2.2.2 直线的方程（第1课时 直线的点斜式方程与斜截式方程）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

第二章　平面解析几何 2.2.2　直线的方程 第1课时　直线的点斜式方程与斜截式方程 人教B版 数学 选择性必修第一册 课程标准 1.了解直线的方程、方程的直线的概念; 2.理解点斜式和斜截式方程的推导,并能明确其适用条件; 3.理解直线的点斜式和斜截式方程的内在联系和直线在y轴上截距的含义; 4.能用直线的点斜式和斜截式方程求直线的方程. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 直线与方程 一般地,如果直线l上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解,而且以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在直线l上,则称F(x,y)=0为直线l的方程,而直线l称为方程F(x,y)=0的直线.此时,为了简单起见,“直线l”也可说成“直线F(x,y)=0”,并且记作l:F(x,y)=0. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)如图所示 ,线段AB的方程为y=x+1.(　　) (2)在平面直角坐标系中,y轴所在直线方程为y=0.(　　) 2.已知点A(1,m)在直线x-y+1=0上,则实数m=　　　　　.  × × 2 知识点2 直线的点斜式方程 已知条件 点P(x0,y0)和　 　  图示 方程形式 y-y0=　　　　  适用条件 斜率存在 斜率k k(x-x0) 过关自诊 1.过点(1,1)且倾斜角为45°的直线的点斜式方程为　　　　　　　　.  y-1=x-1 解 方程 =k和y-y0=k(x-x0)不表示同一条直线,前者表示的是直线除去一个点P0(x0,y0). 知识点3 直线的斜截式方程 已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b 图示 　 方程形式 　　　　　  适用条件 斜率存在 是直线与y轴交点的纵坐标 y=kx+b 名师点睛 1.用斜截式求直线方程,只要确定直线的斜率和截距即可,同时要特别注意截距和距离的区别. 2.直线的斜截式方程y=kx+b不仅形式简单,而且特点明显,k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距.因此,在解决直线的图象问题时,常把直线方程化为斜截式方程. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)直线在y轴上的截距是直线与y轴交点到原点的距离.(　　) (2)直线y=kx-b在y轴上的截距为b.(　　) 2.已知直线的斜率是2,且在y轴上的截距是-3,则此直线的方程是(　　) A.y=2x-3 B.y=2x+3 C.y=-2x-3 D.y=-2x+3 × × A 3.若直线y=kx+b经过第一、三、四象限,则有(　　) A.k>0,b>0 B.k>0,b<0 C.k<0,b>0 D.k<0,b<0 B 重难探究·能力素养全提升 探究点一　直线的点斜式方程 【例1】 [北师大版教材例题]求出经过点P(-1,2)且满足下列条件的直线的方程,并画出直线: (1)倾斜角为 ;(2)与x轴垂直;(3)与x轴平行. 图1 (2)因为直线经过点P(-1,2)且与x轴垂直,所以该直线的方程为x=-1(如图2). (3)因为直线经过点P(-1,2)且与x轴平行,即斜率k=0,所以该直线的方程为y=2(如图3). 图2 图3 规律方法　利用点斜式方程求直线方程的步骤 注意:点斜式方程使用的前提是斜率存在,当斜率不存在时,直线没有点斜式方程,其方程为x=x0. 变式训练1 [北师大版教材习题]写出下列直线的方程,并在同一平面直角坐标系中画出这些直线,通过观察,指出方程y-2=k(x-1)表示的直线具有的与k取值无关的特征: (1)经过点(1,2),斜率为1; (2)经过点(1,2),斜率为-2; (3)经过点(1,2),斜率为0. 解 (1)y-2=1×(x-1),即x-y+1=0. (2)y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0. (3)y-2=0×(x-1),即y-2=0. 在同一平面直角坐标系中画出这些直线如图. 方程y-2=k(x-1)表示的直线都过定点(1,2). 探究点二　直线的斜截式方程 【例2】 已知直线l的斜率为2,在y轴上的截距为m. (1)求直线l的方程; (2)当m为何值时,直线经过点(1,1)? 解 (1)利用直线的斜截式方程,可得方程为y=2x+m. (2)只需将点(1,1)的坐标代入方程y=2x+m,有1=2×1+m,所以m=-1. 变式探究1将本例的条件“在y轴上的截距为m”改为“在x轴上的截距为m”,如何求直线的方程? 解 直线在x轴上的截距为m,即直线过点(m,0).又已知直线的斜率为2,则由直线的点斜式方程,可得所求直线方程为y-0=2(x-m),即y=2x-2m. 变式探究2将本例的条件不变,试问m为何值时,直线与坐标轴所围成的三角形的面积为1? 解 由题意知直线方程为y=2x+m,故直线在两坐标轴上的截距分别 规律方法　对直线的斜截式方程的理解要注意以下几点: (1)由直线的斜截式方程的推导过程可以看出,在点斜式方程中若点P(x0,y0)为直线l与y轴的交点,则得到的直线方程即为斜截式方程,因此斜截式方程为点斜式方程的特殊情况. (2)当直线与x轴垂直时,斜率不存在,不能用直线的斜截式方程表示.因此,斜截式方程不能表示与x轴垂直的直线. (3)斜截式方程y=kx+b的特点 左端y的系数恒为1,右端x的系数k和常数项b均有明显的几何意义,k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距,截距实质上为直线与y轴交点的纵坐标,直线与y轴的交点与原点的距离为|b|. 变式训练2[北师大版教材习题]已知直线的斜率是-2,写出在y轴上的截距分别为-1,0,1,2的直线的方程,并在同一平面直角坐标系中画出图形,观察这些直线,指出方程y=-2x+b所表示的直线具有的与b取值无关的特征. 解 直线的方程依次为y=-2x-1,y=-2x,y=-2x+1,y=-2x+2. 在同一平面直角坐标系中画出这些直线如图. 无论b取何值,方程y=-2x+b表示的直线倾斜角不变,且互相平行. 成果验收·课堂达标检测 A 级 必备知识基础练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1.[探究点一]方程y-y0=k(x-x0)(　　) A.可以表示任何直线 B.不能表示过原点的直线 C.不能表示与y轴垂直的直线 D.不能表示与x轴垂直的直线 D 解析 方程y-y0=k(x-x0)是直线的点斜式方程,当直线垂直x轴时,斜率不存在,不能用点斜式方程表示.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.[探究点一]经过点(0,3)且倾斜角为0°的直线方程为(　　) A.x=3 B.y=3 C.y=x+3 D.y=2x+3 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.[探究点一]直线y=k(x-2)+3必过定点　　　　.  (2,3) 解析 化为点斜式y-3=k(x-2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.[探究点一·人教A版教材习题](1)已知直线的点斜式方程是y-2=x-1,那么此直线的斜率是　　　　　,倾斜角是　　　　　;  (2)已知直线的点斜式方程是y+2= (x+1),那么此直线的斜率是　　　　　,倾斜角是　　　　　.  1 45° 60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 -2或1 解得a=-2或a=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.[探究点二·北师大版教材例题]把直线l的方程3x-2y+6=0化成斜截式,求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距,并画图. 解 将原方程移项,得2y=3x+6. 令y=0,可得x=-2,即直线l在x轴上的截距是-2. 所以直线l与x轴、y轴的交点分别为A(-2,0),B(0,3),过点A,B作直线,即可得直线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.[探究点一、二·北师大版教材例题]已知直线l的方程为mx+(m-1)y+1=0, m∈R. (1)若直线l在x轴上的截距为-2,求m的值; (2)若直线l与y轴垂直,求m的值; (3)若直线l的倾斜角为 ,求m的值. 解 (1)由已知,可得直线l与x轴交于点(-2,0),所以-2m+(m-1)·0+1=0,解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)因为直线l与y轴垂直,所以直线l的斜率为0,所以直线l的方程可化为斜 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 B 级 关键能力提升练 9.已知直线l过A(-2,1),并与两坐标轴截得等腰三角形,那么直线l的方程是 (　　) A.x-y-1=0或x+y-3=0 B.x-y-1=0或x-y+3=0 C.x+y+1=0或x-y+3=0 D.x+y+1=0或x+y-3=0 C 解析 由题意可知,所求直线的倾斜角为45°或135°,即直线的斜率为1或 -1,故直线方程为y-1=x+2或y-1=-(x+2),即x-y+3=0或x+y+1=0.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线方程为(　　) A.x-y+1=0 B.x+y-3=0 C.2x-y=0或x+y-3=0 D.2x-y=0或x-y+1=0 D 解析 易知斜率不存在时不满足条件;设直线方程为y=k(x-1)+2,则截距和为2-k- +1=0,解得k=1或k=2,故直线方程为x-y+1=0或2x-y=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.(多选题)下列说法正确的是(　　) A.直线y=ax-3a+2(a∈R)必过定点(3,2) B.直线y=3x-2在y轴上的截距为2 C.直线 x-y+1=0的倾斜角为60° D.过点(-1,2)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为2x+y=0 AC 直线y=ax-3a+2(a∈R)必过定点(3,2),故A正确; 对于B,对于直线y=3x-2,令x=0得y=-2,所以直线y=3x-2在y轴上的截距为-2,故B错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即x-2y+5=0,故D错误.故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.将直线y=x+ -1绕其上面一点(1, )沿逆时针方向旋转15°,所得到的直线的点斜式方程是　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.求经过点(-1,2)且分别满足下列条件的直线方程. (1)倾斜角为45°; (2)在y轴上的截距为5; (3)在第二象限与坐标轴围成的三角形面积为4. 解 (1)由倾斜角为45°,得直线的斜率k=1,得点斜式方程为y-2=x+1,则y=x+3. (2)直线在y轴上的截距为5,即直线过点(0,5),则斜率k= =3,得斜截式方程为y=3x+5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)设直线的斜率为k(k>0),则直线方程为y-2=k(x+1),取x=0,得y=k+2,取 得点斜式方程为y-2=2(x+1),即y=2x+4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.求满足下列条件的直线方程. (1)经过点A(-1,-3),且斜率等于直线3x+8y-1=0斜率的2倍; (2)过点M(0,4),且与两坐标轴围成三角形的周长为12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)设直线与x轴的交点为(a,0). 因为点M(0,4)在y轴上, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C 级 学科素养创新练 15.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,过点P(3,1)作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A,B. (1)求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程; 解 (1)∵点P(3,1)在第一象限,且直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴相交, ∴直线l的斜率k<0,则设直线l的方程为y-1=k(x-3),k<0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)设A(a,0),B(0,b),a>3,b>1. 2.方程=k和y-y0=k(x-x0)表示同一条直线吗? 解 (1)因为直线的倾斜角为,所以该直线的斜率为k=tan. 因为直线经过点P(-1,2)且斜率为,所以该直线方程的点斜式为y-2=[x-(-1)],化简,得x-y++2=0(如图1). 为-,m,所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为|m|=1,解得m=±2. 3.[探究点一]经过点(-,2),倾斜角是30°的直线的方程是(　　) A.y+(x-2) B.y+2=(x-) C.y-2=(x+) D.y-2=(x+) 解析 直线的斜率k=tan 30°=,由直线的点斜式方程可得y-2=(x+).故选C. 6.[探究点二]设a∈R,如果直线l1:y=-x+与直线l2:y=-x-平行,那么a=　　　　　.  解析 由l1∥l2,得-=-≠-, 方程的两边同时除以2,得到斜截式y=x+3. 因此,直线l的斜率k=,它在y轴上的截距是3. m=. 截式y=x-. 由=0,可得m=0. (3)由(2)可知直线l的斜率为,又倾斜角为,所以由斜率与倾斜角的关系可得=tan,即=1,解得m=. 解析 对于A,y=ax-3a+2(a∈R),即(x-3)a+(2-y)=0,令所以 对于C,直线x-y+1=0,即y=x+1,所以斜率k=,其倾斜角为60°,故C正确; 对于D,过点(-1,2)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为y-2=[x-(-1)], y-(x-1) 解析 由y=x+-1得直线的斜率为1,倾斜角为45°. ∵沿逆时针方向旋转15°后,倾斜角变为60°, ∴所求直线的斜率为.又直线过点(1,), ∴由直线的点斜式方程可得y-(x-1). y=0,得x=--1. 则S=×(k+2)×(+1)=4,解得k=2. 解 (1)因为3x+8y-1=0可化为y=-x+. 所以直线3x+8y-1=0的斜率为-, 则所求直线的斜率k=2×(-)=-. 又直线经过点(-1,-3),因此所求直线的方程为y+3=-(x+1),即y=-x-. 所以由题意有4++|a|=12, 解得a=±3.所以所求直线的斜率k=或-,则所求直线的方程为y-4=x或y-4=-x, 即y=x+4或y=-x+4. (2)求当取得最小值时直线l的方程. 令x=0,得y=-3k+1;令y=0,得x=3-, ∴S△AOB=|OA||OB|=×|-3k+1|×=. ∵k<0,∴->0,-9k>0, ∴S△AOB=(6--9k)=3-≥3+2=6,当且仅当-=-,即k=-时等号成立,∴△AOB面积的最小值为6, 此时直线l的方程为y-1=-(x-3),即x+3y-6=0. ∵A,P,B三点共线,∴,整理得=1, ∴=(3-a,1)·(-3,b-1)=3a+b-10=(3a+b)()-10=≥2=6,当且仅当,即a=b=4时等号成立, ∴当取得最小值时,直线l的方程为x+y-4=0. $$