1~6这六个数字,而且相对的面上的两个数之和为7,下 面是正方体不同的平面展开图: 其中正确的有( ). A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4.设a、b、c是三角形的三边长,且a2+b2+c2=ab+bc+ac,关于此三角形的形状有以下判 断:①是等腰三角形,②是等边三角形,③是锐角三角形,④是直角三角形,⑤是钝角三角 形,其中判断不正确的是( ). A.④⑤ B.②③④ C.②③⑤ D.②④⑤ 5.将直线y=32x 的图象平移得到直线y=3x2+1 的图象,下列平移方法正确的是( ). A.先向左平移2个单位,再向上平移2个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移2个单位 C.先向右平移2个单位,再向上平移2个单位 D.先向右平移2个单位,再向下平移2个单位 八年级训练题（十八） ! %$#"! 6.如图,△ABC的三条高相交于点G,CH 为角平分线,已知∠ABC=45°,∠ACD=60°,则 图中的等腰三角形共有( ). A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 (第6题图) (第7题图) 7.在平面直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点为整点,在如图所示的正方形内(包含边 界)整点的个数是( ). A.23个 B.24个 C.25个 D.26个 8.已知直线y=12x+b 经过横坐标分别为-15、-5的两点A、B,当b从10减小到-5时, 线段AB 所扫过的区域的面积为( ). A.100 B.150 C.200 D.250 二、填空题 9.分解因式(6a-1)(2a-1)(3a-1)(a-1)+a2= . 10.如图,以第1个正方形ABCD 的对角线BD 为边作第2个正方形BDFE,以第2个正方 形BDFE 的对角线DE 为边作第3个正方形DEGH……如果第1个正方形的边长为1, 则第14个正方形的边长为 . (第10题图) (第11题图) 11.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,∠A=65°,BD⊥AC 于点D,AE=CE,则∠DBE= 度. 12.将一个矩形切去一个角后得到一个边长分别为10cm、11cm、13cm、16cm和22cm的五边 形(五条边不一定按照这样的顺序),则这个五边形的面积为 cm2. 13.在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,点A 的坐标为(-2,2),在坐标轴上确定一点 P,使△AOP 是等腰三角形,则符合条件的点P 共有 个. 14.已知 [ ]x 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数,则 [ ]1×2 + [ ]2×3 + [ ]3×4 + … + [ ]2014×2015 = . PUECPOWHEN 15.对于一元多项式f( )x ,g( )x ,q( )x ,如果f( )x =g( )xq( )x 成立,那么称f( )x 能被g ( )x 整除.若多项式x3+2x2-3x+m 能被x+1整除,则常数m= . (第16题图) 16.如图,在同一平面内,将两个全等的等腰直角△ABC 和△BDE 摆 放在一起,点B 为公共顶点,∠ABC=∠BDE=90°,且斜边都是 8,若△ABC 固定不动,△BDE 绕点B 旋转,BD、BE 分别与边 AC 交于点F、G(点F 不与点A 重合,点G 不与点C 重合),设AG =x,CF=y,则y与x 的函数关系式为 . 三、解答题 17.已知在关于x的函数y=x2+ax+b中,a+b=17,且二次三项式x2+ax+b能被x+5 整除.求该函数的表达式. 18.在边长为1的正方形内任意放入9个点,求证:至少存在三个点,其围成的三角形面积不 超过1 8. !"#$%! 19.如图,四边形ABCD 为正方形,AE∥BD,且BE=BD,EB 的延长线交AD 的延长线于 点F.求证:DE=DF. 20.如图1,在△ABC中,截线DE 交AB 于点D,交AC于点E,交BC的延长线于点F. (1)求证:ADBD ·BF CF ·CE AE=1 ; (2)若截线DE 经过△ABC的重心点G,如图2,利用(1)中的结论,求证:BDAD+ CE AE=1. 图1 图2 ! $#"! 43 一、选择题 1.C 提示:设该商品原价为x元,成本为y元,则 x=1.5y,0.8×1.5y-yy ×100%=20%. 2.A 3.C 提示:只有第一个不正确. 4.A 提示:由a2+b2+c2=ab+bc+ca有2(a2+ b2+c2)-2(ab+bc+ca)=0,即(a-b)2+ (b-c)2+(a-c)2=0,∴a=b=c. 5.B 提示:y=32 (x+2)-2=32x+1. 6.D 提 示:有△ABD,△BCF,△CGD,△AJC, △BIC,△GIJ,△ACH,△AFG,共8个. 7.C 提示:△OCD 内(不包含边界CD)共有6个 整点,正方形内(含边界)共有7×7-6×4=25 (个)整点. 8.B 提示:如图,线段AB所扫过的区域为图中的 ▱ABCD 部分,其面积为[10-(-5)]×[-5- (-15)]=150. 二、填空题 9.(6a2-6a+1)2 提示:原式=(6a-1)(a-1) (2a-1)(3a-1)+a2=(6a2+1-7a)(6a2+1- 5a)+a2=(6a2+1)2-12a(6a2+1)+36a2= (6a2-6a+1)2. 10.642 提示:( )2 14-1= ( )2 12× 2=26× 2 =642. 11.40 提示:∠AEB=2∠C=2×(90°-65°)= 50°,所以∠DBE=90°-50°=40°. 12.322 提示:矩形的周长>10+11+13+16+22 =72(cm),所以长+宽>72÷2=36(cm),只能 是长22cm,宽16cm,易知切去的直角三角形直 角边分别为5cm和12cm,五边形的面积为16 ×22-12×5÷2=322(cm2). 13.8 提示:如图所示: 14.2029105 提 示:n= n2 < nn( )+1 < n( )+1 2=n+1,所以 nn( )[ ]+1 =n,所 以原式=1+2+3+…+2014=2014×20152 = 2029105. 15.-4 提示:x=-1时,x+1=0,则 ( )-1 3+2 ( )× -1 2 ( )-3× -1 +m=0,则m=-4. 16.y=32x 4<x< ( )8 提示:将△ABF 绕点B 顺 时针旋转90°至△CBH,连接GH,可证△BFG ≌△BHG,∴FG=HG;又可证得∠GCH=90°, ∴CG2+CH2=GH2,即 8-( )x 2+ 8-( )y 2= x+y( )-8 2,整理得y=32x. 三、解答题 17.解:设x2+ax+b=(x+5)(x+n),则 当x=1时,有6(n+1)=1+a+b=18, 解得n=2, ∴y=(x+5)(x+2)=x2+7x+10, 即所求的函数表达式为y=x2+7x+10. 答:略. 18.证明:将正方形均分为4个面积为14 的小正方 形,由抽屉原理可知,有一个小正方形至少有3 个点,这三个点组成的三角形面积不超过1 4× 1 2= 1 8. 19.证明:连接AC交BD 于点O,作BG⊥AE 于点 G,可得四边形AOBG是正方形, 在Rt△BEG中,BE=BD=2BO=2BG, ∴∠BEG=30°, ∵AC∥BG,∴∠DBF=30°, ∠BED=∠BDE=30°÷2=15°, 又∠F=∠ADB-∠DBF=45°-30°=15°, ∴∠BED=∠F,∴DE=DF. 八年级训练题（十八） PUECPOWHEN 44 20.证明:(1)如图a,连接AF、CD, ∵CEAE= S△CEF S△AEF= S△CDE S△ADE , ∴CEAE= S△CEF+S△CDE S△AEF+S△ADE= S△CDF S△ADF , 又∵ADBD= S△ADF S△BDF ,BF CF= S△BDF S△CDF , ∴ADBD ·BF CF ·CE AE= S△ADF S△BDF ·S△BDF S△CDF ·S△CDF S△ADF=1. 图a (2)如图b,连接并延长AG交BC 于点H, 由GEF截△AHC可得CEEA ·AG GH ·HF FC=1 , 则CE EA= GH·FC AG·HF , 由DGF截△ABH 可得BDDA ·AG GH ·HF FB=1 , 则BD DA= GH·FB AG·HF , ∵点G 为△ABC 的重心,∴AH 为BC 边上的 中线,且AG=2GH, ∴ CEEA + BD DA = GH·FC AG·HF + GH·FB AG·HF = GH· FC+( )FB AG·HF = 2GH AG =1. 图b 一、选择题 1.C 2.A 提示:还有5条棱没剪开,所以共剪开了12 -5=7(条)棱. 3.B 提示:共6×6=36(种)可能,其中在双曲线 上的有(1,4)、(4,1)、(2,2),共3种,336= 1 12. 4.D 提 示:设 这 条 直 线 为 y=kx+m,则 b=ak+m, a=bk+m, b-a=(a-b)k+m ì î í ïï ï . 解得 k=-1, m=0{ . 即y=-x, ∴经过第二、四象限. 5.A 提 示:由 BD =AD =CD 知 ∠ABD = ∠BAD,∠CAD=∠ACD,∴∠BAC=∠BAD+ ∠CAD=90°,∴AB2+AC2=202,即(AB+AC)2 -2AB·AC=400,又AB+AC=28,∴AB·AC =192,∴S△ABD=12S△ABC=48 (cm2). 6.D 提 示: 122-1+ 1 32-1+ 1 42-1+ … + 1 20142-1= 1 1×3 + 1 2×4 + 1 3×5 + … + 1 2013×2015= 1 2 (1-13+ 1 2- 1 4+ 1 3- 1 5+ … + 12012 - 1 2014 + 1 2013 - 1 2015 )= 12 1+12- 1 2014- 1( )2015 ,A=1510- 1007 2015 ,所 以 与A 最接近的整数是1510. 7.B 提示:后一个图形的周长是前一个图形周长 的4 3 倍,图形的周长依次为3,4,163 ,64 9 ,256 27 , 1024 81 ,…其中256 27<10< 1024 81 ,所以n最小是6. 8.C 提示:由已知可得x2=xy ·xz yz = ab c ,同理y2 =acb ,z2=bca ,那 么 原 式 =abc + ac b + bc a = (ab)2+(ac)2+(bc)2 abc . 二、填空题 9.144 提示:23+2×360°=144°. 10.y=-2x+1 提示:y=-2(x+1)+1+2= 八年级训练题（十九）