训练题 14-“枫叶新希望杯”八年级数学竞赛训练题

!"#$%! ９１　 八年级训练题(十四) 一、选择题 １．在一个三角形中,有一个角的度数是６５°,另外两个角的度数可能是(　　)． A．９５°,２０° B．４５°,８０° C．３５°,６０° D．９０°,２０° ２．下列从左到右的变形中,因式分解正确的是(　　)． A．(x＋１)(x－１)＝x２－１ B．x２－２x＋１＝x(x－２)＋１ C．x２－４y２＝(x＋４y)(x－４y) D．x２－６x＋９＝(x－３)２ (第３题图) ３．如图,OP 平分∠MON,PA⊥ON 于点A,点Q 是射线OM 上一动 点,若AP＝２,则PQ 的最小值为(　　)． A．２ B．２ C．３ D．２２ ４．若x＝－１,y＝２,则 ２xx２－１６y２ － １x－４y 的值等于(　　)． A．１７ B．－ １ ７ C．－ １ ９ D． １ ９ ５．在学校举行的一年一度的春季运动会中,１２名参加跳高半决赛的同学的成绩各不相同, 按成绩取前６名进入决赛,如果某同学知道了自己的成绩后,要判断自己能否进入决赛, 其他１１位同学成绩的下列数据中,能使他得出结论的是(　　)． A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 ６．如图,在一次函数y＝－x＋４的图象上取一点P,过点P 作PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴 于点B,使得矩形OAPB 的面积为４的点P 共有(　　)． A．１个 B．２个 C．３个 D．４个 (第６题图) 　　　　 (第７题图) 　　　　 (第８题图) ７．如图,△ABC中,AB＝AC,点D、E 分别是AB、AC 的中点,点F、G 在BC 边上,四边形 DEFG 是正方形,若DE＝２cm,则AC的长为(　　)． A．３３cm B．４cm C．２３cm D．２５cm ８．如图是一个长为８m,宽为６m,高为５m 的仓库,在其内壁的点A(长的四等分点)处有一 只壁虎．在点B(宽的三等分点)处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短路程为(　　)． A．８５m B．８９m C．５５m D．１３m NEWHOPECUP ９２　 二、填空题 ９．已知(２x－１１)(３x－９)－(３x－９)(x＋１３)可分解因式为(３x＋a)(x＋b),其中a、b均为整 数,则３a－b＝ ． １０．化简１２ ３２x ３ ＋２x x２ －x ２ ５０ x ＝ ． １１．当五个整数从小到大排列后,其中位数是４,如果这组数据的唯一众数是６,那么这组数 据的和的最大值是 ． １２．将边长分别为 ２,２２,３ ２,４ ２,􀆺的正方形的面积记作S１,S２,S３,S４,􀆺,计算S２－ S１,S３－S２,S４－S３,􀆺．若边长为 ２n(n为正整数)的正方形的面积记作Sn,根据你的计 算结果,猜想Sn＋１－Sn＝ ． １３．如图,在△ABC中,AD 平分∠BAC交BC 于点D,AE⊥BC于点E,∠B＝４０°,∠BAC＝ ８２°,则∠DAE＝ ． (第１３题图) 　　　　 (第１４题图) １４．如图,将等边△ABC绕它的中心旋转６０°后得到△DEF,且△ABC 和△DEF 重叠部分 的周长为６,则△ABC的周长为 ． １５．如图１是一整副七巧板,它由正方形ABCD 分割而成,图２是由一副七巧板拼成的一个 梯形,若正方形ABCD 的边长为１２cm,则梯形 MNGH 的周长是 cm．(结果保 留根号) １６．已知在平面直角坐标系中有两点A(２０１５,０)、B(０,２０１３),以AB 为斜边在直线AB 下方 作等腰直角△ABC,则点C的坐标为 ． 三、解答题 １７．欣欣在甲超市用１２５元购买了若干千克某种食品,之后她在乙超市发现,同种食品每千 克比甲超市要便宜２元,因此她在第二次购买这种食品时就到乙超市去买,结果用去了 １８４元,买的数量比第一次在甲超市买的多了３５ 倍,那么她第一次在甲超市买这种食品 !"#$%! ９３　 时买了多少千克? １８．如图,在平行四边形ABCD 中,点E 为AB 的中点,CB 的延长线与DE 的延长线相交于 点F,连接AF、CE． 求证:S△AEF＝S△BCE． １９．计算 １＋１１２＋ １ ２２ ＋ １＋ １ ２２＋ １ ３２ ＋ １＋ １ ３２＋ １ ４２ ＋ 􀆺＋ １＋ １２０１５２＋ １ ２０１６２ ． ２０．如图,在平面直角坐标系中,点A 在直线y＝x上,且在第一象限,直线y＝２x＋１交x轴 于点B,交y轴于点C,将直线BC沿OA 方向平移３２个单位长度之后得到直线l,求直 线l的函数解析式． NEWHOPECUP １３８　 １７．解:原方程可变为１－ １x２＋２０１７x＋２０１６＝１－ １ x２－２０１５x＋２０１６ , ∴x２＋２０１７x＋２０１６＝x２－２０１５x＋２０１６, ∴x＝０,经检验,x＝０是原方程的根． １８．解:AG＝CE．理由如下:如图,过点E 作EH⊥ AB交于点H, ∵BE平分∠ABC,∠ACB＝９０°, ∴∠１＝∠２,CE＝EH,∠A＋∠ABC＝９０°, ∵CD⊥AB,∴∠３＋∠ABC＝９０°, ∴∠A＝∠３, ∴∠１＋∠A＝∠２＋∠３,即∠４＝∠５, ∴CE＝CF,从而CF＝EH, 又由FG∥AB得∠A＝∠CGF, 由CD⊥AB,EH⊥AB得EH∥CD, ∴∠AEH＝∠GCF, ∴△AEH≌△GCF,∴AE＝GC, 即AG＋EG＝CE＋EG,∴AG＝CE． １９．解: x ２ (x－１)(x＋１)＝ x２ x２－１＝ x２－１＋１ x２－１ ＝１＋ １ x２－１＝１＋ １ (x－１)(x＋１)＝１＋ １ ２ ( １ x－１－ １ x＋１ ) 原式＝６＋ １２ ( １ ２－１－ １ ２＋１＋ １ ４－１－ １ ４＋１＋ １ ６－１－ １ ６＋１＋ １ ８－１－ １ ８＋１＋ １ １０－１－ １ １０＋１＋ １ １２－１－ １ １２＋１ )＝６＋ １２ (１ ２－１－ １ １２＋１ )＝６＋ １ ２ (１－１１３ )＝６６１３． ２０．解:(１)过点B作BC⊥x轴于点C,则BC＝y, ∴S ＝ １２ ×OA ×BC ＝ １ ２ ×４ 􀅰y＝２y ０＜y＜６( ) ． (２)∵点B x,y( ) 在直线y＝－x＋６上, ∴S＝２y＝２ －x＋６( ) ＝－２x＋１２, ∵０＜x＜６,且x＝１２－S２ , ∴０＜１２－S２ ＜６ ,解得０＜S＜１２． (３)OA ＝ ４,OB ＝ x２＋y２ ,AB ＝ ４－x( )２＋y２ ． ①当AB＝OB时, y＝－x＋６, ４－x( )２＋y２ ＝ x２＋y２ ．{ 解得 x＝２, y＝４．{ ∴点B１(２,４)． ②当AB＝OA 时, y＝－x＋６, ４－x( )２＋y２ ＝４．{ 解得 x＝５＋ ７, y＝１－ ７{ 或 x＝５－ ７, y＝１＋ ７．{ ∵０＜x＜６,０＜y＜６,∴ x＝５－ ７, y＝１＋ ７．{ ∴点B２(５－ ７,１＋ ７)． ③当OB＝OA 时, y＝－x＋６, x２＋y２ ＝４．{ 得x ２－６x＋ １０＝０,即 x－３( )２＋１＝０,方程无实数解． 综上,当以点A、O、B为顶点的三角形为等腰三 角形时,点 B 的坐标为(２,４)或(５－ ７,１＋ ７)． 八年级训练题(十四) 一、选择题 １．A　提示:这个三角形另两个内角的和为１８０°－ ６５°＝１１５°＝９５°＋２０°,故选 A． ２．D ３．B ４．A 　 提 示:原 式 ＝ ２xx＋４y( ) x－４y( ) － x＋４y x＋４y( ) x－４y( ) ＝ x－４y x＋４y( ) x－４y( ) ＝ ! " # $! １３９　 １ x＋４y , ∵x＝－１,y＝２,∴原式＝１７． ５．C ６．C　提示:第一象限有一点(２,２),第二、四象限各 有一点,共３个点． ７．D　提示:∵点 D、E 分别是边AB、AC 的中点, ∴DE＝ １２BC ,∵DE＝２cm,所以BC＝４cm,∵ AB＝AC,四边形 DEFG 是正方形．∴△BDG≌ △CEF,∴BG＝CF＝１cm,∴EC＝ ５cm,∴AC ＝２ ５cm． ８．A　提示:①将正面和右面展开,过点B 作向底 面的垂线,垂足为点C,则△ABC为直角三角形． ∵AC＝ ３４ ×８＋ １ ３ ×６＝８ ,BC＝５,∴AB＝ AC２＋BC２ ＝ ８２＋５２ ＝ ８９,故壁虎此时爬 到蚊子处的最短路程为 ８９m; ②将正面和上面展开,则点 A 到点B 的水平距 离为６,垂 直 距 离 为 ７,∴ 此 时 的 最 短 路 程 为 ６２＋７２ ＝ ８５＜ ８９,故选 A． 二、填空题 ９．－３　提示:(２x－１１)(３x－９)－(３x－９)(x＋ １３)＝(３x－９)(x－２４),故a＝－９,b＝－２４,即 ３a－b＝－２７＋２４＝－３． １０．－２x ２x　提示:原式＝２x ２x＋x ２x－ ５x ２x＝－２x ２x． １１．２１　提示:根据题意将这五个数从小到大排列 分别是x,y,４,６,６,所以x＝１或２,y＝２或３． 则这组数据和的最大值为２＋３＋４＋６＋６＝ ２１． １２．４n＋２　提示:由S２－S１＝６,S３－S２＝１０,S４－ S３＝１４,可推出Sn＋１－Sn＝２(n＋１＋n)＝４n＋ ２． １３．９°　 提 示:∵AE⊥BC 于 点E,∠B＝４０°,∴ ∠BAE＝１８０°－９０°－４０°＝５０°,∵AD 平 分 ∠BAC交BC 于点D,∠BAC＝８２°,∴∠BAD ＝４１°,∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝９°． １４．９　提示:∵△ABC和△DEF都是等边三角形, ∴∠F＝６０°,FG＝FH,FD＝BC,∴△FHG 是 等边三角形,∴GH＝FG．同理,IJ＝ID,HL＝ CL,JK＝KB,∴重叠部分的周长为:FD＋BC ＝６,∴FD＝BC＝３,即等边△ABC 的周长是 ９． １５．２４＋２４ ２　提示:观察图形得 MH＝GN＝AD ＝１２,HG＝１２AC ,∵AD＝CD＝１２, ∴AC＝１２ ２,∴HG＝６ ２,所以梯形 MNGH 的周长为HG＋HM＋MN＋NG＝２HM＋４HG ＝２４＋２４ ２． １６．(１,－１)　提示:过点C作CD⊥y轴于点D,作 AE⊥CD 于点E． ∵∠BOA＝∠BCA＝９０°,∠OFB＝∠CFA,∴ ∠DBC＝∠FAC,∵CD⊥y 轴,OA⊥y 轴,∴ CD∥OA,∴ ∠ACE ＝ ∠FAC,∴ ∠ACE ＝ ∠DBC, ∴ 在 △ACE 和 △BCD 中, ∠DBC＝∠ACE, ∠BDC＝∠AEC, BC＝AC, { ∴△ACE≌△BCD．∴CD＝ AE,BD＝CE,则点C 的横坐标的绝对值相等, ∴设点C的坐标是(x,y),则 x ＝ y ,且x ＜２０１５,y＜２０１３,∴２０１３－y＝２０１５－x,则x＝ １,y＝－１．即点C的坐标为(１,－１)． 三、解答题 １７．解:她第一次在甲超市买这种食品时买了x千 克,由题意得 １２５ x － １８４ １＋３５( )x ＝２,解得x＝５,经检验,x＝５ 是原方程的解,符合题意．答:略． NEWHOPECUP １４０　 １８．证明:∵在平行四边形 ABCD 中,点E 为AB 的中点,∴AE＝BE,S△ADE ＝S△BCE , 又∵∠AED＝∠BEF,∠DAE＝∠FBE, ∴△ADE≌△BFE,∴S△ADE ＝S△BFE , ∵EF为△ABF的中线,∴S△AEF ＝S△BFE , ∴S△AEF ＝S△ADE ＝S△BCE ,即S△AEF ＝S△BCE． １９．解:∵对任意正整数n,有 　 １＋１n２ ＋ １ n＋１( )２ ＝ n ２ n＋１( )２＋ n＋１( )２＋n２ n２ n＋１( )２ ＝ (n２＋１)n＋１( )２＋n２ n２ n＋１( )２ ＝ (n２＋１)n２＋１＋２n( ) ＋n２ n２ n＋１( )２ ＝ (n２＋１)２＋２nn２＋１( ) ＋n２ n２ n＋１( )２ ＝ (n２＋１＋n)２ n２ n＋１( )２ ＝n ２＋１＋n n n＋１( ) ＝ n２＋n＋１ n２＋n ＝１＋ １ nn＋１( ) ＝１＋１n－ １ n＋１ , 原式＝１＋１１ － １ ２ ＋１＋ １ ２ － １ ３ ＋１＋ １ ３ － １ ４ ＋􀆺＋１＋ １２０１５－ １ ２０１６＝２０１５＋１－ １ ２０１６＝２０１５ ２０１５ ２０１６． ２０．解:如图,先过点 B 作BD ∥OA,其 中 BD＝ ３ ２,再过点 D 作DE⊥x 轴,垂足为点 E,则 BE＝DE＝３, ∵直 线 y＝２x＋１ 与 x 轴 的 交 点 坐 标 为 －１２ ,０( ) ,∴OB＝ １２,∴OE＝BE－OB＝３－ １ ２＝ ５ ２ ,∴点D ５２ ,３( ) ． 设直线l的函数解析式为y＝２x＋m,则３＝２× ５ ２＋m ,∴m＝－２, ∴直线l的函数解析式为y＝２x－２． 八年级训练题(十五) 一、选择题 １．D ２．B　提示:过点P 作PF∥BC交AC 于点F． ∵PF∥BC,△ABC 是等边三角形,∴∠PFD＝ ∠QCD,△APF 是等边三角形,∴AP＝PF＝ AF,∵PE⊥AC,∴AE＝EF,∵AP＝PF,AP＝ CQ,∴ PF ＝ CQ．在 △PFD 和 △QCD 中, ∠PFD＝∠QCD, ∠PDF＝∠QDC, PF＝CQ, { ∴△PFD≌△QCD,∴FD＝ CD,∵AE＝EF,∴EF＋FD＝AE＋CD,∴AE＋ CD＝DE＝１２AC ,∵AC＝１,∴DE＝１２． ３．C　提示:由 x２－１２x 知x≤０或x≥ １２ ,由 １－x􀅰 x知０≤x≤１,则有 １２ ≤x≤１ 或x＝ ０． ４．B ５．D　提示:直线l:y＝(m－３)x＋n－２(m,n为常 数)的图象可知,n－２＜０,m－３＞０．m－３ － n２－４n＋４＝m－３－ n－２( )２ ＝m－３＋n－ ２＝m＋n－５． ６．D　提示:由正方形的性质得∠EAB＝∠DAF, ∠EBA＝ ∠ADP,AB ＝AD,所 以 △ABE ≌ △ADF,①正确;②取EF 的中点 M,连接 AM, 则AM ＝FM ＝EM ＝BE,又 易 证 ∠AMB＝ ∠FMB＝１３５°,BM＝BM,∴△ABM≌△FBM, ∴AB＝BF,② 正 确;∵ ∠BAM ＋ ∠APM ＝ ∠BFE＋ ∠EBF ＝９０°,且 由 ② 知 ∠BAM ＝ ∠BFE,∴ ∠APM ＝ ∠EBF,而 ∠APM ＝ ∠CDF,∴∠EBF＝∠CDF,又BF＝AB＝CD, BE＝ DF,∴ △BEF ≌ △DFC,∴ ∠BEF ＝ ∠DFC＝９０°,EF＝CF,∴③④均正确．