训练题 2-“枫叶新希望杯”八年级数学竞赛训练题

NEWHOPECUP ５４　 八年级训练题(二) 一、选择题 １．如果三角形两条边的垂直平分线的交点在第三边上,那么这个三角形是(　　)． A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 ２．下列说法正确的是(　　)． A．－３的倒数是１３ B．－２ 的绝对值是－２ C．－(－５)的相反数是－５ D．x取任意实数时,４x 都有意义 (第３题图) ３．如图,在Rt△ABC中,∠C＝９０°,AD 平分∠BAC,交BC 于点D,且CD∶BD＝１∶２,则(　　)． A．０°＜∠B＜１５° B．∠B＝１５° C．１５°＜∠B＜３０° D．∠B＝３０° ４．将分式方程１－ ２xx－１＝ ３ x－１ 去分母,得到的整式方程正确的是(　　)． A．１－２x＝３ B．x－１－２x＝３ C．１＋２x＝３ D．x－１＋２x＝３ ５．在△ABC中,∠ABC＝３０°,边AB＝９,边AC 的可能取值为４．５,５,７,９,满足这些条件且 互不全等的三角形的个数有(　　)． A．６个 B．７个 C．８个 D．非以上答案 ６．若多项式x２＋mx＋５因式分解得(x＋５)(x＋n),则２m－n为(　　)． A．１０ B．１１ C．１２ D．１３ ７．已知实数a、b、c满足a＋b＋c≠０,且 ab＋c＝ b c＋a＝ c a＋b＝k ,则直线y＝kx＋m(m＞０)不 通过(　　)． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ８．如图,把一张长方形纸片对折,折痕为AB,再以AB 的中点O 为顶点,把平角∠AOB 三等 分,沿平角的三等分线折叠,将折叠后的图形沿虚线CD 剪出一个直角△OCD,那么剪出 的直角△OCD 全部展开铺平后得到的平面图形一定是(　　)． A．正三角形 B．直角三角形 C．正方形 D．正六边形 !"#$%! ５５　 二、填空题 ９．分解因式x３－３x２＋４＝ ． １０．等腰三角形ABC中,底边BC＝１０,且 AB－BC ＝５,则AB＝ ． １１．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的方式摆放,其中正四边形和正五边形的下 底边是水平共线的．如果∠１＝５５°,那么∠２＝ ． (第１１题图) 　　 (第１２题图) 　　 (第１３题图) １２．王刚家的住房结构如图所示(单位:米),王刚准备把客厅和卧室铺上地板,至少需要 平方米的地板． １３．如图,在平面直角坐标系中,已知点A(２,－３)、B(－２,－１),在x轴上存在点P 到A、B 两点的距离之和最小,则点P 的坐标是 ． １４．已知分数a,分子和分母的和为３３,a精确到０．１的近似值是０．８,则a＝ ． (第１６题图) １５．为求１＋２１＋２２＋２３＋􀆺＋２２０１４的值,可令S＝１＋２１＋２２＋２３ ＋􀆺＋２２０１４,则２S＝２１＋２２＋２３＋２４＋􀆺＋２２０１５,因此２S－S ＝S＝２２０１５－１．仿照以上推理,计算１＋３１＋３２＋３３＋􀆺＋ ３２０１４的值是 ． １６．如图,在等边△ABC中,AC＝３,点O 在AC 上,且AO＝１．点 P 是AB 上一点,连接OP,以线段OP 为一边作正△OPD, 且点O、P、D 依次呈逆时针方向,当点D 恰好落在边BC 上 时,AP 的长是 ． 三、解答题 １７．设y＝kx,是否存在实数k,使得代数式(x２－y２)(４x２－y２)＋３x２(４x２－y２)化简后的结 果为x４? 若存在,求出所有满足条件的k的值;若不存在,请说明理由． NEWHOPECUP ５６　 １８．如图,AB∥CD,点E 在CD 上,且∠１＝∠２,BD、AC 分别平分∠ABE、∠BAE,分别交 AE、BE 于点F、G．求证:DF＝CG． １９．对x、y定义一种新运算T,规定T(x,y)＝ax＋by２x＋y (其中a、b均为非零常数),这里等式右 边是通常的四则运算,例如:T(０,１)＝a×０＋b×１２×０＋１ ＝b． (１)已知T(１,－１)＝－２,T(４,２)＝１． ①求a、b的值; ②若关于m 的不等式组 T ２m,５－４m( ) ≤４, T m,３－２m( ) ＞p{ 恰好有３个整数解,求实数p的取值范围; (２)当T(x,y)和T(y,x)都有意义时,T(x,y)＝T(y,x)对任意实数x、y都成立,则a、b 应满足怎样的关系式? ２０．已知商品利润率＝ 商品利润 商品成本×１００％．某商店销售甲、乙两种商品,每件甲种商品的利润 率为４０％,每件乙种商品的利润率为６０％．当售出的乙种商品的数量比甲种商品的数量 多５０％时,总利润率为５０％．求该商店售出甲、乙两种商品的数量相同时的总利润率． ! " # $! １１７　 有２个;图２中大等边三角形有４个,小等边三 角形有４个;图３中大等边三角形有６个,小等 边三角形有６个;􀆺;依次可得第n个图形中大 等边三角形有２n个,小等边三角形有２n个． 故第１００个图形中等边三角形有２×１００＋２× １００＝４００(个)． １６．９　提示:易知a＜１,a＋１４８[ ] ,a＋ ２ ４８[ ] ,􀆺, a＋４７４８[ ] 中有１５个１,其余为０,a＋ ３２ ４８[ ] ＝０, a＋３３４８[ ] ＝１,则 ５ １６≤a＜ １ ３ ,３０a[ ] ＝９． 三、解答题 １７．解:原式＝ a＋b ( ) a－b( ) a－b( )２ － a a－b[ ] 􀅰 aa－b( ) b２ ＝ ba－b 􀅰aa－b( ) b２ ＝ a b , 因为 a＋１( )２＋ b－２ ＝０, 所以a＝－１,b＝２,则原式＝－１２． １８．证明:∵∠BAD＝∠CAD,EF⊥AD． ∴△AEH 为等腰三角形,∠AEH＝∠AHE, 又∠ACB＝ ∠CHG＋ ∠G＝ ∠AHE＋ ∠G＝ ∠AEH＋∠G＝∠B＋２∠G． 即∠ACB＝∠B＋２∠G,∴∠ACB－∠B∠G ＝２． １９．解:(１)设乙工程队每天能改造的面积是xm２, 根据题意得 ４００ x － ４００ ２x＝４ ,解得x＝５０, 经检验,x＝５０是原方程的解, 则甲工程队每天能完成绿化的面积是５０×２＝ １００(m２)． 答:甲、乙两个工程队每天能改造的面积分别是 １００m２、５０m２． (２)设至少应安排甲队工作y天,根据题意得 ０．４y＋１８００－１００y５０ ×０．２５≤８ ,解得y≥１０． 答:至少应安排甲队工作１０天． ２０．证明:(１)∵∠ACB＝９０°,CG 平分∠ACB,AC ＝BC, ∴∠ACG＝∠BCG＝４５°, ∴∠CAF＝∠CBF＝４５°,∠CAF＝∠BCG, 在△ACF与△CBG中, ∠ACF＝∠CBG, AC＝BC, ∠CAF＝∠BCG, ì î í ïï ï ∴△ACF≌△CBG,∴AF＝CG． (２)延长CG交AB 于点H, ∵CG平分∠ACB,AC＝BC, ∴CH⊥AB,CH 平分AB, ∵AD⊥AB,∴AD∥CG, 在△ADE与△CGE中, ∠D＝∠EGC, ∠AED＝∠CEG, AE＝CE, ì î í ïï ï ∴△ADE≌△CGE, ∴DE＝GE,即DG＝２DE, ∵AD∥CG,CH 平分AB,∴DG＝BG, ∵△ACF≌△CBG,∴CF＝BG,∴CF＝DG,∴ CF＝２DE． 八年级训练题(二) 一、选择题 １．B ２．C ３．D　提示:过点 D 做DE⊥AB 于E,DE＝CD＝ １ ２BD ,则∠B＝３０°． ４．B ５．A　提示:当AC＝４．５或９时,三角形各有１个, 当AC＝５或７时,三角形各有２个,共６个． ６．B　提示:∵(x＋５)(x＋n)＝x２＋(n＋５)x＋５n, ∴ n＋５＝m, ５n＝５．{ 解得 n＝１, m＝６．{ 故２m－n＝２×６－１＝ １１． ７．D　提示:a＝k(b＋c),b＝k(c＋a),c＝k(a＋b), 三式相加得a＋b＋c＝２k(a＋b＋c),则k＝ １２ , NEWHOPECUP １１８　 直线y＝１２x＋m 不通过第四象限． ８．A　提示:∵平角∠AOB三等分,∴∠O＝６０°,∵ ９０°－６０°＝３０°,∴剪出的直角三角形沿折痕展开 一次得到底角是３０°的等腰三角形,再沿另一折 痕展开得到有一个角是３０°的直角三角形,最后 沿折痕AB展开得到等边三角形,即正三角形． 二、填空题 ９．(x＋１)(x－２)２　提示:x３－３x２＋４＝(x３＋１)－ (３x２－３)＝(x＋１)(x２－x＋１)－３(x＋１)(x－ １)＝(x＋１)[x２－x＋１－３(x－１)]＝ (x＋１)(x２－４x＋４)＝(x＋１)(x－２)２．　 １０．１５　提示:AB＝５舍去． １１．２９°　提示:如图,∠３＝３６０°÷５＝７２°,∴∠４＝ ９０° － ７２° ＝ １８°, ∠５ ＝ １８０° － １８０°－７２°＋１８°( ) ＝ ５４°, ∠６ ＝ １８０° － ５５°＋６０°( ) ＝６５°,∠２＝５４°＋６５°－９０°＝２９°． １２．１０ab　提示:２×２a×b＋３a×２b＝１０ab． １３．－１,０( ) 　提示:作点A 关于x 轴的对称点C, 连接BC交x 轴于点P,则此时AP＋BP 最小, ∵点A 的坐标为(２,－３),点B 的坐标为(－２, －１),∴点C的坐标为(２,３), 设 直 线 BC 的 解 析 式 是 y ＝kx ＋b,则 －２k＋b＝－１, ２k＋b＝３．{ 解得 k＝１, b＝１．{ 即直线BC的解析式是y＝x＋１, 当y＝０时,x＋１＝０,解得x＝－１, ∴点P 的坐标是(－１,０)． １４．１５１８　 提示:设a＝mn (m、n为正整数),则１．７５ ≤mn ＋１＝ m＋n n ＜１．８５ ,即１．７５≤３３n ＜１．８５ , 则 ３３ １．８５＜n≤ ３３ １．７５ ,即１７．８＜n≤１８．９,∴n＝ １８,∴a＝１５１８． １５．３ ２０１５－１ ２ 　 提示:设S＝１＋３１＋３２＋３３＋􀆺＋ ３２０１４,则３S＝３＋３２＋３３＋􀆺＋３２０１４＋３２０１５,即 ３S－S＝２S＝３２０１５－１,∴S＝３ ２０１５－１ ２ ． １６．２　提示:∵∠C＝∠A＝ ∠DOP＝６０°,OD＝ OP,∴ ∠CDO ＋ ∠COD ＝１２０°,∠COD ＋ ∠AOP＝１２０°,∴∠CDO＝∠AOP,∴△ODC≌ △POA,∴AP＝OC,∴AP＝OC＝AC－AO＝ ２． 三、解答题 １７．解:存在． (x２－y２)(４x２－y２)＋３x２(４x２－y２)＝(４x２－ y２)(x２－y２＋３x２)＝(４x２－y２)２, 当 y ＝kx 时,原 式 ＝ (４x２ －k２ x２ )２ ＝ ４－k２( )２x４, 令(４－k２)２＝１,解得k＝± ３或± ５, 即当k＝ ± ３或 ± ５时,原代数式可化简为 x４． １８．证明:∵AB∥CD,∴ ∠BAE＝ ∠１,∠ABE＝ ∠２,∵∠１＝∠２,∴∠BAE＝∠ABE,∴AE＝ BE．∵BD、AC 分 别 平 分 ∠ABE、∠BAE,∴ ∠CAE＝１２∠BAE ,∠DBE＝１２∠ABE , ∴∠CAE＝ ∠DBE,又 ∠２＋ ∠AEB＝ ∠１＋ ∠AEB,即∠AEC＝∠BED, ∴△ACE≌△BDE,∴∠C＝∠D,CE＝DE,又 ∵∠２＝∠１,∴△CEG≌△DEF,∴CG＝DF． １９．解:(１)①根据题意得T(１,－１)＝a－b２－１＝－２ , 即a－b＝－２;T(４,２)＝４a＋２b８＋２ ＝１ ,即２a＋b＝ ５,解得a＝１,b＝３; ②根据题意得 ２m＋３５－４m( ) ４m＋５－４m ≤４① , m＋３(３－２m) ２m＋３－２m ＞p②． ì î í ï ï ïï ! " # $! １１９　 由①得m≥－１２ ;由②得m＜９－３p５ , ∴不等式组的解集为－１２≤m＜ ９－３p ５ , ∵不等式组恰好有３个整数解,即m＝０,１,２, ∴２＜９－３p５ ≤３ ,解得－２≤p＜－１３． (２)由 T(x,y)＝T(y,x),得 到ax＋by２x＋y ＝ ay＋bx ２y＋x ,整理得(x２－y２)(a－２b)＝０, ∵T(x,y)＝T(y,x)对任意实数x、y都成立, ∴a－２b＝０,即a＝２b． ２０．解:设甲种商品进价为a元,则利润为０．４a元; 乙种商品进价为b元,则利润为０．６b元;甲种 商品售出x x≠０( ) 件,乙种商品售出１．５x件, 依题意得０．４ax＋０．６b×１．５x ax＋１．５bx ＝５０％ ,解得a＝ １．５b,当出售甲、乙两种商品件数都等于y时, 总利润率为０．４ay＋０．６by ay＋by ×１００％＝４８％． 答:略． 八年级训练题(三) 一、选择题 １．C　提示:(x＋２)２＋(３－x)２＝[(x＋２)＋(３－ x)]２－２(x＋２)(３－x)＝２５－２(x＋２)(３－x)＝ １３,所以(x＋２)(３－x)＝６． ２．C　提示:设所求多边形的边数为n,由题意得(n －２)×１８０°＝３６０°×２,解得n＝６． ３．D　提示:依题意得５－２≤x≤５＋２,即３≤x≤ ７． ４．C　提示:∵AB＝DE,∠B＝∠DEF,∴添加AC ∥DF,得出 ∠ACB＝ ∠F,即可证 明 △ABC≌ △DEF,故 A、D 都正确;当添加∠A＝∠D 时, 根据 ASA,也可证明 △ABC≌ △DEF,故 B 正 确;但添加AC＝DF 时,没有SSA 定理,不能证 明△ABC≌△DEF,故C不正确． ５．A　提示:∵|２a－３b＋５|＋(２a＋３b－１３)２＝０, ∴ ２a－３b＋５＝０, ２a＋３b－１３＝０．{ 解得 a＝２, b＝３．{ 当底边长为a＝２时,三边长分别为２,３,３,则周 长为８; 当底边长为a＝３时,三边长分别为２,２,３,则周 长为７． ６．C　提示:２,１,３,４,５或２,３,５,４,１或２,５,１,４,３ 或４,３,１,２,５或４,５,３,２,１． ７．C　提示:(２a)２－(a＋２)２＝４a２－a２－４a－４＝ ３a２－４a－４． ８．D　 提 示:这 列 数 可 分 组 为 １１( ) , １ ２ ,２ １( ) , １ ３ ,２ ２ ,３ １( ) , １ ４ ,２ ３ ,３ ２ ,４ １( ) ,􀆺,可知各组中 数的个数依次为１个,２个,３个,４个,􀆺,５２０１０ 在第２０１４组中,该组前面共有１＋２＋３＋􀆺＋ ２０１３＝２０２７０９１(个)数,则 ５２０１０ 是第２０２７０９１＋５ ＝２０２７０９６(个)数． 二、填空题 ９．０　提示:∵点A(m＋２,３)与点B(－４,n＋５)关 于y轴对称,∴m＋２＝４,３＝n＋５,解得m＝２,n ＝－２,∴m＋n＝０, １０．３,４　 提 示: ７x－１x２－x－６ ＝ A x＋２ ＋ B x－３ ＝ A＋B( )x－ ３A－２B( ) x２－x－６ ,则A＋B＝７,３A－２B ＝１,解得A＝３,B＝４． １１．３　提示:证 Rt△AEF≌Rt△CEB,则CF＝AE －EF＝３． １２．１　提示:１a＋ １ b＝ a＋b ab ＝ ３ ２ ,将ab＝２代入得 a＋b＝３,∴(a－b)２＝(a＋b)２－４ab＝９－８＝ １,∵a＞b,∴a－b＞０,则a－b＝１． １３．－１０　提示:设多项式的第三个因式为tx＋９, 则(２x＋１)(３x－４)(tx＋９)＝６tx３＋(５４－５t) x２－(４t＋４５)x－３６,∴４t＋４５＝６１,t＝４,∴a＝ ６t＝２４,b＝５４－５t＝３４,a－b＝－１０． １４．１２　提示:∵∠１＋２∠２＝１８０°,∴∠２＝９０°－ １ ２∠１ ,∵AD＝AB＝BE,∴∠３＝∠４,∠１＝ ∠６,∴∠２＋２∠４＝１８０°,∴∠４＝９０°－ １２ ∠２ ＝９０°－１２ (９０°－ １２ ∠１ )＝４５°＋ １４ ∠１ ,又∠４ ＝２∠５＝４∠１,∴４５°＋ １４ ∠１＝４∠１ ,所以∠１ ＝１２°,即∠BAC＝１２°．