训练题 4-“枫叶新希望杯”八年级数学竞赛训练题

NEWHOPECUP ６０　 八年级训练题(四) 一、选择题 １．如图是一个直三棱柱的平面展开图,其中AD＝１０,CD＝２,则AB 的长度可能为(　　)． A．５ B．４ C．３ D．２ (第１题图) 　　　　　 (第２题图) 　　　　　 (第３题图) ２．如图,将正方形OABC放在平面直角坐标系中,点O 是原点,点A 的坐标为(１,３),则点 C的坐标为(　　)． A．(－ ３,１) B．(－１,３) C．(３,１) D．(－ ３,－１) ３．如图,在△ABC中,AB＝AC,∠A＝３０°,以点B 为圆心,BC 的长度为半径画圆弧,交AC 于点D,连接BD,则∠ABD＝(　　)． A．３０° B．４５° C．６０° D．９０° ４．已知x２＋y２－xy＋x＋y＋１＝０,则１x＋ １ y 的值等于(　　)． A．－２ B．０ C．１ D．２ ５．已知关于x的分式方程 mx－１＋ ３ １－x＝１ 的解是非负数,则m 的取值范围是(　　)． A．m＞２ B．m≥２ C．m≥２且m≠３ D．m＞２且m≠３ ６．若x２＋x－n(n为１到１００之间的整数)能分解为两个整系数一次式之积,则这样的n有 (　　)． A．１个 B．４个 C．７个 D．９个 ７．如图,在△ABC中,AM＝３５AB ,BP＝QC＝２７BC ,NC＝３５AC ,则MO OQ＝ (　　)． A．７８ B． １７ １９ C． ３３ ３５ D． ３８ ４５ !"#$%! ６１　 ８．若一个整数不能表示为两个正整数的平方差,则称这个正整数为“奇异数”(如３＝２－１,８ ＝３－１不是奇异数,而２,４是奇异数),把所有奇异数按从小到大的顺序排成一列,第 ２０１５个奇异数是(　　)． A．８０４２ B．８０４６ C．８０５０ D．８０５２ 二、填空题 ９．等腰三角形有一个外角是１００°,那么它的顶角的度数为 ． １０．如图,在△ABC中,中线CE 与高CD 三等分∠ACB,则∠B＝ 度． (第１０题图) 　　　　 (第１４题图) １１．从五张点数分别为１,２,３,４,５的扑克牌中任意抽取两张,其点数之积为奇数的概率为 ． １２．已知a、b是方程x２－x－３＝０的两个根,则代数式２a３＋b２＋３a２－１１a－b＋５的值为 ． １３．一批货物准备运往某地,现有甲、乙、丙三辆卡车可租用．已知甲、乙两车单独运完这批货 物分别要２p次、p次;若甲、丙两车合运相同的次数把货物运完,则甲车共运２００吨;若 乙、丙两车合运相同的次数把货物运完,则乙车共运３００吨．若甲、乙、丙三辆车合运相同 的次数把货物运完,则甲车共运 吨． １４．将△ABC和△ADE 按如图所示的方式摆放,点C在DE 上,AD 交BC 于点F,BC＝DE ＝１２,∠BAC＝∠DAE＝９０°,∠B＝∠D＝３０°,则线段CF＝ ． １５．若 x＋２ 是 多 项 式 x３ ＋x２ ＋ax＋b 的 一 个 因 式,且 ２a＋３ab＋b≠０,则 分 式 ab２－４a３＋b３－４a２b ２a２＋３ab＋b２ ＝ ． １６．若a＋b＋c＝０,a２＋b２＋c２＝２,则a４＋b４＋c４＋ab＋bc＋ca＝ ． 三、解答题 １７．求证:不论x取何实数,多项式－２x４＋１２x３－１８x２的值都不会是正数． NEWHOPECUP ６２　 １８．边长为２的等边三角形中有５个点,求证:至少有两个点,它们的距离小于１． １９．解方程组 xy＋x＋y＋１ x＋y＋２ ＝２ , yz＋y＋z＋１ y＋z＋２ ＝３ , zx＋z＋x＋１ z＋x＋２ ＝４． ì î í ï ï ïï ï ï ï ２０．如图,∠B＝∠E,∠C＝∠D,BC＝DE,点M 为CD 的中点．求证:AM⊥CD． NEWHOPECUP １２０　 １５．－ ２３ 　 提 示:a ２－２a＋１ a２＋５a＋４× a＋４ a２－１－ １ a＋１＝ a－１( )２ a＋１( ) a＋４( ) × a＋４ a＋１( ) a－１( ) － １ a＋１ ＝ a－１ a＋１( )２－ １ a＋１＝ －２ a＋１( )２ ,由a２＋２a－２＝０ 可知 a＋１( )２＝３,则 －２a＋１( )２＝－ ２ ３． １６．３n＋１　提示:由图可知每剪一次就多出三个正 三角形,∴an＝３n＋１． 三、解答题 １７．解:∵a、b、c为三角形的三边, ∴a＋b＞c,b＋c＞a,a＋c＞b,c＋b＞a, ∴a＋b－c＞０,a－b－c＜０,b－a－c＜０,c＋b－ a＞０, ∴原式＝a＋b－c＋b＋c－a＋b－a－c－c－b＋ a＝２b－２c． １８．(１)证明:∵将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋 转９０°后得CE, ∴CD＝CE,∠DCE＝９０°, ∵∠ACB＝９０°, ∴∠BCD＝９０°－∠ACD＝∠FCE, 在△BCD 和△FCE中, CB＝CF, ∠BCD＝∠FCE, CD＝CE, ì î í ïï ï ∴△BCD≌△FCE． (２)解:由(１)可知△BCD≌△FCE, ∴∠BDC＝∠E,∠BCD＝∠FCE, ∴ ∠DCE ＝ ∠DCA ＋ ∠FCE ＝ ∠DCA ＋ ∠BCD＝∠ACB＝９０°, ∵EF∥CD,∴∠E＝１８０°－∠DCE＝９０°, ∴∠BDC＝９０°． １９．解:△CFG为等腰直角三角形．理由如下: ∵△ABC、△CDE 都为等腰直角三角形,直角 顶点均为点C, ∴AC＝BC,CD ＝CE,∠ACD ＋ ∠ACE ＝ ∠BCE＋∠ACE＝９０°,∴∠ACD＝∠BCE, ∴△ACD≌△BCE, ∴∠CAD＝∠CBE,AD＝BE, ∵点F、G分别为AD、BE的中点,∴AF＝BG, 又∵AC＝BC,∴△ACF≌△BCG,∴CF＝CG, ∠ACF＝∠BCG, ∴∠FCG＝∠ACF＋∠ACE＋∠ECG＝∠BCG ＋∠ACE＋∠ECG＝∠ACB＝９０°, ∴△CFG为等腰直角三角形． ２０．解:(１)设该种干果第一次的进价是每千克x 元,则第二次的进价是每千克(１＋２０％)x 元, 由题意,得 ９０００ １＋２０％( )x＝２× ３０００ x ＋３００ ,解得 x＝５,经检验,x＝５是方程的解．答:略． (２)３０００５ ＋ ９０００ ５× １＋２０％( ) －６００[ ] ×９＋６００× ９×８０％－(３０００＋９０００)＝(６００＋１５００－６００) ×９＋４３２０－１２０００＝１５００×９＋４３２０－１２０００＝ １３５００＋４３２０－１２０００＝５８２０(元)． 答:略． 八年级训练题(四) 一、选择题 １．B　提示:由图可知,AD＝AB＋BC＋CD,∵AD ＝１０,CD＝２,∴AB＋BC＝８,设AB＝x,则BC ＝８－x,∴ ８－x＜x＋２, ８－x＞x－２．{ 解得３＜x＜５,∴AB 的长为４． ２．A　提示:如图,过点A 作AD⊥x轴于点D,过 点C作CE⊥x轴于点E,易得△AOD≌△OCE． ３．B　提示:易知△BCD 与△ABC 都是底角为７５° 的等腰三角形,再由外角得∠ABD＝７５°－３０°＝ ４５°． ４．A　提示:２x２＋２y２－２xy＋２x＋２y＋２＝０, 即(x－y)２＋(x＋１)２＋(y＋１)２＝０, 则x＝y＝－１． ５．C　提示:去分母得 m－３＝x－１,即x＝m－２, 由方程的解为非负数得m－２≥０,且m－２≠１, ! " # $! １２１　 解得m≥２且m≠３． ６．D　提示:设x２＋x－n＝(x＋p)(x－q)＝x＋(p －q)x－pq,则p－q＝１,pq＝n,即n为两个连续 的整数的乘积,这样的n有２,６,１２,２０,３０,４２, ５６,７２,９０,共９个． ７．D　 提示:S△ MNP ＝S△ABC －S△AMN －S△BMP － S△ NPC ＝ １－３５× ２ ５－ ２ ５× ２ ７－ ５ ７× ３ ５( ) × S△ABC＝３８１７５S△ABC ,S△ NPQ ＝ ３５S△ NPC ＝ ３ ５ × ３ ５ × ５７ S△ABC ＝ ９ ３５S△ABC ,则 MO OQ ＝ S△ MNP S△QNP ＝ ３８ １７５S△ABC ９ ３５S△ABC ＝３８４５． ８．C　提示:形如４k－２(k≥１,k为正整数)的数是 奇异数,∵s＝m２－n２＝(m＋n)(m－n),∴s是奇 数或４的倍数,(m＋n与m－n的奇偶性相同), 又１,４ 是奇异数,∴ 第 ２０１５ 个奇异数 是 ４× (２０１５－２)－２＝８０５０． 二、填空题 ９．８０°或２０°　提示:顶角的外角为１００°或底角的外 角为１００°． １０．３０　提示:作EF⊥BC于点F,则EF＝DE＝１２ AE＝１２BE ,则∠B＝３０°． １１．３１０　 提示:共有５×４ ２ ＝１０ (种)抽法,其中积为 奇数的有１×３,３×５,１×５,共３种． １２．２３　提示:∵a、b是方程x２－x－３＝０的两个 根,∴a２－a－３＝０,b２－b－３＝０,即a２＝a＋３, b２＝b＋３,∴２a３ ＋b２ ＋３a２ －１１a－b＋５＝ ２a(a＋３)＋b＋３＋３(a＋３)－１１a－b＋５＝２a２ －２a＋１７＝２(a＋３)－２a＋１７＝２a＋６－２a＋１７ ＝２３． １３．１２０　提示:设甲车每次运x 吨,乙每次运２x 吨,丙每次运y吨,则２００＋２００x 􀅰y＝３００＋３００２x 􀅰y,解 得 yx ＝２ ,则 总 货 物 共 ３００×２＝６００ (吨),三辆车合运相同次数把货物运完,甲车共 运６００× xx＋２x＋２x＝１２０ (吨)． １４．３　提示:易证△ACE为等边三角形,则点C 为 DE 的中点,∠DCF＝６０°＝∠E,CF∥AE,CF ＝１２AE＝ １ ２× １ ２DE＝３． １５．４　提示:∵x＋２是多项式x３＋x２＋ax＋b的 一个因式,∴当x＝－２时多项式等于０,解得b － ２a ＝ ４, 原 式 ＝ (a＋b)(b２－４a２) (２a＋b)(a＋b) ＝ (b－２a)(b＋２a) ２a＋b ＝b－２a＝４． １６．１　提示:(a＋b＋c)２＝a２＋b２＋c２＋２ab＋２bc＋ ２ac＝０,∵a２＋b２＋c２＝２,∴ab＋bc＋ac＝－１, ∴(ab＋bc＋ca)２＝a２b２＋b２c２＋c２a２＋２abc(a ＋b＋c)＝１,∴a２b２ ＋b２c２ ＋c２a２ ＝１,∵ (a２＋b２＋c２)２＝a４＋b４＋c４＋２a２b２＋２b２c２ ＋ ２c２a２＝４,∴a４＋b４＋c４＝２,a４＋b４＋c４＋ab＋ bc＋ac＝２－１＝１． 三、解答题 １７．证明:原式＝－２x２(x２－６x＋９)＝－２x２(x－ ３)２,∵－２x２≤０,(x－３)２≥０,∴－２x２(x－３)２ ≤０,所以不论x取何实数,多项式－２x４＋１２x３ －１８x２的值都不会是正数． １８．证明:如图,将等边三角形分成４个边长为１的 小等边三角形,由抽屉原理知必有一个小三角 形内(包括边)含有２个或２个以上的点,这２ 个点的距离小于小三角形的边长,即小于１． １９．解:将方程组中各方程先取倒数,得 １ x＋１＋ １ y＋１＝ １ ２ , １ y＋１＋ １ z＋１＝ １ ３ , １ z＋１＋ １ x＋１＝ １ ４． ì î í ï ï ï ï ï ï 设A＝ １x＋１ ,B＝ １y＋１ ,C＝ １ z＋１ ,则 A＋B＝１２ , B＋C＝１３ , C＋A＝１４． ì î í ï ï ï ï ï ï 解得 A＝５２４ , B＝７２４ , C＝１２４． ì î í ï ï ï ï ï ï NEWHOPECUP １２２　 即 １ x＋１＝ ５ ２４ , １ y＋１＝ ７ ２４ , １ z＋１＝ １ ２４． ì î í ï ï ï ï ï ï 解得 x＝１９５ , y＝１７７ , z＝２３． ì î í ï ïï ï ï ２０．证明:延长AB、AE,交直线CD 于点F、G． ∵ ∠ABC ＝ ∠AED,∴ ∠FBC ＝ ∠GED． ∵∠BCM＝∠EDM,∴∠BCF＝∠EDG． 在△BCF与△EDG中, ∠FBC＝∠GED, BC＝ED, ∠BCF＝∠EDG, ì î í ïï ï ∴△BCF≌△EDG,∴∠F＝∠G,FC＝GD． ∴AG＝AF,∵CM＝MD,∴FM＝MG, ∴在△AMF与△AMG中, AM＝AM, FM＝MG, AF＝AG． ì î í ïï ï ∴△AMF≌△AMG, ∴∠AMF＝∠AMG＝９０°,∴AM⊥CD． 八年级训练题(五) 一、选择题 １．B ２．A　提示:只有③正确． ３．D ４．A　提示:根据题意,得 x －３＝０且x＋３≠０, 解得x＝３． ５．C　提示:∵∠A＝７０°,∴∠ABC＋∠ACB＝１８０° －∠A＝１８０°－７０°＝１１０°,∵BE、CF 是△ABC 的角平分线,∴∠EBC＋∠FCB＝ １２ (∠ABC＋ ∠ACB)＝５５°,∴∠BDC＝１８０°－５５°＝１２５°． ６．B　 提 示:∠DAE＝１８０°－２∠AED＝１８０°－ ２∠EDC－２∠C,而１８０°＝２∠C＋５０°＋∠DAE ＝２∠C＋５０°＋(１８０°－２∠EDC－２∠C)＝１８０° ＋５０°－２∠EDC,故２∠EDC＝５０°,即∠EDC＝ ２５°． ７．B　提示:P＝(１．８×a＋２．２×a＋２×a)÷３a＝ ２,Q＝３×２a÷(２a÷１．８＋２a÷２．２＋２a÷２)≈ １􀆰９９＜２． ８．C　提示:如图,延长DE 至点F,使得EF＝BC, 连接AC、AF． ∵∠ABC＋∠AED＝１８０°,∠AEF＋ ∠AED＝ １８０°,∴∠ABC＝∠AEF．∵AB＝AE,BC＝EF, ∴△ABC≌△AEF,∴EF＝BC,AC＝AF．∵BC ＋DE＝CD,∴CD＝DE＋EF＝DF,又AD 为公 共边,∴△ADC≌△ADF,∴∠ADC＝∠ADF, 即AD 平分∠CDE,∵∠CDE＝１１０°,∴∠ADE ＝５５°． 二、填空题 ９．－２２０１４ 　 提 示:原 式 ＝２２０１４ －２２０１５ ＝２２０１４ × １－２( ) ＝－２２０１４． １０．(x＋２)(x＋４)(x＋５＋８)　提示:设x２＋４x＋８ ＝y,则原式＝y２＋３xy＋２x２＝(y＋x)(y＋２x) ＝(x２＋４x＋８＋x)(x２＋４x＋８＋２x)＝(x２＋ ５x＋８)(x２＋６x＋８)＝(x＋２)(x＋４)(x２＋５x ＋８)． １１．１６９　提示:根据题意可得(a２＋b２)＋(４a－６b ＋１３)＝０．∴a２＋４a＋４＋b２－６b＋９＝(a＋２)２ ＋(b－３)２＝０,∴a＝－２,b＝３,∴ a２＋b２( )２＝ １６９． １２．１,１　提示:∵xy＋２y＋x－４＝０,∴xy＋２y＋ (x＋２)－６＝０,(x＋２)(y＋１)＝６,∵x、y均为 正整数,∴x＋２＝３,y＋１＝２,∴x＝１,y＝１． １３．２０１３１２　 提示:原式＝ １２０１５＋ １ ２０１４＋ １ ２０１３＋ 􀆺 ＋１３＋ １ ２＋ ２ ３＋ 􀆺＋２０１４２０１５ ＝ １２０１５＋ ２０１４ ２０１５( ) ＋ １ ２０１４＋ ２０１３ ２０１４( ) ＋􀆺＋ １ ２ ＝ ２０１３×１＋１２＝２０１３ １ ２． １４．３　提示:∵∠BAC＝∠DAE＝９０°,四边形ACＧ DE是平行四边形,所以∠CDA＝９０°,CD＝AE ＝AD,∴△ADC是等腰直角三角形,∴∠CAD