训练题 11-“枫叶新希望杯”八年级数学竞赛训练题

NEWHOPECUP ８２　 八年级训练题(十一) 一、选择题 １．某市２０１２年的GDP 为６０００亿元,２０１４年的GDP 为９０００亿元,若平均每年的增长率为 x,则可得等式为(　　)． A．６０００ １＋x％( )２＝９０００ B．６０００ １＋x( )２＝９０００ C．６０００ １＋２x( )２＝９０００ D．６０００１＋x( ) １＋２x( ) ＝９０００ ２．如图,在Rt△ABC 的斜边AB 上有一点D,连接CD,作点B 关于CD 的对称点E,连接 CE．若∠ACE＝４０°,则∠ACD 的度数为(　　)． (第２题图) 　　　　 (第８题图) A．１５° B．２０° C．２５° D．３０° ３．已知直线y＝－３x＋２与两坐标轴相交于点A、B,则点A、B 之间的距离为(　　)． A．４３２ B． ２ ３２ C． ４ ３ １０ D． ２ ３ １０ ４．记a＝ １２２０１４＋ １ ２２０１４＋１＋ １ ２２０１４＋２＋ 􀆺＋ １２２０１５－２＋ １ ２２０１５－１ ,则a的取值范围是(　　)． A．０＜a＜１ B．１＜a＜２ C．２＜a＜３ D．３＜a＜４ ５．若点A －１２ ,y１æ è ç ö ø ÷ 、B １４ ,y２æ è ç ö ø ÷ 、C １２ ,y３æ è ç ö ø ÷ 都在函数y＝－a ２＋１ x 的图象上,则下列结论正确 的是(　　)． A．y１＜y２＜y３ B．y１＜y３＜y２ C．y２＜y３＜y１ D．y３＜y１＜y２ ６．已知a＝x２－y,b＝y２－z＋１２ ,c＝z２－x＋１３ ,其中x、y、z为任意实数,则下列说法正确的 是(　　)． A．a、b、c中至少有一个是０ B．a、b、c中至少有一个是正数 C．a、b、c中至少有一个是负数 D．a、b、c必为两正一负或两负一正 ７．如果x２－１４x＋１＝０,那么x４＋x－４＋４的个位数是(　　)． A．２ B．４ C．６ D．８ ８．如图,点P 为正六边形ABCDEF 内部任意一点,若正六边形ABCDEF 的面积为s,S△ABP ＝a,S△BCP＝b,S△CDP＝c,则a＋c－b＝(　　)． A．１４s B． １ ５s C． １ ６s D． 无法确定 !"#$%! ８３　 二、填空题 ９．计算３５．７ ３－１２．３３ ２３．４ ＋３５．７×１２．３＝ ． １０．在平面直角坐标系中有两点A －３,１( ) 、B ３,３( ) ,若直线y＝kx－２与线段AB 的延长线 相交,则实数k的取值范围是 ． １１．如图,在正八边形ABCDEFGH 中,对角线AC＝a,AE＝b,则这个正八边形的面积为 ． １２．一个等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为１８°,则这个等腰三角形底角的度数 为 ． １３．当１≤x≤２时,化简 x＋２ x－１＋ x－２ x－１＝ ． １４．在△ABC中,∠A、∠B、∠C的外角度数之比为a∶b∶c(a、b、c均为正数),则∠A∶∠B ∶∠C＝ (用含a、b、c的式子表示)． １５．如图,在边长为３６厘米的菱形ABCD 中,∠A＝６０°,有两个动点E、F 同时从点A、C 出 发,分别沿着AB、CB 方向向点B 移动(到达点B 时为止),点E 的速度为每秒１厘米,点 F 的速度是每秒２厘米,当△DEF 为等边三角形时,两动点的移动时间t＝ 秒． １６．已知m、n为正整数,则满足等式mn＋m＋n＝２０１５的有序数组 m,n( ) 共有 组． 三、解答题 １７．当k取何值时,关于x的方程x－１x－２－ x＋２ x＋１＝ ２x２＋kx x－２( ) x＋１( ) 无增根? ． NEWHOPECUP ８４　 １８．已知函数y＝３x－４ 与y＝x－a的图象围成一个三角形区域,求这个三角形的面积以 及a的取值范围． １９．甲、乙两车分别从相距６００km 的A、B 两地同时出发相向而行,甲车到达B 地后立即返 回,两车离各自出发地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的关系如下图所示． (１)求甲车离出发地A 的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系,并写出自变量x 的取值范围; (２)根据图示信息,求两车第一次相遇与第二次相遇的时间间隔,并求出第二次相遇时的 地点与A 地之间的距离(从后面追上也视为相遇)． ２０．将若干个数a１、a２、a３、􀆺的最大值和最小值分别记为 max(a１,a２,a３,􀆺)和 min(a１,a２, a３,􀆺)．已知非负数a、b、c、d、e、f、g满足a＋b＋c＋d＋e＋f＋g＝３,求 min[max(a＋b ＋c,b＋c＋d,c＋d＋e,d＋e＋f,e＋f＋g)]的值． ! " # $! １３３　 ≌△ADG,从而得△ABE≌△ADH,∴∠BAE ＝∠DAH,再由CE＋CF＋EF＝GH＋CF＋ FH 得EF＝FH,进而得△AEF≌△AHF,∴ ∠EAF＝∠HAF＝∠DAH＋∠DAF＝∠BAE ＋∠DAF＝ １２ ∠BAD＝ １ ２ (１８０°－１３５°)＝ ２２．５°． １６．４　提示:易得k＝２,∴y＝－x＋k＝－x＋２,联 立y＝２x－１与y＝－x＋２得点 A １,１( ) ,∴ OA＝ ２,且与x轴的夹角为４５°．∴满足题意的 点P 有４个,分别为点P１ － ２,０( ) 、P２(１,０)、 P３ ２,０( ) 、P４(２,０)． 三、解答题 １７．解:设老师规定的时间为x 天,则根据题意得 ２ １x＋ １ x＋３( ) ＋ x－２ x＋３＝１ ,解得x＝６． 经检验,x＝６是原方程的根．答:略． １８．解:(１)对直线AB:y＝－２x＋a,当y＝０时,x ＝a２ ,∴点A a２ ,０( ) ;对直线BC:y＝x＋b,当 x＝０时,y＝b,∴点C ０,b( ) ;当y＝０时,x＝ －b,∴ 点 D －b,０( ) ,由 y＝－２x＋a, y＝x＋b{ 得 x＝a－b３ , y＝a＋２b３ ． ì î í ï ï ïï ∴点B a－b３ ,a＋２b ３( ) ． (２)由题意得 a ２－ －b ( ) ＝２, a＞b＞０, １ ２ b＋ a＋２b ３( ) 􀅰 a－b ３ ＋ １ ２ a ２ － a－b ３( ) 􀅰 a＋２b ３ ＝ ５ ６ ． ì î í ï ïï ï ï 解得 a＝２, b＝１．{ ∴点B的坐标为B １ ３ ,４ ３( ) ． １９．证明:(x＋y)(x＋２y)(x＋３y)(x＋４y)＋y４＝ (x＋y)(x＋４y)(x＋２y)(x＋３y)＋y４＝(x２＋ ５xy＋４y２)(x２＋５xy＋６y２)＋y４＝(x２＋５xy＋ ４y２)(x２＋５xy＋４y２＋２y２)＋y４＝(x２＋５xy＋ ４y２)２＋２y２􀅰(x２＋５xy＋４y２)＋(y２)２＝(x２＋ ５xy＋４y２＋y２)２＝(x２＋５xy＋５y２)２． 即(x＋y)(x＋２y)(x＋３y)(x＋４y)＋y４ 是一 个完全平方数． ２０．解:如图,在BC 上截取BG＝BE,CH＝CF,则 AE＝CG,AF＝BH, ∵BD＝CD,∠BDC＝１２０°, ∴∠DBC＝∠DCB＝３０°, ∵△ABC为等边三角形, ∴∠ABC＝∠ACB＝６０°, ∴∠ABD＝∠DBC＝∠BCD＝∠ACD＝３０°, 又BD 为 △BDE 与 △BDG 的 公 共 边,CD 为 △CDH 与△CDF的公共边, ∴△BDE≌△BDG,△CDH≌△CDF, ∴DE ＝DG,DH ＝DF,∠BDE ＝ ∠BDG, ∠CDH＝∠CDF, ∵∠BDH ＝１２０°－ ∠CDH ＝１２０°－ ∠CDF, ∠CDG＝１２０°－∠BDG＝１２０°－∠BDE, ∠BDE＋∠CDF＝３６０°－∠EDF－∠BDC＝ １８０°, ∴∠GDH＝∠BDC－∠BDH－∠CDG＝１２０° － １２０°－∠CDF( ) － １２０°－∠BDE( ) ＝ ∠CDF＋∠BDE－１２０°＝６０°, ∴∠GDH＝∠EDF,∴△GDH≌△EDF, ∴GH＝EF, ∴△AEF的周长等于BC 的长,为a． 八年级训练题(十一) 一、选择题 １．B ２．C　提示:∠ACD＋∠ACE＝９０°－∠ACD, ∴∠ACD＝１２ (９０°－∠ACE)＝２５°． ３．D　 提示:直线与两坐标轴的交点为 ２３ ,０( ) 、 ０,２( ) ,再利用勾股定理即得２３ １０． NEWHOPECUP １３４　 ４．A　提示:a中算式共有２２０１５－１－ ２２０１４－１( ) ＝ ２２０１４项,每一项都大于０,∴a＞０,且a＜ １２２０１４ × ２２０１４＝１． ５．C　提示:y１＝２a２＋１( ) ＞０,y２＝－４a２＋１( ) ＜ ０,y３＝－２a２＋１( ) ＜０,∴y２＜y３＜y１． ６．B　提示:a＋b＋c＝x２－y＋y２－z＋ １２＋z ２－x ＋１３＝ x－ １ ２( ) ２ ＋ y－１２( ) ２ ＋ z－１２( ) ２ ＋ １１２ ＞０,∴a、b、c中至少有一个是正数． ７．D　提示:由题意,x≠０,∴x＋ １x ＝１４ ,∴x４＋ x－４＋４＝ x２＋x－２( )２＋２＝ x＋１x( ) ２ －２[ ] ２ ＋ ２＝１９４２＋２,∴x４＋x－４＋４的个位数是６＋２＝ ８． ８．C　提示:如图,分别沿AB、CD、EF 两端延长, 得到正△GHQ,设其高为h,S△APF ＝x,S△EFP ＝ y,S△DEP ＝z,则点P 到正△GHQ 三边的距离之 和为h,即点P 到AB、CD、EF 的距离之和为h, ∴a＋c＋y＝ １２s ,又b＋y＝ １３s ,∴a＋c－b＝ １ ６s． 二、填空题 ９．２３０４　 提示:令a＝３５．７,b＝１２．３,则原式 ＝ a３－b３ a－b ＋ab＝a ２＋ab＋b２＋ab＝(a＋b)２＝４８２＝ ２３０４． １０．１３＜k＜ ５ ３　 提示:当直线过点B时,k＝５３ ;当 直线与线段AB平行时,k＝１３ ,作图易知１ ３＜k ＜５３． １１．ab　提示:按图中虚线所示的方式进行割补,则 正八边形的面积等于图中虚线所示的矩形的面 积． １２．５４°或３６°　提示:分两种情况,该等腰三角形可 能为锐角三角形,也可能为钝角三角形． １３．２ 提 示:原 式 ＝ x－１＋２ x－１＋１ ＋ x－１－２ x－１＋１ ＝ ( x－１＋１) ２ ＋ ( x－１－１) ２ ＝ x－１＋１＋１－ x－１＝ ２． １４．b＋c－a( ) ∶ a＋c－b( ) ∶ a＋b－c( ) 　 提 示: 设∠A、∠B、∠C的外角度数分别为ax、bx、cx, 则ax＋bx＋cx＝３６０°,∴x＝ ３６０°a＋b＋c ,∴∠A＝ １８０°－ax＝１８０° (b＋c－a) a＋b＋c ,∠B＝１８０°－bx＝ １８０°(a＋c－b) a＋b＋c , ∠C ＝ １８０° － cx ＝ １８０°(a＋b－c) a＋b＋c ． １５．１２　提示:如图,延长 AB 到点G,使得 BG＝ AE,当△DEF为等边三角形时,易得△ADE≌ △GEF,∴∠A＝∠G＝６０°,AE＝GF＝BG,∴ △BFG为等边三角形,∴BF＝AE＝t,BC＝３t ＝３６,∴t＝１２． １６．３４　提示:m＋１( ) n＋１( ) ＝２０１６＝２５×３２×７, 则共有６×３×２－２＝３４(组)． 三、解答题 １７．解:原方程可化为２x２＋kx－３＝０, ∵原方程的增根为x＝２或x＝－１, 当x＝２时,２×２２＋２k－３＝０,解得k＝－５２ , 当x＝－１时,２× －１( )２＋ －１( ) ×k－３＝０, 解得k＝－１, 又由Δ＝k２－４×２× －３( ) ＝k２＋２４＞０知k可 ! " # $! １３５　 以取任何实数, 所以,当k≠－５２ 且k≠－１时,原方程无增根． １８．解:如图,作函数y＝３ x－４ 的图象,与x 轴 交于点C(４,０),依题意知直线y＝x－a与y＝ ３ x－４ 有两个交点,则４－a＞０,即a＜４． 两 交 点 分 别 为 点 A １２＋a４ ,１２－３a ４( ) 、 B １２－a２ ,１２－３a ２( ) ,作AD⊥x轴于点D,BE⊥ x 轴 于 点E,则 S△ABC ＝S四边形ADEB －S△ACD － S△BCE ＝ １２ １２－３a ４ ＋ １２－３a ２( ) １２－a ２ － １２＋a ４( ) －１２ ４－ １２＋a ２( ) × １２－３a ４ － １ ２ １２－a ２ －４( ) × １２－３a ２ ＝ １ ３２ [(３６－９a)(１２－３a)＋(８＋２a)(１２ －３a)－(１６－４a)(１２－３a)]＝ ３３２ (a－４)(３a－ ２８)．其中a＜４． １９．解:(１)甲车开往B地时的速度为６００÷４＝１５０ (km/h),返回A 地时的速度为６００÷(１０－４) ＝１００(km/h), ∴甲车离出发地A 的距离y(km)与行驶时间x (h)之间的函数关系为 y甲 ＝ １５０x,０≤x≤４( ) , －１００x＋１０００, ４＜x≤１０( ) ．{ (２)乙车的速度为６００÷１２＝５０(km/h), 第一次相遇时两车行驶的时间为 ６００÷(１５０＋５０)＝３(h), 第二次相遇时两车行驶的时间为４＋４×５０÷ (１００－５０)＝４＋４＝８(h), 两次相遇的时间间隔为８－３＝５(h), 第二次相遇时的地点与A 地之间的距离为 ６００－１００×[４×５０÷(１００－５０)]＝２００(km)． 答:略． ２０．解:记A＝max(a＋b＋c,b＋c＋d,c＋d＋e,d＋ e＋f,e＋f＋g), 则A≥ １３ [(a＋b＋c)＋(c＋d＋e)＋(e＋f＋ g)]＝１３ [(a＋b＋c＋d＋e＋f＋g)＋c＋e]≥１, 当a＝d＝g＝１,b＝c＝e＝f＝０时,等号成立, ∴min(A)＝１, 即 min[max(a＋b＋c,b＋c＋d,c＋d＋e,d＋e＋ f,e＋f＋g)]＝１． 八年级训练题(十二) 一、选择题 １．D ２．C ３．D ４．B　提示:由三角形三边关系得 ７－５＜x＜７＋５, １２－３＜x＜１２＋３．{ 解得９＜x＜１２,故选B． ５．D　提示:∵△ABE≌△ACD,∠１＝∠２,∠B＝ ∠C,∴AB＝AC,∠BAE＝ ∠CAD,BE＝DC, AD＝AE,∴A、B、C正确,D错误． ６．C　提示:A、B中式子的分母不能为０;D中被开 方数不能为负数． ７．A　提示:２５×０．２＋３０×０．３＋３５×０．４＋５０×０． １＝３３(元)． ８．C　提示:S１＝S２＝２S△ADE． 二、填空题 ９．１≤a＜３２　 提示:２a－３＜０且a－１≥０． １０．P２　提示:如图所示 １１．AC＝BD　提示:由中位线性质可知,HG 平行 且等于AC 的一半,EF 平行且等于AC 的一 半,所以 HG 与EF 平行且相等,所以 EFGH 为平行四边形,又EH 等于BD 的一半且AC＝ BD,所以得到所证四边形的邻边EH 与HG 相 等,所以四边形EFGH 为菱形． １２．(３,２)　提示:原式整理为(x＋２y－７)a－２x－ y＋８＝０,则 x＋２y－７＝０, －２x－y＋８＝０．{ 解得 x＝３, y＝２．{ １３．x＝n＋３或x＝n＋４　提示:由①②③得,方程