训练题 5-“枫叶新希望杯”八年级数学竞赛训练题

!"#$%! ６３　 八年级训练题(五) 一、选择题 １．下列计算正确的是(　　)． A．４x－x＝４ B．x２􀅰x３＝x５ C．(x２)３＝x５ D．(xy２)３＝xy６ ２．有下列说法:①由２a＋３＝２b－３得到a＝b;②由５ab＝６b得到５a＝６;③由xy＝７得到y ＝７x ;④由x≠０得到x＋１x＝１ ,其中正确的有(　　)． A．１个 B．２个 C．３个 D．４个 ３．我们把两个能够完全重合的图形称为全等图形,则下列命题中真命题是(　　)． A．有一条边长对应相等的两个矩形是全等图形 B．有一个内角对应相等的两个菱形是全等图形 C．有两条对角线对应相等的两个矩形是全等图形 D．有两条对角线对应相等的两个菱形是全等图形 ４．要使等式 x －３x＋３ ＝０ 成立,x的值应为(　　)． A．３ B．－３ C．±３ D．任意实数 ５．如图,在△ABC中,BD 平分∠ABC交AC 于点E,CD 平分∠ACB 交AB 于点F,且∠A ＝７０°,那么∠BDC的度数是(　　)． A．７０° B．１１５° C．１２５° D．１４５° (第５题图) 　　　　 (第６题图) ６．如图,在△ABC 中,∠B＝∠C,点 D 在BC 上,∠BAD＝５０°,在 AC 上取一点E,使得 ∠ADE＝∠AED,则∠EDC的度数是(　　)． A．２０° B．２５° C．３０° D．４５° ７．希希和望望两人３次都同时到某个文具店购买中性笔,希希每次买a(a为正整数)只中性 笔,望望每次购买中性笔用去２a元．由于市场方面的原因,虽然这３次文具店出售的中性 笔都是一样的,但单价分别为１．８元、２．２元、２元,比较希希３次买笔的平均单价P 与望 望３次买笔的平均单价Q,结果是(　　)． A．P＜Q B．P＞Q C．P＝Q D．由a的值确定 PUECPOWHEN ６４　 (第８题图) ８．如图,在五边形 ABCDE 中,AB＝AE,BC＋DE＝CD, ∠ABC＋∠AED＝１８０°,∠CDE＝１１０°,则∠ADE 的度 数是(　　)． A．４５° B．５０° C．５５° D．６０° 二、填空题 ９．计算(－２)２０１４＋(－２)２０１５的结果为 ． １０．分解因式(x２＋４x＋８)２＋３x(x２＋４x＋８)＋２x２＝ ． １１．一个数的平方根是a２＋b２和４a－６b＋１３,这个数是 ． １２．已知正整数x、y满足xy＋２y＋x－４＝０,则x＝ ,y＝ ． １３．对于正数x,规定f(x)＝ x１＋x ,例如f(３)＝ ３１＋３ ,f １３ æ è ç ö ø ÷ ＝ １ ３ １＋１３ ＝１４． 计算f １２０１４ æ è ç ö ø ÷ ＋ f １２０１３ æ è ç ö ø ÷ ＋f １２０１２ æ è ç ö ø ÷ ＋􀆺＋f １３ æ è ç ö ø ÷ ＋f １２ æ è ç ö ø ÷ ＋f(１)＋f(２)＋f(３)＋􀆺＋f(２０１２)＋ f(２０１３)＋f(２０１４)＝ ． １４．如图,△ABC和△ADE 都是等腰直角三角形,∠BAC＝∠DAE＝９０°,四边形ACDE 是 平行四边形,在不添加辅助线的情况下,图中与△ACE 全等的三角形共有 个． (第１４题图) 　　　　 (第１５题图) １５．将钝角三角形纸片AEF 按如图所示的方式折叠,使得点E、F 都与点A 重合,折痕分别 为BM、CN,连接MN,则MN、AB、AC、BC之间的数量关系是 ． １６．在等腰 △ABC 中,若 BD 是一腰上的高,且 ∠ABD＝５０°,则 △ABC 顶角的度数为 ． 三、解答题 整理２０分钟后,张老师需要再单独整理２０分钟才能完成 １７．创新希望组委会新到一批图书,若李老师单独整理需要４０分钟,若李老师和张老师共同 ． (１)问张老师单独整理需要多少分钟完工? (２)若张老师因工作需要,她整理的时间不超过３０分钟,则李老师至少要整理多少分钟? !"#$%! ６５　 １８．如图,直线l是线段AB 的中垂线,点P 在直线l的右侧,则点P 到点A、B 的距离有何关 系? 请写出你的结论,并说明理由． １９．若能将３x２－４x＋７表示成a(x＋１)２＋b(x＋１)＋c的形式,求证:c－a＋b＝１． ２０．已知在Rt△ABC中,∠C＝９０°,AC＝BC＝２．将一块直角三角板的直角顶点放在斜边 AB 的中点P 处,将三角板绕点P 旋转,三角板的两直角边分别交线段AC、CB 于点D、 E．如图１、２是旋转三角板得到的图形中的两种情况． (１)如图１,三角板绕点P 旋转,当PD⊥AC时,求证:PD＝PE． (２)当PD 与AC 不垂直时,如图２,PD＝PE 还成立吗? 并证明你结论． (３)如图２,三角板绕点P 旋转,当△PEB 成为等腰三角形时,求CE 的长． NEWHOPECUP １２２　 即 １ x＋１＝ ５ ２４ , １ y＋１＝ ７ ２４ , １ z＋１＝ １ ２４． ì î í ï ï ï ï ï ï 解得 x＝１９５ , y＝１７７ , z＝２３． ì î í ï ïï ï ï ２０．证明:延长AB、AE,交直线CD 于点F、G． ∵ ∠ABC ＝ ∠AED,∴ ∠FBC ＝ ∠GED． ∵∠BCM＝∠EDM,∴∠BCF＝∠EDG． 在△BCF与△EDG中, ∠FBC＝∠GED, BC＝ED, ∠BCF＝∠EDG, ì î í ïï ï ∴△BCF≌△EDG,∴∠F＝∠G,FC＝GD． ∴AG＝AF,∵CM＝MD,∴FM＝MG, ∴在△AMF与△AMG中, AM＝AM, FM＝MG, AF＝AG． ì î í ïï ï ∴△AMF≌△AMG, ∴∠AMF＝∠AMG＝９０°,∴AM⊥CD． 八年级训练题(五) 一、选择题 １．B ２．A　提示:只有③正确． ３．D ４．A　提示:根据题意,得 x －３＝０且x＋３≠０, 解得x＝３． ５．C　提示:∵∠A＝７０°,∴∠ABC＋∠ACB＝１８０° －∠A＝１８０°－７０°＝１１０°,∵BE、CF 是△ABC 的角平分线,∴∠EBC＋∠FCB＝ １２ (∠ABC＋ ∠ACB)＝５５°,∴∠BDC＝１８０°－５５°＝１２５°． ６．B　 提 示:∠DAE＝１８０°－２∠AED＝１８０°－ ２∠EDC－２∠C,而１８０°＝２∠C＋５０°＋∠DAE ＝２∠C＋５０°＋(１８０°－２∠EDC－２∠C)＝１８０° ＋５０°－２∠EDC,故２∠EDC＝５０°,即∠EDC＝ ２５°． ７．B　提示:P＝(１．８×a＋２．２×a＋２×a)÷３a＝ ２,Q＝３×２a÷(２a÷１．８＋２a÷２．２＋２a÷２)≈ １􀆰９９＜２． ８．C　提示:如图,延长DE 至点F,使得EF＝BC, 连接AC、AF． ∵∠ABC＋∠AED＝１８０°,∠AEF＋ ∠AED＝ １８０°,∴∠ABC＝∠AEF．∵AB＝AE,BC＝EF, ∴△ABC≌△AEF,∴EF＝BC,AC＝AF．∵BC ＋DE＝CD,∴CD＝DE＋EF＝DF,又AD 为公 共边,∴△ADC≌△ADF,∴∠ADC＝∠ADF, 即AD 平分∠CDE,∵∠CDE＝１１０°,∴∠ADE ＝５５°． 二、填空题 ９．－２２０１４ 　 提 示:原 式 ＝２２０１４ －２２０１５ ＝２２０１４ × １－２( ) ＝－２２０１４． １０．(x＋２)(x＋４)(x＋５＋８)　提示:设x２＋４x＋８ ＝y,则原式＝y２＋３xy＋２x２＝(y＋x)(y＋２x) ＝(x２＋４x＋８＋x)(x２＋４x＋８＋２x)＝(x２＋ ５x＋８)(x２＋６x＋８)＝(x＋２)(x＋４)(x２＋５x ＋８)． １１．１６９　提示:根据题意可得(a２＋b２)＋(４a－６b ＋１３)＝０．∴a２＋４a＋４＋b２－６b＋９＝(a＋２)２ ＋(b－３)２＝０,∴a＝－２,b＝３,∴ a２＋b２( )２＝ １６９． １２．１,１　提示:∵xy＋２y＋x－４＝０,∴xy＋２y＋ (x＋２)－６＝０,(x＋２)(y＋１)＝６,∵x、y均为 正整数,∴x＋２＝３,y＋１＝２,∴x＝１,y＝１． １３．２０１３１２　 提示:原式＝ １２０１５＋ １ ２０１４＋ １ ２０１３＋ 􀆺 ＋１３＋ １ ２＋ ２ ３＋ 􀆺＋２０１４２０１５ ＝ １２０１５＋ ２０１４ ２０１５( ) ＋ １ ２０１４＋ ２０１３ ２０１４( ) ＋􀆺＋ １ ２ ＝ ２０１３×１＋１２＝２０１３ １ ２． １４．３　提示:∵∠BAC＝∠DAE＝９０°,四边形ACＧ DE是平行四边形,所以∠CDA＝９０°,CD＝AE ＝AD,∴△ADC是等腰直角三角形,∴∠CAD ! " # $! １２３　 ＝４５°,∴∠BAD＝９０°＋４５°＝１３５°,∠BAE＝ ３６０°－∠BAD－∠DAE＝１３５°,∠CAE＝９０°＋ ４５°＝１３５°,∴ △ABD ≌ △ABE ≌ △ACE ≌ △DEC,∴图中与△ACE 全等的三角形共有３ 个． １５．MN＝１２ (AB＋BC＋AC)　提示:易证 Rt△AMB≌Rt△EMB,Rt△ANC≌Rt△FNC, ∴AM＝EM,AN＝FN,AB＝EB,AC＝FC． ∴MN∥BC,且 MN＝ １２ (EB＋BC＋CF)＝ MN＝１２ (AB＋BC＋AC)． １６．１４０°或１００°或４０°　提示:若△ABC为钝角三角 形,且∠A 为顶角,则三个内角的大小分别为 １４０°,２０°,２０°;若△ABC 为钝角三角形,且∠A 为底角,则三个内角的大小分别为 １００°,４０°, ４０°;若△ABC为锐角三角形,且∠A 为顶角,则 三个内角的大小分别为４０°,７０°,７０°． 三、解答题 １７．解:(１)设张老师单独整理需要x分钟完工,根 据题意得２０ ４０＋ ２０＋２０ x ＝１ ,解得x＝８０,经检验, x＝８０是原分式方程的解． (２)设李老师要整理y 分钟,根据题意得３０８０＋ y ４０≥１ ,解得y≥２５,即李老师至少要整理２５分 钟．答:略． １８．解:PA＞PB．∵ 点 P 在 直 线l 的 右 边,连 接 AP,则AP 一定与直线l交于一点,记为点C, 连接BC,∵CA＝CB,∴AP＝CA＋CP＝CB＋ CP＞PB,即PA＞PB． １９．证明:令x＋１＝t,则x＝t－１,３x２－４x＋７＝ ３(t－１)２－４(t－１)＋７＝３t２ －１０t＋１４＝ ３(x＋１)２－１０(x＋１)＋１４, ∴a＝３,b＝－１０,c＝１４． 则c－a＋b＝１４－３－１０＝１． ２０．证明:(１)∵∠C＝９０°,AC＝BC,点P 是AB 的 中点,∴∠A＝∠B＝４５°,AP＝PB, ∵PD⊥AC,PD⊥PE, ∴∠ADP＝∠PEB＝９０°, 在△ADP 和△BEP 中, ∠A＝∠B, ∠ADP＝∠BEP, AP＝BP, ì î í ïï ï ∴△ADP≌△BEP, ∴PD＝PE． (２)当PD 与AC 不垂直时PD＝PE依然成立． 证明:连接PC, ∵△ABC是等腰直角三角形,点P 是AB 的中 点, ∴CP＝PB,CP⊥AB,∠ACP＝ １２ ∠ACB＝ ４５°,即∠ACP＝∠B＝４５°, ∵∠DPC＋∠CPE＝∠BPE＋∠CPE＝９０°, ∴∠DPC＝∠BPE, 在△PCD 和△PBE中, ∠DCP＝∠B, PC＝PB, ∠DPC＝∠BPE, ì î í ïï ï ∴△PCD≌△PBE, ∴PD＝PE． (３)有如下三种情况: ①当PE＝PB,即点C与点E 重合时,CE＝０; ②当PE＝BE时,CE＝１, ③当BE＝PB时,CE＝２－ ２． 八年级训练题(六) 一、选择题 １．C　提示:边数为９＋３＝１２,内角和为 １２－２( ) × １８０°＝１８００°． ２．B　提示:原式＝ －８×１８( ) ２０１５ ＝－１． ３．C　提示:原式＝(１＋x＋x２)＋x３(１＋x＋x２)＋ 􀆺＋x２０１２(１＋x＋x２)＝０＋０＋􀆺＋０＝０． ４．C　提示:过点C 作CE∥b,∵a∥b,∴a∥b∥ CE,∴ ∠ACE ＝ ∠２,∠BCE ＝ ∠１＝２０°,∵ △ABC为等边三角形,∴∠ACB＝６０°,∴∠１＋ ∠２＝∠ACB＝６０°,∠２＝４０°．