2.2.3 两条直线的位置关系课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

第二章　平面解析几何 2.2.3　两条直线的位置关系 人教B版 数学 选择性必修第一册 课程标准 1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标; 2.能根据斜截式方程和一般式方程判定两条直线是否平行或重合; 3.能应用两直线平行、重合、相交、垂直条件求参数; 4.能应用两直线平行、垂直条件求直线的方程. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 两条直线的相交、平行与重合 (1)直线方程在斜截式方程形式下两条直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2的位置关系可用两直线的斜率和在y轴上的截距来进行判断,具体判断方法如下表所示. 位置关系 平行 重合 相交 图示 k,b满足 条件 　　 　　  　 　　　  　　　  k1=k2且b1≠b2 k1=k2且b1=b2 k1≠k2 方程组的解 位置关系 交点个数 代数条件 无解 　   0   有唯一解 　   1 A1B2≠A2B1 平行 相交 方程组的解 位置关系 交点个数 代数条件 有无穷 多组解 重合 　 　  存在实数λ,使得 无穷多 名师点睛 1.两直线的位置关系可针对直线方程的斜截式和直线方程的一般式进行判断,注意适用条件,也可通过两种形式之间转化后再进行判断. 2.当两条直线相交时,两直线方程联立而成的方程组的解即为两直线的交点,该结论可推广到两条曲线. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行.(　　) (2)若两条直线平行,则它们的斜率相等.(　　) (3)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合,则这两条直线平行.(　　) × × √ 2.下列直线与直线x-y-1=0平行的是(　　) A.x+y-1=0 B.x-y+1=0 C.ax-ay-a=0(a≠0) D.x-y+1=0或ax-ay-a=0(a≠0) 3.[人教A版教材例题改编]已知两直线l1:3x+4y-2=0,l2:2x+y+2=0.它们的交点坐标是　　　　　.  B (-2,2) 知识点2 两条直线的垂直 (1)若已知平面直角坐标系中的直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1⊥l2⇔　　　　.  (2)设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1不同时为零,A2,B2不同时为零),则l1⊥l2⇔　　　　　　　　.  名师点睛 1.与直线y=kx+b(k≠0)垂直的所有直线可以表示为y=- x+m. 2.与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的所有直线可以表示为Bx-Ay+m=0. k1k2=-1 A1A2+B1B2=0 过关自诊 1.已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a的值为(　　) A.2 B.1 C.0 D.-1 D 解析 两条直线的斜率分别为a和a+2,且相互垂直,即a(a+2)=-1,解得a=-1. 2.若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直,则a的值为　　　　　.  重难探究·能力素养全提升 探究点一　两条直线的位置关系的判断 【例1】 已知两直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,当m为何值时,直线l1与l2:(1)相交?(2)平行?(3)重合? 解 因为直线l1:x+my+6=0,直线l2:(m-2)x+3y+2m=0,所以A1=1,B1=m,C1=6,A2=m-2,B2=3,C2=2m. (1)若l1与l2相交,则A1B2-A2B1≠0,即1×3-m(m-2)≠0,即m2-2m-3≠0, 所以(m-3)(m+1)≠0,解得m≠3且m≠-1. 故当m≠3且m≠-1时,直线l1与l2相交. 规律方法　判断两直线的位置关系 (1)判断两条直线平行:①如果斜率都存在,那么需要判断其斜率相等,即k1=k2.两条直线斜率相等,则两条直线可能平行也可能重合,还需要进一步判断截距不相等,即b1≠b2.如果两条直线的斜率不存在,两条直线的方程为x=a1,x=a2,只需a1≠a2即可;②利用A1B2=A2B1且B1C2≠B2C1或A2C1≠A1C2判断. (2)根据方程组解的个数判断两直线位置关系,当x,y的系数含参数时不好用;利用方程的系数间的关系判定难记忆;化成斜截式方程易操作. 变式训练1[人教A版教材习题]判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出交点的坐标: (1)l1:2x-3y=7,l2:4x+2y=1; 探究点二　两条直线平行 【例2】 (1)直线l1:(m+2)x+(m2-3m)y+4=0,l2:2x+4(m-3)y-1=0,如果l1∥l2,求m的值. (2)[北师大版教材例题]求经过点A(2,3),且平行于直线l:2x+y-1=0的直线的方程. (方法二)若l1∥l2,则有 解得m=-4或m=3. (2)依据条件,可知所求直线存在斜率,设所求直线的方程为y-3=k(x-2). 依题意可知直线l:2x+y-1=0可化为y=-2x+1. 因为所求直线平行于直线l,所以k=-2,所以所求直线的方程为y-3=-2(x-2),即2x+y-7=0. 规律方法　1.求与直线y=kx+b平行的直线的方程时,根据两直线平行的条件可巧设为y=kx+m(m≠b),然后通过待定系数法,求参数m的值.但需注意斜率k不存在的情况. 2.求与直线Ax+By+C=0平行的直线方程时,可设方程为Ax+By+m=0(m≠C),代入已知条件求出m即可. 变式训练2(1)已知直线l1:ax+2y+6=0与l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行,则实数a的取值是(　　) A.-1或2 B.0或1 C.-1 D.2 C 解析 ∵l1∥l2,∴a(a-1)-2=0, ∴a=-1或2.当a=2时,l1与l2重合,∴a=-1. (2)过点P(1,-1)且平行于l:x-2y+1=0的直线方程为(　　) A.x+2y+1=0 B.2x+y-1=0 C.x-2y-3=0 D.2x-y+3=0 C 解析 设与直线l:x-2y+1=0平行的直线方程为l':x-2y+b=0(b≠1). 又由直线l'过点P(1,-1),代入可得1-2×(-1)+b=0,解得b=-3,即所求直线的方程为x-2y-3=0.故选C. 探究点三　两直线垂直 【例3】 (1)直线l1:ax+(1-a)y=3与l2:(a-1)x+(2a+3)y=2垂直,求a的值. (方法二)利用A1A2+B1B2=0,即a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=1或a=-3. (2)已知点A(2,2)和直线l:3x+4y-20=0,求过点A和直线l垂直的直线方程. 解 (方法一)设过点A与l垂直的直线为l2,直线l的斜率为kl,直线l2的斜率 (方法二)设过点A且垂直于直线l的直线l2的方程为4x-3y+m=0.因为l2过点A(2,2),所以4×2-3×2+m=0,解得m=-2,故l2的方程为4x-3y-2=0. 规律方法　1.与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0(m为参数). 2.与直线y=kx+m平行的直线方程可设为y=kx+b(b≠m);与它垂直的直线方程可设为y=- x+n(k≠0).应注意斜率k不存在及k=0的情况. 变式训练3(1)[北师大版教材习题]已知两条不重合的直线l1:ax+2y-1=0和l2:x+(a+1)y-1=0,a∈R. ①若l1∥l2,求a的值;②若l1⊥l2,求a的值. 解 ①若l1∥l2,则a(a+1)-2×1=0,解得a=1或a=-2. 当a=1时,l1:x+2y-1=0,l2:x+2y-1=0,l1与l2重合,舍去. 当a=-2时,l1:-2x+2y-1=0,l2:x-y-1=0,l1∥l2,所以a=-2. ②若l1⊥l2,则a×1+2(a+1)=0,所以a=- . (2)[北师大版教材例题]求经过点A(2,3),且垂直于直线l:2x+y-1=0的直线的方程. 解 依据条件,设所求直线的方程为y-3=k(x-2). 将直线l:2x+y-1=0化为y=-2x+1. 成果验收·课堂达标检测 A 级 必备知识基础练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1.[探究点三](多选题)已知直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则l2的斜率可以为(　　) 21 BD 解析 当a≠0时,由k1k2=-1知,k2=- , 当a=0时,l2的斜率不存在. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2.[探究点一]下列四组直线中,互相垂直的一组是(　　) A.2x+y-1=0与2x-y-1=0 B.2x+y-1=0与x-2y+1=0 C.x+2y-1=0与x-y-1=0 D.x+y=0与x+y-3=0 B 解析 对于A,2x+y-1=0与2x-y-1=0,有2×2+1×(-1)≠0,两直线不垂直,不符合题意; 对于B,2x+y-1=0与x-2y+1=0,有2×1+1×(-2)=0,两直线垂直,符合题意; 对于C,x+2y-1=0与x-y-1=0,有1×1+2×(-1)≠0,两直线不垂直,不符合题意; 对于D,x+y=0与x+y-3=0,两直线平行,不符合题意.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 3.[探究点三]已知点A(1,2),B(3,1),则线段AB的垂直平分线的方程是(　　) A.4x+2y=5 B.4x-2y=5 C.x+2y=5 D.x-2y=5 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 4.[探究点一](多选题)下列说法中,正确的是(　　) A.直线2x+y+3=0在y轴上的截距是3 B.直线x+y+1=0的倾斜角为135° C.A(1,4),B(2,7),C(-3,-8)三点共线 D.直线3x+4y+1=0与4x+3y+2=0垂直 BC 解析 直线2x+y+3=0在y轴上的截距是-3,故A错误; 直线x+y+1=0的斜率为-1,倾斜角为135°,故B正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 5.[探究点一](多选题)设平面内四点P(-4,2),Q(6,-4),R(12,6),S(2,12),下面四个结论正确的是( 　　) A.PQ∥SR B.PQ⊥PS C.PS∥QS D.PR⊥QS ABD ∴PS与QS不平行.故ABD正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 6.[探究点二]经过两条直线2x+3y+1=0和2x-3y+3=0的交点,并且平行于直线y=x的直线的一般式方程为　　　　　　　　.  3x-3y+4=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 7.[探究点二、三]设直线l1:(a+1)x+3y+2-a=0,直线l2:2x+(a+2)y+1=0,若l1⊥l2,则实数a的值为　　　　　;若l1∥l2,则实数a的值为　　　　　.  -4 解析 若l1⊥l2,则2(a+1)+3(a+2)=0,整理可得5a+8=0,求解关于实数a的方 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 8.[探究点三]已知△ABC的三个顶点A(1,1),B(4,0),C(3,2),求BC边上的高所在的直线方程及高的长度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 9.[探究点一·北师大版教材例题]已知A(1,4),B(-2,-1),C(4,1)是△ABC的三个顶点,求证:△ABC的三条中线交于一点. 证明 根据已知条件将A,B,C三点画在平面直角坐标系中,如图. 设点E,F,G分别为AB,BC,AC的中点,则易求得三边的中点坐标分别为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 中线CE所在直线上. 所以△ABC的三条中线交于一点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B 级 关键能力提升练 21 10.已知直线l1:xsin α+y-1=0,直线l2:x-3ycos α+1=0.若l1⊥l2,则sin 2α=(　　) A 解析 ∵l1⊥l2,∴sin α-3cos α=0,即tan α=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 11.“m=2”是“直线2x+(m+1)y+4=0与直线3x-my-2=0垂直”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 B 解析 直线2x+(m+1)y+4=0与直线3x-my-2=0垂直,则2×3+(m+1)×(-m)=0,解得m=2或m=-3,所以“m=2”是“直线2x+(m+1)y+4=0与直线3x-my-2=0垂直”的充分不必要条件.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 12.已知直线ax+2y+6=0与直线x+(a-1)y+a2-1=0互相平行,则实数a的值为 (　　) A.-2 B.2或-1 C.2 D.-1 D 解析 直线ax+2y+6=0斜率必存在,故两直线平行,则 ,即a2-a-2=0,解得a=2或-1, 当a=2时,两直线重合,故a=-1.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 13.直线2ax+y-2=0与直线x-(a2-3)y+2=0互相垂直,且两直线交点位于第三象限,则实数a的值为(　　) A.1 B.3 C.-1 D.-3 C 解析 由直线2ax+y-2=0与直线x-(a2-3)y+2=0互相垂直,可得2a-(a2-3)=0,解得a=-1或3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 14.若点P(a,b)与点Q(b-1,a+1)关于直线l对称,则直线l的倾斜角α为　　　　　.  45° 由题意知PQ⊥l,则kPQ·kl=-1,得kl=1, ∴直线l的倾斜角为45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 15.若三条直线2x-y+4=0,x-y+5=0和2mx-3y+12=0围成直角三角形,则m=　　　　　　.  解析 设l1:2x-y+4=0,l2:x-y+5=0,l3:2mx-3y+12=0,l1不垂直于l2,要使围成的三角形为直角三角形,则l3⊥l1或l3⊥l2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 16.已知集合A={(x,y)|2x-(a+1)y-1=0},B={(x,y)|ax-y+1=0},且A∩B=⌀,则实数a的值为　　　　　.  1 解析 ∵集合A={(x,y)|2x-(a+1)y-1=0},B={(x,y)|ax-y+1=0},且A∩B=⌀, ∴直线2x-(a+1)y-1=0与直线ax-y+1=0平行,即-2=-a(a+1),且2≠-a,解得a=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 17.求经过两条直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0垂直的直线方程. 即所求的直线方程为5x-15y-18=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 18.已知M(1,-1),N(2,2),P(3,0). (1)求点Q的坐标,满足PQ⊥MN,PN∥MQ; (2)若点Q在x轴上,且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角. 联立①②解得x=0,y=1,∴Q(0,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 (2)设Q(x,0).∵∠NQP=∠NPQ,∴kNQ=-kNP. 又M(1,-1),∴MQ⊥x轴,故直线MQ的倾斜角为90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 19. 如图所示,一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路,已知矩形花园长|AD|=5 m,宽|AB|=3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,如何在BC上找到一点M,使得AC与DM两条小路互相垂直? 解 如图所示,以点B为原点,分别以BC,BA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,单位:m. 由|AD|=5 m,|AB|=3 m得C(5,0),D(5,3),A(0,3). 设点M的坐标为(x,0),∵AC⊥DM, 故当|BM|=3.2 m时,两条小路AC与DM互相垂直. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C 级 学科素养创新练 21 20.直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l上,直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,此时直线l1与l2平行,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),则m=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 21.已知点A(4,-1)和点B(8,2)均在直线l:x-y-1=0的同侧,动点P(x,y)在直线l上,求|PA|+|PB|的最小值. 解 如图所示,设点A1与A关于直线l对称,P0为A1B与直线l的交点,所以|P0A1|=|P0A|,|PA1|=|PA|. 所以|PA1|+|PB|≥|A1B|=|A1P0|+|P0B|=|P0A|+|P0B|,因此当P点运动到P0点处时,|PA|+|PB|取到最小值|A1B|. 设A关于直线l的对称点A1(x1,y1), (2)直线方程在一般式形式下两条直线l1:A1x+B1y+C1=0(≠0), l2:A2x+B2y+C2=0(≠0)的位置关系,可以用方程组的解的情况进行判断,也可用直线方程的系数进行判断,方法如下表所示. - 解析 当a=0时,直线x+ay+2=0即为直线x+2=0,与x轴垂直,而直线2x+3y+1=0的斜率为-,此时两直线不垂直;当a≠0时,直线x+ay+2=0的斜率是-.由两直线垂直的条件得=-1,解得a=-. (2)若l1∥l2,则有 即 解得所以m=-1. 故当m=-1时,直线l1与l2平行. (3)若l1与l2重合,则有 即解得所以m=3. 故当m=3时,直线l1与l2重合. (2)l1:2x-6y+4=0,l2:y=; (3)l1:(-1)x+y=3,l2:x+(+1)y=2. 解 (1)由解得 ∴l1与l2相交,交点坐标为(,-). (2) ∵①②两式相同,∴l1与l2重合. (3) ②×(-1)-①得0=2-5,矛盾,方程组无解,∴l1∥l2. 解 (1)(方法一)当l1,l2的斜率都存在时,由l1∥l2,得-=-,解得m=-4; 当l1,l2的斜率不存在时,m=3,l1与l2的方程分别为x=-,x=,显然l1∥l2,故m=-4或m=3. 解 (方法一)当a=1时,l1为x=3,l2为y=,故l1⊥l2; 当a=-时,l1的方程为-x+y=3,l2的方程为-x=2,显然l1,l2不垂直; 当a≠1且a≠-时,由k1k2=-1,得=-1,解得a=-3.综上所述,a=1或 a=-3. 为.因为kl=-1,所以, 故直线l2的方程为y-2=(x-2),即4x-3y-2=0. 依题意,有-2k=-1,得k=,所以所求直线的方程为y-3=(x-2),即x-2y+4=0. A. B.- C.a D.不存在 解析 可以先求出AB的中点坐标为,又直线AB的斜率k==-,则线段AB的垂直平分线的斜率为2.由点斜式方程,可得所求垂直平分线的方程为y-=2(x-2),即4x-2y=5. 由A(1,4),B(2,7),C(-3,-8)得kAB==3,kAC==3=kAB,所以A,B,C三点共线,故C正确; 直线3x+4y+1=0与4x+3y+2=0的斜率分别为-,-,乘积为1,不垂直,故D错误.故选BC. 解析 由斜率公式知,kPQ==-,kSR==-,kPS=,kQS==-4, kPR=,∴PQ∥SR,PQ⊥PS,PR⊥QS.而kPS≠kQS, 解析 由解得故交点坐标为(-1,),由平行于直线y=x可得斜率为1,故方程为y-=x+1,化为一般方程为3x-3y+4=0. - 程可得a=-. 若l1∥l2,则,据此可得a=-4. 解 设BC边上的高为AD,因为kBC==-2,AD⊥BC,所以直线AD的斜率kAD=. 所以BC边上的高AD所在的直线方程为y-1=(x-1),即x-2y+1=0.又直线BC的方程为,即2x+y-8=0. 联立直线AD与BC的方程得 解得即点D的坐标为(3,2). 因此,高AD的长|AD|=, 所以BC边上的高的长度为. E(-),F(1,0),G(). 所以中线AF所在直线的方程为x=1,中线BG所在 直线的方程为, 即y+1=(x+2),中线CE所在直线的方程为,即y-1=-(x-4). 由解得即交点P的坐标为(1,). 因为-1=-×(1-4),所以点P(1,)满足中线CE所在直线的方程,即点P(1,)在 A. B.- C. D.- ∴sin 2α=2sin αcos α=. -=- 当a=3时,联立解得交点坐标为(),不符合题意; 当a=-1时,联立解得交点坐标为(-,-),符合题意,故实数a的值为-1.故选C. 解析 由kPQ==-1, -或- 由l3⊥l1,得2×m=-1,∴m=-; 由l3⊥l2,得1×m=-1,∴m=-. 故m=-或-. 解 由方程组 因为所求直线和直线3x+y-1=0垂直,所以所求直线的斜率k=,所以有 y-, 解 (1)设Q(x,y). 由已知得kMN=3,又PQ⊥MN,可得kMN×kPQ=-1,即×3=-1(x≠3).① 由已知得kPN=-2,又PN∥MQ,可得kPN=kMQ,即=-2(x≠1).② 又kNQ=,kNP=-2, ∴=2,解得x=1,∴Q(1,0). ∴kAC·kDM=-1,即=-1,解得x=. 4+ 解析 如图,直线l1的倾斜角为30°+30°=60°, ∴直线l1的斜率k1=tan 60°=. 由l1∥l2知,直线l2的斜率k2=k1=, ∴直线AB的斜率存在,且kAB=-=-, ∴=-,解得m=4+. 则解得所以A1(0,3). 所以(|PA|+|PB|)min=|A1B|=. $$