训练题 16-“枫叶新希望杯”八年级数学竞赛训练题

! %$#"! 一、选择题 1.下列图形中,是轴对称图形的有( ). A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2.下列说法:①无理数乘以有理数,结果必为无理数;②无理数除以有理数,结果必为无理 数;③无理数加上无理数,结果必为无理数;④无理数乘以无理数,结果必为无理数.其中 正确的有( ). A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.已知x=2-2a+a2,y=(a-1)(1-a)-1,则点M(x,y)在( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.有理数a、b、c满足a+ 2b+ 3c= 11-46,则2014a+2015b+2016c=( ). A.2014 B.2015 C.2016 D.0 5.已知x2-2x-1=0,则x 4-2x3-x x2+1 = ( ). A.2 B.1 C.12 D.0 6.如图,点P 从直角梯形的A 点出发,沿A、B、C、D、A 运动,最后回到A 点。下列选项中能 表示点P 和点A 的距离s与运动时间t之间关系的示意图是( ). A B C D 别有a人、b人和10人,从这些学生中至少要选出23人,才能保证其中有5人是获得金 7.在2014年“创新希望”全国数学大赛总决赛中,某代表队获得金牌、银牌和铜牌的学生分 牌 )”全国数学大赛总决赛中获得金牌、银牌和铜牌的学生总人数为 的;至少要选出24人,才能保证其中有9人获得的奖牌相同.该代表队在2014年“创新希 望 ( . A.23人 B.24人 C.25人 D.26人 八年级训练题（十六） PUECPOWHEN 8.计算 1 21+12 + 1 32+23 +…+ 1 2015 2014+2014 2015 =( ). A.45 B.44 C.145 D. 44 45 二、填空题 9.计算 ( ) ( )1+ 2014+ 2015 1+ 2014- 2015 = . 10.有理数a,b满足方程 1 2+ 2014æ è ç ö ø ÷ 3 a+ 1 3+ 2014æ è ç ö ø ÷ 4 b+5=0,则a+b= . 11.已知 x+( )y 2=2014,x-( )y 2=4102,则x2+y2+xy= . (第12题图) 12.如图,△ABC 与△ABD 的外角平分线CE、DE 相交于点E,若 ∠1+∠2=140°,则∠E= 度. 13.一个周长为8厘米的圆形硬币,从周长为50厘米的四边形的边 界上某点出发,绕四边形的边界滚动一圈后回到出发点.硬币的 圆心运动的路径长为 厘米. 14.某同学带了50元钱去买苹果和橙子,已知苹果8元/斤,橙子5元/斤,若两种水果都至 少买2斤,则不同的选购方式共有 种. 15.在1~2014这2014个整数中,使得n 2+4 n+1 是既约分数的n共有 个. 16.如图,在直角△ABC中,斜边BC的中垂线DE 交AC 于点F,交∠BAC的外角平分线于 点E,EG⊥AC于点G,EM 垂直BA 的延长线于点M,连接BE 交AC 于点N,现有下列 结论:①△BEM≌△CEG;②AE∥BC;③∠BEC=90°;④S△ABE=S△FCE.其中正确的结 论有 (填序号). 三、解答题 17.已知x、y、z为三个非负数,且满足x+2y+3z=4,3x-4y-5z=6. (1)求x的取值范围; (2)若a=x+y+z,则a的最大值和最小值分别为多少? ! %$#"! 一种方式是15件以内(包含15件)不打折,多于15件的部分,每件七折优惠;第二种方 式是全部优惠20% 18.某公司要采购x(x>15)件商品,已知商品原价是500元.商家给出了两种优惠方式:第 . (1)分别写出按两种优惠方式采购时的总费用y(元)与采购数量x(件)的函数关系式; (2)如果是你负责采购,你认为选择哪种优惠方式更划算? 19.如图,已知线段AB⊥CD 于点C,AE⊥AB,BF⊥AB,且AB=CD,AE=BC,AC=BF, ∠ADB=59°,求∠EDF 的度数. 20.如果一个等腰三角形能够被分割成两个小等腰三角形,那么这样的等腰三角形有多少 种? 画图表示,并求出这样的等腰三角形顶角的度数. ! $#"! 39 参 考 答 案 一、选择题 1.C 提示:第一个与第三个是轴对称图形. 2.B 提示:只有②正确. 3.D 提示:x=2-2a+a2=1+(1-a)2>0,y=(a -1)(1-a)-1=-(a-1)2-1<0. 4.A 提 示:a+ 2b+ 3c= 11-46 = ( )22 2-2×22× 3+ ( )3 2=2 2- 3, 所以a=0,b=2,c=-1,则2014a+2015b+ 2016c=2015×2+2016×(-1)=2014. 5.C 提示:原式= x 2( )+1 x2-2x( )-1 +x+1 x2+1 =x+1x2+1= x+1 2x+2= 1 2. 6.D 提示:点P 在BC 上运动时,与点A 的距离 还是在增加,但比在AB 上运动时增加得慢;在 CD 上运动时,应分两个阶段,先减后增. 7.C 提示:5+b+10=23,b=8,若a>8,则8+8 +9=25>24,矛盾! 所以a≤8,a+8+9=24,a =7,从而7+8+10=25(人). 8.D 提示: 1 (n+1)n+n n+1 = 1 n(n+1)( n+1+ n) = n+1- n n(n+1) =1 n - 1 n+1 . ∴原 式= 1 1 - 1 1+1 + 1 2 - 1 2+1 + 1 3 - 1 3+1 +…+ 1 2024 - 1 2024+1 =1- 1 2025 =1-145= 44 45. 二、填空题 9.2 2014 提示:原式= ( )1+ 2014 2- ( )2015 2=2 2014. 10.30 提 示:原 方 程 整 理 为 12a+ 1 3b( )+5 + 2014 13a+ 1 4( )b =0, 所以 1 2a+ 1 3b+5=0 , 1 3a+ 1 4b=0 ì î í ï ï ïï . 解得 a=-90, b=120{ .a+b=30. 11.2536 提示:x2+y2=12 [(x+y)2+(x-y)2] =2014+41022 =3058 ,xy=14 [(x+y)2-(x- y)2]=2014-41024 =-522 ,x2+y2+xy=3058 -522=2536. 12.110 提示:设∠ACB=x,∠ADB=y,∠ECO =90°-x2 ,∠EDO=90°-y2 , 又∠COD=x+∠1=y+∠2, 所以∠E=360°- ∠ECO+∠COD+∠( )EDO =360°- 90°-x2+ x+∠1+y+∠2 2 +90°- y( )2 =180°-∠1+∠22 =110°. 13.58 提示:圆心运动的路径为硬币周长与四边 形周长之和. 14.12 提示:设购买x斤苹果,y斤橙子,则8x+ 5y≤50,当y=2时,x可以取2、3、4、5,共4种; 当y=3时,x 可以取2、3、4,共3种;当y=4 时,x可以取2、3,共2种;当y=5时,x可以取 2、3,共2种;当y=6时,x可以取2,共1种.合 计4+3+2+2+1=12(种). 15.1611 提示:n 2+4 n+1= n2-1+5 n+1 =n-1+ 5 n+1 , ∵ 5n+1 是既约分数,∴n+1不可取的数有5, 10,15,…,2010,2015共403个,所以使得 5n+1 是既约分数的n共2014-403=1611(个). 八年级训练题（十六) PUECPOWHEN 40 16.①③ 提示:∵AE 为∠MAC 的角平分线,EG ⊥AC,EM⊥AM,∴EM=EG,∠M=∠EGC= 90°,又 DE 为BC 的 中 垂 线,∴BE=CE,∴ △BEM≌ △CEG,∴ ① 正 确;∵ △BEM ≌ △CEG,∴ ∠MBE = ∠GCE,又 ∠ANB = ∠ENC,∴∠BAC=∠BEC=90°,∴③正确;由 上 述 结 论 易 得,∠BCE= ∠CAE=45°,∴ ∠ACB<45°,∴AE 与BC 不平行,∴②不正 确;∵∠ACB<45°,∴∠AFE=∠CFD>45°, ∴FG≠EG,∴FG≠AM,∴AB≠CF,∴S△ABE ≠S△FCE,∴④不正确. 三、解答题 17.解:(1)将x当作常量,解出y、z, y=7x-19≥0,解得x≥197 , z=14-5x≥0,解得x≤145 , 所以19 7≤x≤ 14 5 ; (2)a=x+y+z=x+7x-19+14-5x=3x-5, 所以a≤3×145-5= 17 5 ,a≥3×197-5= 22 7 , 即a的最大值为175 ,最小值为22 7. 答:略. 18.解:(1)第一种优惠方式:y1=500×15+500× 70%× x( )-15 =350x+2250, 第二 种 优 惠 方 式:y2 ( )=500× 1-20% x= 400x; (2)y1-y2=350x+2250-400x=-50x+ 2250, ①当-50x+2250>0,即15<x<45时,y1-y2 >0,第二种优惠方式更划算; ②当-50x+2250=0,x=45时,y1-y2=0,采 用两种优惠方式都一样; ③当-50x+2250<0,x>45时,y1-y2<0,第 一种优惠方式更划算. 答:略. 19.解:如图,连接AF、BE, 由AE=BC,AE⊥AB,CD⊥AB,AB=CD 得 AE∥CD,△ABE≌△CDB, ∴∠AED=∠CDE,∠AEB= ∠CBD,BE= BD,∠ABE=∠CDB, ∴ ∠CBD = ∠AEB = ∠AED + ∠BED = ∠CDE+∠BDE=2∠CDE+∠BDC, 同理可得∠BAD=2∠CDF+∠ADC, ∴∠BAD+∠CBD=2∠CDF+∠ADC+ 2∠CDE+∠BDC=2∠EDF+∠ADB=180° -∠ADB, ∴∠EDF=90°-∠ADB=31°. 答:略. 20.解:分两类,共四种情况. (1)当分割线经过等腰三角形的顶点时,有两种 情况. ①AB=AC,BD=AD=DC,如图1. 此时△ABD≌△ACD, ∴∠B=∠BAD=∠CAD=∠C=180°4 =45° , ∴∠BAC=90°. 图1 图2 ②AB=AC,BD=AD,AC=CD,如图2. 此 时 ∠B= ∠BAD= ∠C,不 妨 设 为 x,则 ∠CAD=180°-x2 , ∴3x+180°-x2 =180° ,解得x=36°, ∴∠BAC=180°-2x=108°. (2)当分割线经过等腰三角形的底角顶点时,也 有两种情况. ③AB=AC,AD=BD=BC,如图3. 此时∠A=∠ABD=x,则∠C=∠BDC=2x, ! $#"! 41 ∴∠CBD=x,∴5x=180°,解得x=36°, 即顶角∠A=36°. 图3 图4 ④AB=AC,AD=BD,BC=CD,如图4. 此时∠A=∠ABD=x, 则∠BDC=∠CBD=2x, ∴∠C=∠ABC=3x, ∴7x=180°,解得x=180°7 ,即顶角∠A=180°7 . 答:略. 一、选择题 1.C 提示:只有②正确. 2.A 提示:A= 11+x+ 1 1+y= y y+xy+ x x+xy= y 1+y+ x 1+x=B. 3.C 提示:正八边形的一个内角为135°,所以直 角三角形为等腰直角三角形,故所求为 2-1. 4.B 提示:设该商品的进价为a元,优惠的折扣为 t%,则a(1+x%)(1-t%)≥a,解得t≤ x1+x% = 100x100+x ,即y= 100x100+x. 5.C 提示:设长为30cm的高所在的边长为acm, 则长为10cm的高所在的边长为3acm,三角形第 三条边边长小于4acm,所以高大于30a÷4a= 7.5(cm),则最短是8cm. 6.A 提示:a+b+c=x2-2y+y2-2z+z2-2x+ π= x( )-1 2 + y( )-1 2 + z( )-1 2 +π-3, x( )-1 2≥0,y( )-1 2≥0,z( )-1 2≥0,π-3> 0,∴a+b+c>0,∴a、b、c中至少有一个数是正 数. 7.D 提 示:易 证 △ABF≌ △CBE,∴S△DEF = S正方形-S△BEF=20-12=8(cm2). 8.C 提示:由条件1+3n≤2015得n≤67113 ,n 是正整数.设1+5n=m2(m 是正整数),则 n=m 2-1 5 ,这是正整数.故可设m+1=5k,或m -1=5k(k是正整数) ①当 m+1=5k 时,m 2-1 5 =5k 2-2k≤5k2≤ 67113 ,由5k2≤67113 ,得,k≤11. 当k=12时,5k2-2k=696>67113. 所以,此时满足题意的正整数n有11个; ②当m-1=5k时,n=m 2-1 5 =5k 2+2k, 又5k2-2k<5k2+2k,且当k=11时,5k2+2k= 627<67113 , 所以,此时满足题意的正整数n也有11个. 因此,满足1+3n≤2015且使1+5n是完全平方 数的正整数n共有22个. 二、填空题 9.(x+1)(x+3)(x+5) 提示:x3+9x2+23x+ 15=x3+3x2+6x2+18x+5x+15=x2(x+3) +6x(x+3)+5(x+3)=(x+3)(x2+6x+5)= (x+1)(x+3)(x+5). 10.255 提示:20×13=260(元),20×15×0.85= 255(元),所以最少需255元. 11.70 提示:由∠ACB∶∠ABC∶∠BAC=1∶2∶15 得∠ACB=10°,∠ABC=20°,∠BAC=150°, ∠DGF=2(∠ACB+ ∠ABC)=60°,∠D= ∠ACB=10°,∴∠AFE=∠DGF+∠D=70°. 12.15 ,( )75 提示:将函数变形为(2x-y+1)k+ x - 3y + 4 = 0,则 2x-y+1=0, x-3y+4=0{ .解 得 x=15 , y=75 ì î í ï ï ïï . 即函数恒过定点 1 5 ,( )75 . 13.24 2 提 示: 8x+y= 1 x + 1 y = x+y xy ,所 以 x+( )y 2=8xy,x2+y2=6xy,x-( )y 2=4xy, y x + x y = x2+y2 xy = 6xy xy =6 ,y x - x y = y2-x2 xy = y+( )x y-( )x xy = y+( )x 2 y-( )x 2 xy = 八年级训练题（十七）