训练题 8-“枫叶新希望杯”八年级数学竞赛训练题

NEWHOPECUP ７２　 八年级训练题(八) 一、选择题 １．若A＝ a２＋９( )４ ,则A 的算术平方根是(　　)． A．(a２＋９)４ B．(a２＋９)２ C．a２＋９ D．a＋９ ２．实数a、b在数轴上的位置如图所示,化简 a＋b( )２ －aa－b( )a－b 的结果是(　　)． A．a B．－a C．b D．－b ３．用多项式x３－２x２＋ax－１除以bx－１,得到的商式为x２－x＋２,余式为１,则a、b的值为 (　　)． A． a＝３, b＝１．{ B． a＝１, b＝１．{ C． a＝３, b＝３．{ D． a＝－３, b＝１．{ ４．如图,甲、乙两动点分别从正方形ABCD 的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动,甲按顺 时针方向环行,乙按逆时针方向环行,若乙的速度是甲的速度的４倍,则它们第２０１５次相 遇在边(　　)． A．AB 上 B．BC上 C．CD 上 D．DA 上 (第４题图) 　　　　　　 (第５题图) ５．如图,点P 是函数y＝１２xx＞０( ) 图象上一点,直线y＝－x＋１交x轴于点A,交y轴于点 B,PM⊥x轴于点M,交AB 于点E,PN⊥y轴于点N,交AB 于点F,那么AF􀅰BE 的值 为(　　)． A．１２ B．１ C．２ D．４ ６．在某校举行歌唱比赛,八(１)班５名参赛选手的成绩如下表所示,则这５名选手成绩的方 差为(　　)． A．２ B．６．８ C．３４ D．９３ !"#$%! ７３　 ７．如图,将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折,已知DE＝a,现有下列说法:①DC′平 分∠BDE;②BC的长为(２＋ ２)a;③△BC′D 是等腰三角形;④△C′ED 的周长等于BC 的长．其中正确的个数有(　　)． A．１个 B．２个 C．３个 D．４个 ８．如图,在△ABC中,延长AB 到点D,使得BD＝AC,延长AC到点E,使得CE＝AB,连接 DE,则BC与DE 的数量关系是(　　)． A．BC＞１２DE B．BC≥ １ ２DE C．BC≤ １ ２DE D．BC＜ １ ２DE 二、填空题 ９．分解因式(x２＋３x＋２)(３＋８x＋４x２)－９０的结果是 ． １０．某校足球队年龄分布如条形统计图所示,则这只球队队员年龄的中位数是 岁． (第１０题图) 　　 (第１２题图) 　　 (第１３题图) １１．已知实数a 与非零实数x 满足等式:x２－３＋１x２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ a－１x－x＝０． 则 a－２( )２ ＝ ． １２．如图,在△ABC中,∠ACB＝９０°,AC＝BC＝１,取斜边的中点,向斜边作垂线,画出一个 以点B 为一个底角顶点的新的等腰直角三角形,如此继续下去,直到所画直角三角形的 斜边与BC边重合为止,此时所画的这个直角三角形的斜边长为 ． １３．一次函数y＝kx＋b的图象如图所示,当x 时,y＞２． １４．如图,①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含３０°内角的菱形EFGH(不重叠无缝隙)．若 ①②③④四个平行四边形的面积之和为１４cm２,四边形ABCD 的面积是１１cm２,则①② NEWHOPECUP ７４　 ③④四个平行四边形周长之和为 ． １５．如图,有一块四边形的菜地 ABCD,已知∠B＝１３５°,∠C＝１２０°,AB＝２ ３,BC＝４－ ２２,CD＝４２,则四边形ABCD 的面积为 ． １６．已知N＝１＋１５＋ １ １１＋ １ １９＋ １ ２９＋ １ ４１＋ 􀆺＋ １kk＋１( ) －１＋ 􀆺＋ １１００９９ ,则N 的整数部分为 ． 三、解答题 １７．某电脑商店七、八月出售了五种不同型号的电脑,其售价和销售量如下表所示: (１)该店平均每月销售多少台电脑? (２)总销售数量的中位数和众数分别是多少? (３)经核算各种电脑的利润均为２０％,请根据上述有关信息,选定下月应多进哪个价格的 电脑? 进价是多少? !"#$%! ７５　 １８．某市举办帆船赛,上午９时,参赛帆船从A 港同时出发,其中甲、乙两队在比赛时,路程y (千米)与时间x(小时)的函数关系如图所示．甲队在上午１１时３０分到达终点B 港． (１)哪个队先到达终点? 乙队何时追上甲队? (２)在比赛过程中,甲、乙两队何时相距最远? １９．如图,四边形ABCD 为正方形,△BEF 为等腰直角三角形,连接DF,点G 是DF 的中 点,连接CG、EG．试判断EG、CG 的数量关系和位置关系． ２０．如图,在等腰△ABC 中,AD 是底边BC 上的高,点E 在AC 上,EF⊥BC 于点F,EG⊥ BE 交BC 于点G,且BG＝４DF．求证:BE 平分∠ABC． NEWHOPECUP １２８　 图a 图b 图c 图a中有BM＝DM,∠BMD＝２∠BCD; 图b中∠BDC不存在,有BM＝DM; 图c中有BM＝DM,∠BMD＝３６０°－２∠BCD． 八年级训练题(八) 一、选择题 １．C　提示:A＝ (a２＋９)４ ＝ a２＋９( )２,又a２＋９ ＞０,故A 的算术平方根是a２＋９． ２．D　提示:由图可知,a＜０,b＞０,且|a|＞|b|,所 以a＋b＜０,a－b＞０,所以原式＝ a＋b －a× (－１)＝－a－b＋a＝－b． ３．A　提示:由已知可得x３－２x２＋ax－１＝(bx－ １)(x２－x＋２)＋１,即x３－２x２＋ax－１＝bx３－ (b＋１)x２＋(２b＋１)x－１,∴b＝１,a＝２b＋１＝３． ４．A　提示:由题意得,乙的速度是甲的４倍,故第 １次相遇时甲走了正方形周长的 １２ × １ ５ ＝ １ １０ ; 从第２次相遇起,每相遇１次,甲走了正方形周 长的１ ５ ,５次一个循环．可知从第２次相遇起,每 次相遇的位置依次是:边DC 上、点C 处,边CB 上,边 BA 上,边 AD 上;依 次 循 环,故 它 们 第 ２０１５次相遇的位置与第５次相遇的位置相同, 在AB边上． ５．B　提示:设点P(x,y),过点E、F分别作y 轴、x 轴的垂线,易得AF＝ ２y,BE＝ ２x,AF􀅰BE＝ ２xy＝１． ６．B　提示:３号选手的得分为９２×５－９１－９６－９０ －８９＝９４(分),所以方差为:１５ [(９１－９２)２＋(９６ －９２)２＋(９４－９２)２＋(９０－９２)２＋(８９－９２)２]＝ ６．８． ７．C　提示:由图可知△ABD≌△EBD,∴AD＝ DE＝a,∠DBE＝２２．５°．又 ∵ ∠C＝ ∠ABC＝ ４５°,∴DC＝ ２a,又 ∵ △CDE≌ △C′DE,∴ ∠DC′E＝４５°,∴∠DBE＝∠BDC′＝２２．５°．所以 BC′＝C′D,△BC′D 是等腰三角形．故②③④正 确． ８．B　提示:①当AB≠AC时,以BD、BC为一组邻 边作平行四边形BDGC,如图１,∴DB＝GC＝ AC,∠BAC＝∠GCE,BC＝DG．∵AB＝CE,∴ △ABC≌ △CEG,∴BC＝EG＝DG,在 △DGE 中,DG＋GE＞DE,∴２BC＞DE,即BC＞１２DE． ②当 AB＝AC 时,如图２,∴AB＝AC＝DB＝ CE．∴BC＝１２DE． 综上所述,BC≥１２DE． 图１　　　　　　　图２ 二、填空题 ９．(２x２＋５x＋１２)(２x＋７)(x－１)　提示:原式＝ (x＋１)(x＋２)(２x＋１)(２x＋３)－９０＝(２x２＋５x ＋３)(２x２＋５x＋２)－９０,设y＝２x２＋５x,则原式 ＝(y＋３)(y＋２)－９０＝y２＋５y－８４＝(y＋１２)(y －７)＝(２x２＋５x＋１２)(２x＋７)(x－１)． １０．１５　提示:根据图示信息可得,共有８＋１０＋４ ＋２＝２４(人),则中位数为第１２位和第１３位的 ! " # $! １２９　 平均数,即中位数为１５． １１．５±２　提示:根据已知条件可知:x２－３＋ １x２ ＝０,a－ １x －x＝０ ,故a＝± ５, a－２( )２ ＝ a－２ ＝ ５±２． １２．１８　 提示:由题意知,画到第７个三角形,其斜 边与△ABC的BC 边重叠,∵∠ACB＝９０°,AC ＝BC＝１,∴AB＝ ２．再依次运用勾股定理可 求得所画的第７个直角三角形的斜边长是１８． １３．＜０　提示:由图形可知,该函数的图象过点(０, ２),(３,０),故斜率k＝２－００－３＝－ ２ ３ ,所以解析式 为y＝－２３x＋２ ,令y＞２,即－ ２３x＋２＞２ ,解 得x＜０． １４．４８cm　提示:由①②③④的面积之和为１４cm２ 知△AEB,△BFC,△CGD,△DHA 的 面 积 之 和为７cm２,又四边形ABCD 的面积为１１cm２, 故菱形EFGH 的面积为１１＋７＝１８(cm２),如 图,过点E作EM⊥FG,因为∠EFG＝３０°,所以 EM＝１２FE ,设菱形 EFGH 的边长为a,则有 １ ２a ２＝１８,解得a＝６,故菱形EFGH 的周长为 ２４cm,①②③④四个平行四边形周长＝２×菱 形EFGH 的周长＝２×２４＝４８(cm)． １５．６＋６ ６－４ ３　提示:如图,过点A、D 分别作 AE、DF垂直于直线BC,垂足分别为点E、F．则 四边形ADFE是直角梯形． 由已知得BE＝AE＝ ６,CF＝２ ２,DF＝２ ６, 于是EF＝４＋ ６． S△ABE ＝１２×AE×EB＝３ ; S△CDF ＝１２×CF×DF＝４ ３ ; S梯形ADFE ＝１２ AE＋DF ( ) ×EF＝９＋６ ６． ∴S梯形ABCD ＝S梯形ADFE －S△ ABE －S△ CDF ＝６＋ ６ ６－４ ３． １６．１　提示:一方面,N＝１＋ １５ ＋ １ １１＋ １ １９＋ １ ２９＋ １ ４１＋ 􀆺＋ １kk＋１( ) －１＋ 􀆺＋ １１００９９＞１ ,另一方 面,N＝１＋ １５ ＋ １ １１＋ １ １９＋ １ ２９＋ １ ４１＋ 􀆺 ＋ １ kk＋１( ) －１＋ 􀆺＋ １１００９９＜１＋ １ ２＋ １ ６＋ １ １２＋ １ ２０＋ １ ３０＋ １ ４２＋ 􀆺＋ １kk＋１( ) ＋ 􀆺＋ １９９×１００＝ １＋ １－１２( ) ＋ １ ２－ １ ３( ) ＋􀆺＋ １ ９９－ １ １００( ) ＝ ２－ １１００＜２ ,从而１＜N＜２,故 N 的整数部分为 １． 三、解答题 １７．解:(１)[(１２＋２０＋８＋４＋２)＋(２０＋４０＋１０＋８ ＋２)]÷２＝６３(台)． (２)观察图表可知:七、八月份出售的电脑中, ３０００元的电脑售出了６０台,数量最多,故众数 是３０００,根据中位数的求法可知第６３,６４位的 数都是３０００,可求得中位数是３０００,故中位数 和众数都是３０００． (３)３２×２５００×２０％＝１６０００(元),６０×３０００× ２０％＝３６０００(元),１８×３５００×２０％ ＝１２６００ (元),１２×４０００×２０％＝９６００(元),４×４５００× ２０％＝３６００(元),所以选定下月应多进售价为 ３０００元 的 电 脑,进 价 是 ３０００÷ (１＋２０％)＝ ２５００(元/台)．答:略． １８．解:(１)乙队先到达终点,对于乙队,x＝１时,y ＝１６,所以y＝１６x,对于甲队,出发１小时后, 设y与x 关系为y＝kx＋b,将x＝１,y＝２０和x ＝２．５,y＝３５分别代入上式得 ２０＝k＋b, ３５＝２．５k＋b．{ 解 得 y＝１０x＋１０,解 方 程 组 y＝１６x, y＝１０x＋１０．{ 得x＝ ５ ３ ,即出发１小时４０分钟 NEWHOPECUP １３０　 后乙队追上甲队． (２)１小时之内,两队相距最远距离是４千米, 乙队追上甲队后,两队的距离是１６x－(１０x＋ １０)＝６x－１０,当x为最大,即x＝３５１６ 时,６x－１０ 最大,此时最大距离为６×３５１６－１０＝３．１２５＜４ , 所以比赛过程中甲、乙两队在出发后１小时相距 最远． １９．解:CG＝EG,CG⊥EG． 如图,延长EG到点H,使GH＝EG,连接EC、 DH、CH．可证明△EFG≌△HDG． ∴∠EFG＝ ∠HDG＝ ∠１＋ ∠３,DH＝EF＝ BE,EG＝HG．又９０°－∠２＋９０°－∠３＋∠１＋ ∠３＝１８０°,∴ ∠１＝ ∠２．∴ △BCE≌ △DCH, ∴CE＝CH,∴∠BCE＝∠DCH．∴∠ECH＝ ∠BCD＝９０°．在 Rt△ECH 中,点G 是EH 中 点,∴CG＝１２EH＝EG ,CG⊥EG． ２０．证明:如图,延长GE交BA 的延长线于点K,过 点E 作EM ∥BC 交AB 于点 M,交 AD 于点 N,∵AB＝AC,AD⊥BC,∴MN＝NE＝DF,∴ EM＝２DF＝１２BG ,又EM∥BC,∴点E 是GK 的中点,又BE⊥GK,∴BE平分∠ABC． 八年级训练题(九) 一、选择题 １．D　提示:显然,当n＝５时,２０n＝１００,是完全平 方式． ２．D ３．B　提示:∵四边形ABCD 是菱形,对角线AC＝ ８cm,BD ＝６cm,∴AO＝４cm,BO＝３cm,在 Rt△AOB中,AB＝ AO２＋BO２ ＝５cm, ∵１２BD×AC＝AB×DH ,∴DH＝２４５cm． ４．C　提示:∵(２a＋２b＋１)(２a＋２b－１)＝６３,[２(a ＋b)]２－１２＝６３,∴a＋b＝±４． ５．D　提示:根据题意可得 ５－a＞０, a－１＞０．{ 解得１＜a＜ ５． ６．A　提示:函数y１ 与y２ 的图象都经过(－１,１)和 (２,２)两点,且函数y１ 图象关于y轴对称． ７．B　 提 示:原 方 程 可 化 为 x－a－bc －１( ) ＋ x－b－c a －１( ) ＋ x－c－a b －１( ) ＝ ０, 即 x－a－b－c( ) １a＋ １ b＋ １ c( ) ＝０,又 １ a ＋ １ b ＋ １ c≠０ ,故x＝a＋b＋c． ８．B　提示:如图,作 DH∥BC,交AB 于点 H,交 AM 于点R．∵△ABC 为等腰三角形,且AM 平 分∠BAC．∴点 M 为BC 中点,且 AM⊥BC,∵ BD 平分∠ABC,且GF⊥BD,∴△FGB 为等腰 三角形,且点D 为FG 的中点,又∵HD∥BF,∴ HD＝ １２BF ,且 点 R 为 HD 中 点,即 HD＝ ２RD,可以发现四边形RMND 为矩形,于是RD ＝MN．∴MN＝RD＝１２HD＝ １ ４BF． 二、填空题 ９．２０１５ 提 示:a ≥２０１５,则 a ＝ a－２０１５ ＋ ２０１４－a ＝ a－２０１５ ＋ a － ２０１４, 即 a－２０１５＝２０１４,a－２０１４２＝２０１５． １０．－(２x２－３x＋２)２　提示:设３x２－x－１＝A,x２ ＋２x－３＝B,则４x２＋x－４＝A＋B． ∴原式＝４AB－(A＋B)２＝－A２－B２＋２AB＝