2.2.1 直线的倾斜角与斜率课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

第一章　空间向量与立体几何 2.2.1　直线的倾斜角与斜率 人教B版 数学 选择性必修第一册 课程标准 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念; 2.经历用代数的方法刻画直线斜率的过程; 3.掌握过两点的直线斜率的计算公式并能解决相关的实际问题; 4.理解直线的方向向量和法向量的概念,并能找出其与直线斜率和倾斜角的内在联系. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 直线的倾斜角 一般地,给定平面直角坐标系中的一条直线,如果这条直线与x轴相交,将x轴绕着它们的交点　　　　　　　　旋转到与直线重合时所转的 　　 　　记为θ,则称θ为这条直线的倾斜角;如果这条直线与x轴平行或重合,则规定这条直线的倾斜角为0°.直线倾斜角的范围是0°~180°(即[0,π)).  名师点睛 1.任意一条直线都有唯一的倾斜角α,但倾斜角为α的直线有无数多条. 2.一般地,如果A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,直线l的倾斜角为θ,当y1=y2时(此时必有x1≠x2),θ=0°;当x1=x2时(此时必有y1≠y2),θ=90°. 按逆时针方向 最小正角 过关自诊 1.(多选题)下列说法中,正确的是(　　) A.直线的倾斜角为0°,则此直线与x轴平行 B.一条直线的倾斜角为-30° C.若直线的倾斜角为α,则sin α≥0 D.任意直线都有倾斜角α,且α=90°时,直线与x轴垂直 2.直线y=x的倾斜角为　　　　.  CD 45° 知识点2 直线的斜率 (1)一般地,如果直线l的倾斜角为θ,则当θ≠90°时,称k=　　　为直线l的斜率;当θ=90°时,称直线l的斜率不存在.  对应θ=90° (2)若A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,则当x1≠x2时,直线l的斜率为k=　　　　　.  当x1=x2时,直线l的斜率不存在. tan θ 名师点睛 斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角 (范围) α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α<180° 斜率 (范围) k=0 k>0 不存在 k<0 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)任何一条直线都有倾斜角,都存在斜率.(　　) (2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.(　　) (3)倾斜角为α的直线不唯一.(　　) (4)两条直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等.(　　) × × √ × 2.下面选项中,两点确定的直线的斜率不存在的是(　　) A.(4,2)与(-4,1) B.(0,3)与(3,0) C.(3,-1)与(2,-1) D.(-2,2)与(-2,5) D 解析 选项D中,因为x1=x2=-2,所以直线垂直于x轴,倾斜角为90°,即斜率不存在. 知识点3 直线的方向向量和直线的法向量 概念 定义 符号表示 直线的方向向量 如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合,则称向量a为直线l的一个方向向量 a∥l 直线的法向量 如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直,则称向量v为直线l的一个法向量 v⊥l 名师点睛 直线的方向向量和法向量与斜率k(倾斜角θ)的关系 (1)直线的方向向量不唯一,有无数多个,这些方向向量共线,(1,k)是其中一个,由向量垂直可知,(k,-1)是直线的一个法向量; (2)一般地,当直线的倾斜角为θ时,(cos θ,sin θ)是直线的一个方向向量. 过关自诊 已知直线l:y=3x+1,你能给出这条直线的一个方向向量a和一个法向量v吗?该直线的斜率是多少? 重难探究·能力素养全提升 探究点一　直线的倾斜角 【例1】 (1)下列说法正确的是(　　) A.一条直线和x轴的正方向所成的角,称为这条直线的倾斜角 B.直线的倾斜角α在第一象限或第二象限 C.和x轴平行的直线,它的倾斜角为0° D.不是每一条直线都有倾斜角 C 解析 由倾斜角的定义可知,A错误;倾斜角的范围是0°~180°,故B错误;和x轴平行的直线的倾斜角是0°,故C正确;每条直线都有倾斜角,故D错误. (2)已知直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) C 解析 直线倾斜角的取值范围是[0,π). 又因为直线l经过第二、四象限,所以直线l的倾斜角α的取值范围是 规律方法　求直线的倾斜角的方法及注意点 (1)方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角. (2)两点注意: ①当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°;当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°; ②注意直线倾斜角的取值范围. 变式训练1已知直线l的倾斜角为θ-25°,则角θ的范围为(　　) A.25°≤θ<155° B.-25°≤θ<155° C.0°≤θ<180° D.25°≤θ<205° D 解析 因为直线l的倾斜角为θ-25°, 所以0°≤θ-25°<180°,所以25°≤θ<205°. 探究点二　直线的斜率和倾斜角的关系 【例2】 已知直线l过点M(m+1,m-1),N(2m,1). (1)当m为何值时,直线l的斜率是1? (2)当m为何值时,直线l的倾斜角为90°? (2)因为直线l的倾斜角为90°,所以直线l的斜率不存在,所以m+1=2m,所以m=1. 变式探究1本例条件不变,试求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值范围. 解 因为直线l的倾斜角为锐角,所以直线的斜率大于0,即 故m的取值范围为(1,2). 变式探究2若将本例中的“N(2m,1)”改为“N(3m,2m)”,其他条件不变,结果如何? 解 (1)因为直线l的斜率是1,所以 =1,所以m=2. (2)因为直线l的倾斜角为90°,所以直线l的斜率不存在,所以m+1=3m,所以m= . 规律方法　通过本例的求解,一定要熟练地掌握直线的斜率与倾斜角的对应关系,若直线斜率存在,则除了斜率公式之外还可以应用k=tan α(其中α为直线的倾斜角,k为直线的斜率),斜率为零和斜率不存在时对应的情况要引起重视. 变式训练2(1)若过点P(1-a,1+a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是　　　　.  (-2,1) 解析 因为直线的倾斜角为钝角, 所以-2<a<1,即a∈(-2,1). (2)求证:A(1,5),B(0,2),C(2,8)三点共线. 证明 (方法一)利用斜率公式计算出AB和AC两条直线的斜率, 因为直线AB和AC的斜率相同,且直线AB和AC过同一点A,所以A,B,C三点共线. 即|AB|+|AC|=|BC|,所以A,B,C三点共线. 探究点三　求直线的方向向量和法向量 【例3】 已知直线过点A(-1,-2),B(3,2),试求:直线的一个方向向量a,一个法向量v,斜率k与倾斜角θ. 解 根据方向向量的定义可知直线的一个方向向量为 =(3-(-1),2-(-2))=(4,4), ∴取a=(4,4). 再根据a与v垂直,因此取v=(4,-4). 直线的斜率k= =1,再由tan θ=k=1,得θ=45°. 综上可知,该直线的一个方向向量为(4,4),一个法向量为(4,-4),斜率为1,倾斜角为45°. 规律方法　1.求解一条直线的方向向量、法向量、斜率、倾斜角问题,一定要明确其定义. 2.利用相应的计算公式以及理解它们之间的内在联系,尤其是可以根据方向向量进而得出法向量,也可以根据方向向量求斜率. 变式训练3[北师大版教材习题]已知直线l的斜率为-2,求直线l的一个方向向量的坐标. 解 直线l的一个方向向量的坐标为(1,-2). 成果验收·课堂达标检测 A 级 必备知识基础练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1.[探究点二]下面选项中,两点确定的直线的斜率不存在的是(　　) A.(4,2)与(-4,1) B.(0,3)与(3,0) C.(3,-1)与(2,-1) D.(-2,2)与(-2,5) D 解析 D项,因为x1=x2=-2,所以直线垂直于x轴,倾斜角为90°,斜率不存在. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2.[探究点二](多选题)下列说法中,不正确的有(　　) A.任何一条直线都有唯一的斜率 B.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大 C.任何一条直线都有唯一的倾斜角 D.任何一条直线都能找出方向向量 AB 解析 A错,因为倾斜角为90°的直线没有斜率;B错,因为当0°<α<90°时,k>0,当90°<α<180°时,k<0;C对,D对. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3.[探究点一](多选题)若直线l的向上的方向与y轴的正方向成30°角,则直线l的倾斜角可能为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° BC 解析 y轴正方向对应的直线的倾斜角为90°,因此所求直线的倾斜角为60°或120°.故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4.[探究点二]在平面直角坐标系中,正三角形ABC的BC边所在直线的斜率是0,则AC,AB边所在直线的斜率之和为(　　) B 解析 由BC边所在直线的斜率是0知,直线BC与x轴平行或重合,所以直线AC,AB的倾斜角互为补角,根据直线斜率的定义知,直线AC,AB的斜率之和为0.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5. [探究点二]如图所示,下列四条直线中,斜率最大的是(　　) A.l1 B.l2 C.l3 D.l4 D 解析 由图可知,l3斜率为负,l2斜率为0,l1,l4的斜率为正. 又l4的倾斜程度大于l1,所以l4的斜率最大.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6.[探究点一]已知直线l的倾斜角为2α-20°,则α的范围是　　　 　.  10°≤α<100° 解析 由0°≤2α-20°<180°,得10°≤α<100°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7.[探究点一]已知点A(2,-1),若在坐标轴上存在一点P,使直线PA的倾斜角为45°,则点P的坐标为　　　 　.  (3,0)或(0,-3) 解析 若设点P的坐标为P(x,0), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8.[探究点一]已知A(-1,-2),B(2,1),C(x,2)三点共线,则x=　　　　　,直线AB的倾斜角为　　　　　.  3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9.[探究点二]已知点A(1,2),B(-3,-4),C(2, ),D(x,-2). (1)证明:A,B,C三点共线; (2)若∠DAB= ,求x的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 即-4(x-1)+24=0,解得x=7,∴x的值为7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10.[探究点二·人教A版教材例题] 如图,已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. 由kAB>0及kCA>0可知,直线AB与CA的倾斜角均为锐角;由kBC<0可知,直线BC的倾斜角为钝角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B 级 关键能力提升练 11.(多选题)若直线l与x轴交于点A,其倾斜角为α,直线l绕点A顺时针旋转 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12.直线l1经过两点A(0,0),B( ,1),直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍,则直线l2的斜率为(　　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.直线xsin α-y+1=0的倾斜角的取值范围为(　　) D 解析 设直线xsin α-y+1=0的倾斜角为θ,可得tan θ=sin α∈[-1,1], 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.若直线l的一个法向量为n=(2,1),则直线l的斜率k=　　　　.  -2 解析 根据题意,设直线l的斜率为k,则其方向向量为a=(1,k),若直线l的一个法向量为n=(2,1),则有a·n=2+k=0,解得k=-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15.已知坐标平面内三点A(-1,1),B(1,1),C(2, +1). (1)求直线AB,BC,AC的斜率和倾斜角; (2)若D为△ABC的边AB上一动点,求直线CD的斜率的取值范围. 所以直线AB的倾斜角为0°,直线BC的倾斜角为60°,直线AC的倾斜角为30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (2)如图,当直线CD由CA绕点C逆时针转到CB时,直线CD与线段AB恒有交点,即D在线段AB上,此时k由kAC增大到kBC,所以k的取值范围为 C 级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16.一束光线从点A(-2,3)射入,经x轴上点P反射后,经过点B(5,7),则点P的坐标为　　　　　.  解析 (方法一)设P(x,0),由光的反射原理知,入射角等于反射角,即α=β,如图①. 所以反射光线PB的倾斜角β与入射光线AP的倾斜角 (π-α)互补,因此, 图① 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (方法二)由题意知,x轴是镜面,易知入射点A(-2,3)关于x轴的对称点为 A'(-2,-3). 由光学知识知点A'应在反射光线所在的直线上,即A',P,B三点共线,如图②. 图② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17.将一块直角三角形木板ABO置于平面直角坐标系中,已知AB=OB=1, AB⊥OB,点P( )是三角形木板内一点.现因三角形木板中阴影部分受到损坏,要把损坏部分钻掉,可用经过点P的任一直线MN将三角形木板钻成△AMN.设直线MN的斜率为k. (1)求点M,N的坐标(用k表示)及直线MN的斜率k的取值范围; (2)令△AMN的面积为S,试求出S的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 (1)设直线MN:y=kx+b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (2)设△AMN中,AN边上的高为d. 解 (1)先在直线上取两点A(1,4),B(2,7),则可令a==(1,3),那么v=(3,-1). 因此(1,3)是直线l的一个方向向量,(3,-1)是直线l的一个法向量. (2)(方法一)该直线的斜率为k=tan θ==3. (方法二)斜率k也可以用方向向量来求解,即k==3. A.[0,) B.[,π) C.(,π) D.(0,π) . 解 (1)因为直线l的斜率是1,所以=1,所以m=. >0,解得1<m<2. 所以直线的斜率小于0,即kPQ=<0, kAB==3,kAC==3. (方法二)因为|AB|=, |AC|=, |BC|==2, A.-2 B.0 C. D.2 则k==tan 45°=1,∴x=3,即P(3,0). 若设点P的坐标为P(0,y),则k==tan 45°=1, ∴y=-3,即P(0,-3). 解析 直线AB斜率为kAB==1,直线BC斜率为kBC=,因为A(-1,-2),B(2,1),C(x,2)三点共线,所以kAB=kBC,则x=3,由tan θ=1得θ=,所以直线AB的倾斜角为. (1)证明 A(1,2),B(-3,-4),C(2,), ∴kAB=,kAC=, ∴kAB=kAC,∴A,B,C三点共线. (2)解 由=(-4,-6),=(x-1,-4), 若∠DAB=,则=0, 解 直线AB的斜率kAB=,直线BC的斜率kBC==-,直线CA的斜率kCA==1. 后得到直线l1,则直线l1的倾斜角可能为(　　) A.α+ B.α+ C.α- D.-α 解析 因为直线的倾斜角的取值范围为[0,π), 所以当≤α<π时,直线l1的倾斜角为α-. 当0≤α<时,直线l1的倾斜角为π-(-α)=+α.故选BC. A. B. C.1 D. 解析 因为直线l1的斜率为, 所以直线l1的倾斜角为. 又因为直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍, 所以直线l2的倾斜角为, 所以直线l2的斜率为tan.故选D. A.[0,] B.[] C.[0,]∪[,π) D.[0,]∪[,π) 所以θ的取值范围为[0,]∪[,π).故选D. 解 (1)由斜率公式,得kAB==0,kBC=,kAC=, []. kAP=-kBP,即=-,解得x=,即P. 从而有kA'P=kPB,即,解得x=,即P. ∵直线MN过点P(), ∴=k·+b,b=, ∴直线MN:y=kx+,直线OA:y=x,直线AB:x=1, ∴M(),N(1,). 易知kOP=,kBP=-,∴-≤k≤. ∵|AN|=1-,d=1-, ∴S=|AN|·d= +(1-k)+1]≥,当且仅当1-k=,即k=时等号成立. ∵-≤k≤,∴≤1-k≤,∴≤S≤, ∴S的取值范围为[]. $$