训练题 17-“枫叶新希望杯”八年级数学竞赛训练题

PUECPOWHEN 一、选择题 1.下列说法: ①有两边对应相等的两个等腰三角形全等; ②周长相等的两个等边三角形全等; ③有一条边相等和一个锐角相等的两个直角三角形全等; ④有两边和一角对应相等的两个三角形全等. 其中不正确的有( ). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.实数x、y满足xy=1,若A= 11+x+ 1 1+y ,B= x1+x+ y 1+y ,则A、B 的关系为( ). A.A=B B.A>B C.A<B D.无法确定 (第3题图) 3.如图,八个全等的直角三角形拼接成一个花环状图案,若外面的正八 边形的边长为1,则中间的正八边形的边长为( ). A.12 B. 2 2 C.2-1 D.2- 3 4.某商品的标价比进价高x%,在做促销活动时,如果优惠的折扣超过 y%,那么就会亏本,y用x 来表示的函数关系式为( ). A.y= 100x100-x B.y= 100x 100+x C.y= x100-x D.y= x 100+x 5.已知△ABC 的两条高分别是10cm和30cm,若第三边上的高也是整数,那么这条高最短 是( ). A.15cm B.14cm C.8cm D.7cm 6.已知x、y、z是实数,且满足a=x2-2y+π2 ,b=y2-2z+π3 ,c=z2-2x+π6 ,则下列说法 正确的是( ). A.a、b、c三个数中,至少有一个数是正数 B.a、b、c三个数中,至少有一个数是0 C.a、b、c三个数中,至少有一个数是负数 D.a、b、c三个数必为两正一负或两负一正 八年级训练题（十七） ! %$#"! (第7题图) 7.如图,正方形ABCD 的面积为20cm2,点F 在AD 上,BE⊥ BF,交 DC 的 延 长 线 于 点E,△BEF 的 面 积 为12cm2,则 △DEF 的面积为( ). A.43cm2 B.52cm2 C.2 15cm2 D.8cm2 8.满足1+3n≤2015,且使得1+5n是完全平方数的正整数n 有( )个。 A.11 B.12 C.22 D.24 二、填空题 9.分解因式x3+9x2+23x+15= . 10.张老师到某商场购物,某种食品的标价是20元/千克,有两种优惠方式:(1)每满5千克 送1千克,不足5千克不优惠;(2)买4千克或4千克以上打8.5折.若要买15千克该食 品,且只能选择其中一种优惠方式,最少需要花 元. (第11题图) 11.如图,将△ABC 分别沿AB、AC 对折得到△ABD、 △AEC,CE 分别交AD、BD 于点F、G,若∠ACB∶ ∠ABC∶∠BAC=1∶2∶15,则∠AFE 的度数为 度. 12.不论k为何值,解析式(2k+1)x-(k+3)y+k+4= 0表示的函数的图象都经过一个定点,这个定点是 . 13.已知1x+ 1 y= 8 x+y ,且0<x<y,则y 2 x2- x2 y2 = . 14.已知函数的表达式为y=x3-x,某班的同学们把整数x的值代入后算得的函数值出现 了以下一些结果:①941091,②849802,③781383,④658394,⑤532235,⑥487526,⑦ 345367,⑧242648,⑨135439.其中不正确的有 .(填序号) 15.已知正整数x、y满足516< x y< 8 25 ,则x+y的最小值为 . 16.某同学沿着操场跑道跑步,他从点A 出发,经过点B,跑到点C 就停止下来,如图1所示 (实线部分表示跑道,四边形ABCD 为长方形).在这段时间里,体育老师站在操场的某 个点没动.记这名同学跑步的时间为t(s),他与体育老师的距离为S(m),表示S与t的 函数关系的图象大致如图2所示.那么体育老师所站的位置最有可能是图1中所给的点 . 图1 图2 PUECPOWHEN 三、解答题 17.计算(π+2014)0- 12+ - 3 + 8+(-1)3-2× 2 2+ (2+1) 2(3-22). 18.如图,在等腰△ABC 中,已知点A 为顶点,BD 为腰AC 上的高,求∠CBD∠BAC 的值.如果顶 角∠BAC为钝角,即BD 在△ABC外面时,∠CBD∠BAC 的值又是多少? 画出图形,并求解. !"#$%! 19.如表1,16个英文字母排成4行4列,每次操作可以使某一行或某一列4个字母同时改 变,改变的规则如下: 按照英文字母表顺序,每个英文字母变成下一个字母(即A 变成B,B 变成C……Z 变成 A).请问:能否进行有限次操作,使得表1变成表2? 证明你的结论. 表1 表2 20.在7天的时间里,某加工厂临时安排了生产某种商品的工作,从第二天起,每天都比前一 天增加5个工人,但从第二天起每人每天生产该商品的数量都比前一天减少了5件,假 设在同一天工作的人每人每天生产该商品的数量都相同,且这7天共生产该商品9947 件,则生产数量最多的那一天共生产该种商品多少件? 生产数量最少的那一天,有多少 个工人在进行生产? ! $#"! 41 ∴∠CBD=x,∴5x=180°,解得x=36°, 即顶角∠A=36°. 图3 图4 ④AB=AC,AD=BD,BC=CD,如图4. 此时∠A=∠ABD=x, 则∠BDC=∠CBD=2x, ∴∠C=∠ABC=3x, ∴7x=180°,解得x=180°7 ,即顶角∠A=180°7 . 答:略. 一、选择题 1.C 提示:只有②正确. 2.A 提示:A= 11+x+ 1 1+y= y y+xy+ x x+xy= y 1+y+ x 1+x=B. 3.C 提示:正八边形的一个内角为135°,所以直 角三角形为等腰直角三角形,故所求为 2-1. 4.B 提示:设该商品的进价为a元,优惠的折扣为 t%,则a(1+x%)(1-t%)≥a,解得t≤ x1+x% = 100x100+x ,即y= 100x100+x. 5.C 提示:设长为30cm的高所在的边长为acm, 则长为10cm的高所在的边长为3acm,三角形第 三条边边长小于4acm,所以高大于30a÷4a= 7.5(cm),则最短是8cm. 6.A 提示:a+b+c=x2-2y+y2-2z+z2-2x+ π= x( )-1 2 + y( )-1 2 + z( )-1 2 +π-3, x( )-1 2≥0,y( )-1 2≥0,z( )-1 2≥0,π-3> 0,∴a+b+c>0,∴a、b、c中至少有一个数是正 数. 7.D 提 示:易 证 △ABF≌ △CBE,∴S△DEF = S正方形-S△BEF=20-12=8(cm2). 8.C 提示:由条件1+3n≤2015得n≤67113 ,n 是正整数.设1+5n=m2(m 是正整数),则 n=m 2-1 5 ,这是正整数.故可设m+1=5k,或m -1=5k(k是正整数) ①当 m+1=5k 时,m 2-1 5 =5k 2-2k≤5k2≤ 67113 ,由5k2≤67113 ,得,k≤11. 当k=12时,5k2-2k=696>67113. 所以,此时满足题意的正整数n有11个; ②当m-1=5k时,n=m 2-1 5 =5k 2+2k, 又5k2-2k<5k2+2k,且当k=11时,5k2+2k= 627<67113 , 所以,此时满足题意的正整数n也有11个. 因此,满足1+3n≤2015且使1+5n是完全平方 数的正整数n共有22个. 二、填空题 9.(x+1)(x+3)(x+5) 提示:x3+9x2+23x+ 15=x3+3x2+6x2+18x+5x+15=x2(x+3) +6x(x+3)+5(x+3)=(x+3)(x2+6x+5)= (x+1)(x+3)(x+5). 10.255 提示:20×13=260(元),20×15×0.85= 255(元),所以最少需255元. 11.70 提示:由∠ACB∶∠ABC∶∠BAC=1∶2∶15 得∠ACB=10°,∠ABC=20°,∠BAC=150°, ∠DGF=2(∠ACB+ ∠ABC)=60°,∠D= ∠ACB=10°,∴∠AFE=∠DGF+∠D=70°. 12.15 ,( )75 提示:将函数变形为(2x-y+1)k+ x - 3y + 4 = 0,则 2x-y+1=0, x-3y+4=0{ .解 得 x=15 , y=75 ì î í ï ï ïï . 即函数恒过定点 1 5 ,( )75 . 13.24 2 提 示: 8x+y= 1 x + 1 y = x+y xy ,所 以 x+( )y 2=8xy,x2+y2=6xy,x-( )y 2=4xy, y x + x y = x2+y2 xy = 6xy xy =6 ,y x - x y = y2-x2 xy = y+( )x y-( )x xy = y+( )x 2 y-( )x 2 xy = 八年级训练题（十七） PUECPOWHEN 42 32x2y2 xy =42 ,∴y 2 x2- x2 y2 =(yx + x y )(y x - x y )=242. 14.①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ 提示:y=x3-x=(x- 1)x(x+1)为三个连续整数的乘积,必须为偶 数,且能够被6整除,①③⑤⑦⑨为奇数,而② ④⑥⑧都不能被6整除. 15.25 提示:258x<y< 16 5x ,即 3+( )18 x<y< 3+( )15 x,而y为正整数,所以正整数x最小 是6,y最小是3×6+1=19,x+y的最小值为 6+19=25. 16.E 提示:由距离与时间的关系图是先减后增 再减可确定只需考虑点O、E,再由到达终点C 时的距离比起跑时的距离要小可确定体育老师 所站的位置为点E. 三、解答题 17.解:原式=1-23+ 3+22-1- 2+(3+ 22)(3-22)= 2- 3+1. 18.解:设∠CBD=x,则 由BD 为高知∠C=90°-x, ∵∠ABC=∠C=90°-x, ∴∠ABD=90°-2x, ∴∠BAC=90°-∠ABD=2x, ∴∠CBD∠BAC= 1 2 ; 如果顶角∠BAC为钝角,即BD 在△ABC外面 时,如图, 设∠ABC=∠ACB=y,则∠BAD=2y, ∵BD 为高, ∴∠ABD=90°-2y, ∴∠CBD=90°-y,∠BAC=180°-2y, ∴∠CBD∠BAC= 1 2. 19.解:不能,证明如下: 将26个英文字母按字母表顺序依次相间标数1 和0,于是表1和表2分别变为表3和表4, 表3 表4 对表1的一次操作相当于对表3的一次操作,1 变成0,0变成1, 由于每行(或每列)中4个数同时改变奇偶性, 因此每次操作后,各数之和的奇偶性不变, 表3中各数之和为9,表4中各数之和为10, 奇偶性不同,所以表3不能变成表4, 即表1经过有限次操作后不能变成表2. 20.解:设第4天有m 个人在生产,每人生产n件该 商品,则第四天共生产该商品 mn件. ∴第3天共生产(m-5)(n+5)件,第2天共生 产(m-10)(n+10),第1天共生产(m-15)(n +15)件, 第5天共生产(m+5)(n-5)件,第6天共生产 (m+10)(n-10)件,第7天共生产(m+15)(n -15)件. ∴(m-15)(n+15)+(m-10)(n+10)+(m- 5)(n+5)+mn+(m+5)(n-5)+(m+10)(n -10)+(m+15)(n-15)=9947, ∴mn=1521=32×132,而m≥15,n≥15, ∴m=n=39, ∴第4天共生产39×39=1521(件), 而其他几天生产的数量为(39-a)(39+a)= 392-a2=1521-a2<1521,其中a=5或10或 15,∴第4天的生产数量最多,有1521件, 当a=15时,生产数量最少,进行生产的人数为 m+15=54(人)或m-15=24(人).答:略.