2.2.4 点到直线的距离 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

第二章　平面解析几何 2.2.4　点到直线的距离 人教B版 数学 选择性必修第一册 课程标准 1.能用向量工具推导点到直线的距离公式; 2.掌握点到直线、两条平行直线之间的距离公式; 3.能用两个距离公式解决有关距离问题. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 点到直线的距离 (1)定义:平面内点到直线的距离,等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度. 该公式适用平面内点到任意一条直线的距离 (2)图示: (3)公式:d=　　　　　　　　.  名师点睛 1.运用此公式时要注意直线方程必须是一般式方程,若给出其他形式,应先化成一般式方程再用公式. 2.当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用. 3.当用待定系数法求直线方程时,首先考虑斜率不存在的情况. 过关自诊 1.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是(　　) 2.[北师大版教材习题]原点到直线3y-5=0的距离为　　　　　.  C 知识点2 两条平行直线之间的距离 (1)定义:两条平行线之间的距离,等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离. (2)图示: (3)求法:可以转化为点到直线的距离,也可以直接套用公式. (4)公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1=0(A2+B2≠0)与l2:Ax+By+C2=0之间的 距离d=　　　　　.  名师点睛 1.把直线方程化为直线的一般式方程; 2.两条直线方程中x,y的系数必须分别相等. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)一条直线被两条平行线所截,截得的线段的长为这两条平行线间的距离.(　　) (2)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离,也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.(　　) 2.[人教A版教材习题]两条平行直线3x-2y-1=0与3x-2y+1=0间的距离是　　　　　.  × √ 3.直线x-2y-1=0与直线x-2y-C=0的距离为2 ,则C的值为(　　) A.9 B.11或-9 C.-11 D.9或-11 B 重难探究·能力素养全提升 探究点一　点到直线的距离 【例1】 [北师大版教材例题]求点P(-2,1)到下列直线的距离: (1)3x+4y-1=0; (2)y=2x+3; (3)2x+5=0. (2)直线方程y=2x+3可化为一般式2x-y+3=0. 规律方法　1.应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式方程,若给出其他形式应化为一般式方程. (2)点P在直线l上时,点到直线的距离为0,公式仍然适用. (3)直线方程Ax+By+C=0,当A=0或B=0时公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解. 2.用待定系数法求直线方程时,首先考虑斜率不存在是否满足题意. 变式训练1已知A(-2,0),B(4,a)两点到直线l:3x-4y+1=0的距离相等,则a=(　　) D 解析 因为A(-2,0),B(4,a)两点到直线l:3x-4y+1=0的距离相等,所以有 探究点二　两条平行直线之间的距离 【例2】 (1)已知两平行直线l1:3x+5y+1=0和l2:6x+10y+5=0,则l1与l2间的距离为　　　　　.  (2)直线3x+y-3=0和直线6x+my-1=0平行,则它们之间的距离为　　　　.  (3)已知直线l与两直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0的距离相等,则直线l的方程为　　　　　.  2x-y+1=0 解析 设直线l的方程为2x-y+C=0. ∴直线l的方程为2x-y+1=0. 规律方法　求两条平行直线之间的距离,一般是直接利用两条平行直线之间的距离公式,当直线l1:y=kx+b1,l2:y=kx+b2,且b1≠b2时,d= ;当直线l1:Ax+By+C1=0(A2+B2≠0),l2:Ax+By+C2=0,且C1≠C2时,d= .但必须注意两直线方程中x,y的系数对应相等. 变式训练2(1)直线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离为(　　) A (2)已知直线l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当l1,l2间的距离最大时,直线l1的方程是　　　　　.  x+2y-3=0 成果验收·课堂达标检测 A 级 必备知识基础练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1.[探究点一]在平面直角坐标系中,原点(0,0)到直线x+y-2=0的距离等于 (　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.[探究点一]已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则a=(　　) D 解析 ∵A和B到直线l的距离相等, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.[探究点二]已知两平行直线x+2y+m=0与2x-ny-4=0之间的距离是 ,若m>0,则m+n=(　　) A.0 B.-1 C.1 D.-2 B ∴直线2x-ny-4=0⇒2x+4y-4=0⇒x+2y-2=0. m=3或m=-7(舍去), ∴m+n=3-4=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.[探究点一](多选题)已知直线l过点(3,4),点A(-2,2),B(4,-2)到l的距离相等,则直线l的方程可能是(　　) A.x-2y+2=0 B.2x-y-2=0 C.2x+3y-18=0 D.2x-3y+6=0 BC 解析 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=3,此时点A到直线l的距离为5,点B到直线l的距离为1,此时不成立; 当直线l的斜率k存在时,设直线l的方程为y-4=k(x-3),即kx-y+4-3k=0. ∵点A(-2,2),B(4,-2)到直线的距离相等, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当k=2时,直线l的方程为y-4=2(x-3),整理得2x-y-2=0. 综上,直线l的方程为2x+3y-18=0或2x-y-2=0.故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.[探究点一](多选题)与直线3x-4y+1=0垂直,且与点(-1,-1)距离为2的直线方程为(　　) A.4x+3y-3=0 B.4x+3y+17=0 C.4x-3y-3=0 D.4x-3y+17=0 AB 解析 设所求直线方程为4x+3y+C=0, 即|C-7|=10,解得C=-3或C=17, 故所求直线方程为4x+3y-3=0或4x+3y+17=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.[探究点二]直线4x-3y+5=0与直线8x-6y+5=0之间的距离为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.[探究点一]已知直线l:3x+4y-1=0,则过坐标原点且与l垂直的直线方程是　　　　　　　　,点(2,0)到l的距离是　　　　　　　　.  1 4x-3y=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.[探究点一]平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别为 A(-1,2),B(-3,4),C(0,6). (1)求BC边上的高所在的直线方程; (2)求△ABC的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.[探究点一]已知直线l在两坐标轴上的截距相等,且点P(4,3)到直线l的距离为3 ,求直线l的方程. 解 由题意知,若直线l过原点,可设直线l的方程为y=kx,由题意知 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 级 关键能力提升练 10.已知直线l:kx-y-3k+1=0,当k变化时,O(0,0)到直线l的最大距离为(　　) C 解析 直线l:kx-y-3k+1=0,即k(x-3)-y+1=0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.(多选题)若点P在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离是 ,则点P的坐标为(　　) A.(1,2) B.(2,1) C.(2,-1) D.(-1,2) AC 解析 设P点坐标为(a,5-3a), ∴P点坐标为(1,2)或(2,-1).故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.(多选题)已知点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ的距离为d,则d的可能取值是(　　) A.0 B.1 C. D.4 AB 解析 直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ,整理得(x+y-2)+λ(3x+2y-5)=0,所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.若直线m经过直线x-y-1=0与直线2x+y-2=0的交点,且点(2,2)到直线m的距离为1,则直线m的方程为　　　　　　　　　　.  3x-4y-3=0或x=1 此时直线m的方程为3x-4y-3=0; 当直线m的斜率不存在时,x=1,点(2,2)到直线m的距离等于1,满足条件. 综上,直线m的方程为3x-4y-3=0或x=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.已知直线方程为(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0,其中m∈R. (1)当m变化时,求点Q(3,4)到直线的距离的最大值; (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A,B两点,求△AOB面积的最小值及此时的直线方程. 解 (1)直线方程为(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0即为m(2y-x+3)+(2x+y+4)=0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A. B. C. D. 解析 由点到直线的距离公式可得. 解析 两平行线间的距离为d==2,解得C=-9或C=11. 解 (1)根据点到直线的距离公式,得d=. 即点P(-2,1)到直线3x+4y-1=0的距离为. 根据点到直线的距离公式,得d=. 即点P(-2,1)到直线y=2x+3的距离为. (3)直线方程2x+5=0可化为x=-,这条直线垂直于x轴,所以 d==. 即点P(-2,1)到直线2x+5=0的距离为. A.2 B. C.2或-8 D.2或 ⇒|13-4a|=5⇒a=2,或a=,故选D. 解析 l2:6x+10y+5=0可以化为3x+5y+=0, ∴l1与l2间的距离d=. 解析 由题意,得,∴m=2. 将直线3x+y-3=0化为6x+2y-6=0,由两平行线间的距离公式, 得. 由题意,得,解得C=1, A. B. C. D. 解析 直接利用平行线之间距离公式,d=. 解析 当两条平行直线与A,B两点的连线垂直时,两条平行直线间的距离最大.因为A(1,1),B(0,-1),所以kAB==2,所以两条平行直线的斜率为-,所以直线l1的方程为y-1=-(x-1),即x+2y-3=0. A.1 B. C. D.3 解析 原点(0,0)到直线x+y-2=0的距离为.故选B. A.-或- B.- C.- D.-或- ∴,化简得|3a+3|=|6a+4|,3a+3=±(6a+4),解得a=-或-.故选D. 解析 ∵两条直线平行,∴=-,解得n=-4, 又直线x+2y+m=0与直线x+2y-2=0之间的距离是,则,解得 ∴解得k=-或k=2. 当k=-时,直线l的方程为y-4=-(x-3),整理得2x+3y-18=0; 则=2, 解析 直线8x-6y+5=0化简为4x-3y+=0,则由两条平行直线之间的距离公式得. 解析 直线l:3x+4y-1=0的斜率为-,故与直线l垂直的直线的方程的斜率k=,故经过原点的直线的方程为y=x,整理得4x-3y=0. 点(2,0)到直线3x+4y-1=0的距离d==1. 解 (1)直线BC的斜率kBC=, 则BC边上高所在直线斜率k=-, 则BC边上的高所在的直线方程为y-2=-(x+1),即3x+2y-1=0. (2)BC的方程为y=x+6,即2x-3y+18=0. 点A到直线BC的距离d=,|BC|=, 则△ABC的面积S=|BC|d==5. =3,解得k=,直线l的方程为y=x或y=x; 若直线l不过原点,设所求直线l的方程为x+y-a=0(a≠0),由题意知=3,解得a=1或a=13,直线l的方程为x+y-1=0或x+y-13=0. 综上所述,所求直线l的方程为y=x, y=x,x+y-1=0或x+y-13=0. A.2 B. C. D.2 令解得即直线l恒过定点(3,1), 故当k变化时,O(0,0)到直线l的最大距离为.故选C. 由题意知,解得a=1或a=2, 解得即Q(1,1),故直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ表示过点Q(1,1)除直线3x+2y-5=0的所有直线. 因为P(-2,-1),所以|PQ|=,且kPQ=,则直线PQ与直线3x+2y-5=0垂直,所以点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ的距离的取值范围为{d|0≤d<},故d的可能取值为0,1. 故选AB. 解析 由得两直线的交点坐标为(1,0). 当直线m的斜率存在时,设直线m的方程为y=k(x-1),则=1,解得k=, 由可得 则已知直线恒过定点P(-1,-2),kPQ=,所以直线PQ不与直线2y-x+3=0垂直,可得Q(3,4)到直线的最大距离为|QP|==2. (2)设直线的斜率为k(k<0),则其方程为y+2=k(x+1),可得|OA|=, |OB|=|k-2|,则S△AOB=|OA||OB|==. 由k<0,可得-k>0,所以S△AOB=[-]=[4+(-)+(-k)]≥4,当且仅当-=-k,即k=-2时取等号,则△AOB的面积最小值是4,直线的方程为y+2=-2(x+1),即2x+y+4=0. $$