2.3.1 圆的标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

第二章　平面解析几何 2.3.1　圆的标准方程 人教B版 数学 选择性必修第一册 课程标准 1.会用定义推导圆的标准方程,掌握圆的标准方程的特点; 2.能准确判断点与圆的位置关系; 3.能用待定系数法求圆的标准方程; 4.能用圆的几何性质处理与圆心及半径有关的问题. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 圆的定义和标准方程 (1)圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的　　　　是圆,其中定点是　　　　,定长是圆的　　　　.  (2)圆的标准方程 两点间距离公式的应用 一般地,如果平面直角坐标系中☉C的圆心为C(a,b),半径为r(r>0),设M(x,y)为平面直角坐标系中任意一点,则点M在☉C上的充要条件是|CM|=r,即 =r,两边平方,得　　　　　　　,通常称为圆的标准方程. 集合 圆心 半径 (x-a)2+(y-b)2=r2 名师点睛 1.圆的标准方程中等式右边是r2,且r>0; 2.当圆心为原点时,圆的标准方程为x2+y2=r2. 过关自诊 1.圆(x-1)2+y2=3的圆心坐标和半径分别是(　　) A.(-1,0),3 B.(1,0),3 D 解析 根据圆的标准方程可得,圆(x-1)2+y2=3的圆心坐标为(1,0),半径为 .故选D. 2.[北师大版教材习题改编]圆心是(3,-4),半径是 的圆的标准方程是　　　　　　　　.  3.[北师大版教材习题改编]下列方程是圆的方程吗?若不是,请说明理由. (1)(x+1)2+(y-1)2=-5; (2)(x+1)2+(y-1)2=k. (x-3)2+(y+4)2=5 解 (1)不是圆的方程,因为-5<0. (2)不一定是圆的方程,因为k值未定. 当k>0时是圆的方程,当k≤0时不是圆的方程. 知识点2 点与圆的位置关系 点M(x0,y0)与☉C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断方法 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|=r (x0-a)2+(y0-b)2=r2 点M在圆外 |CM|>r (x0-a)2+(y0-b)2>r2 点M在圆内 |CM|<r (x0-a)2+(y0-b)2<r2 过关自诊 点P(1,3)与圆x2+y2=24的位置关系是(　　) A.点在圆外 B.点在圆内 C.点在圆上 D.不确定 B 重难探究·能力素养全提升 探究点一　求圆的标准方程 角度1.直接法求圆的方程 【例1】 (1)圆心在点C(2,1),半径为 的圆的标准方程为　　　　　　　　　　.  (2)圆心在点C(8,-3),且过点P(5,1)的圆的标准方程为　 .  (3)与y轴相切,且圆心坐标为(-5,-3)的圆的标准方程为　　　　　　　　.  (x-2)2+(y-1)2=3 (x-8)2+(y+3)2=25 (x+5)2+(y+3)2=25 规律方法　1.确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径,因此用直接法求圆的标准方程时,要首先求出圆心坐标和半径,然后直接写出圆的标准方程. 2.确定圆心和半径时,常用到中点坐标公式、两点间距离公式,有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等. 变式训练1以两点A(-3,-1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是(　　) A.(x+1)2+(y+2)2=100 B.(x-1)2+(y-2)2=100 C.(x+1)2+(y+2)2=25 D.(x-1)2+(y-2)2=25 D 解析 ∵线段AB为直径, ∴AB的中点(1,2)为圆心, ∴该圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=25. 角度2.待定系数法求圆的方程 【例2】 [北师大版教材例题]求经过A(1,3),B(4,2)两点,且圆心C在直线l:x+y-3=0上的圆的标准方程. 解 (方法一)设该圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. ①-②,得(1-a)2+(3-b)2=(4-a)2+(2-b)2,④ 化简、整理,得3a-b-5=0.⑤ 故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=5(如图(1)). (1) (方法二)如图(2),连接AB,作AB的垂直平分线交AB于点D,则圆心C是线段AB的垂直平分线与直线l的交点,线段AB的垂直平分线的方程为3x-y-5=0. 又该圆经过点A,则r2=(1-2)2+(3-1)2=5,故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. (2) 规律方法　1.待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 2.几何法即是先利用平面几何知识,求出圆心和半径,再写出圆的标准方程. 3.有时待定系数法和几何法交叉使用,体现数形结合的数学思想. 变式训练2[人教A版教材例题]△ABC的三个顶点分别是A(5,1),B(7,-3), C(2,-8),求△ABC的外接圆的标准方程. 解 设所求圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.① 因为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)三点都在圆上,所以它们的坐标都满足方程①, 观察上面的式子,我们发现,三式两两相减,可以消去a2,b2,r2,得到关于a,b的 r2=25. 所以△ABC的外接圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25. 探究点二　点与圆的位置关系 【例3】 (1)已知a,b是方程x2-x- =0的两个不相等的实数根,则点P(a,b)与圆C:x2+y2=8的位置关系是(　　) A.点P在圆C内 B.点P在圆C外 C.点P在圆C上 D.无法确定 A (2)已知点P(2,1)和圆C:（x+ ）2+(y-1)2=1,若点P在圆C上,则实数a=　　　　　.若点P在圆C外,则实数a的取值范围为　　　 　　.  -2或-6 (-∞,-6)∪(-2,+∞) 规律方法　判断点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系的方法 变式训练3若原点在圆(x-3)2+(y+4)2=m的外部,则实数m的取值范围是 (　　) A.{m|m>25} B.{m|m>5} C.{m|0<m<25} D.{m|0<m<5} C 解析 根据题意,圆(x-3)2+(y+4)2=m的圆心为(3,-4),半径为 ,必有m>0,若原点在圆(x-3)2+(y+4)2=m的外部,则有(0-3)2+(0+4)2>m,则有m<25,综上可得0<m<25.故选C. 成果验收·课堂达标检测 A 级 必备知识基础练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1.[探究点一(角度1)]圆心为(-3,4),半径是2的圆的标准方程为(　　) A.(x+3)2+(y-4)2=4 B.(x-3)2+(y+4)2=4 C.(x+3)2+(y-4)2=2 D.(x-3)2+(y+4)2=2 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.[探究点一]方程y= 表示的曲线是(　　) A.一条射线 B.一个圆 C.两条射线 D.半个圆 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.[探究点一(角度2)]已知一圆的圆心为点A(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上,则圆的标准方程为(　　) A.(x+2)2+(y-3)2=13 B.(x-2)2+(y+3)2=13 C.(x-2)2+(y+3)2=52 D.(x+2)2+(y-3)2=52 B 解析 由题意可知原点在圆上,圆的半径为r= . 故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.[探究点二](多选题)点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值不可能是(　　) AD 解析 由已知条件可得(1-a)2+(1+a)2<4,即2a2+2<4,解得-1<a<1.故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.[探究点一(角度2)]过原点,圆心在x轴的负半轴上,且半径为2的圆的标准方程是　　　　　　　　　.  (x+2)2+y2=4 解析 设圆心为(a,0)(a<0), 则|a|=2,即a=-2,∴圆的标准方程为(x+2)2+y2=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.[探究点一(角度1)]将圆x2+y2=2沿x轴正方向平移2个单位后得到圆C,则圆C的标准方程为　　　 　　.  (x-2)2+y2=2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.[探究点一(角度1)]圆心为直线x-y+2=0与直线2x+y-8=0的交点,且过原点的圆的标准方程是　　　　　　　　　　.  (x-2)2+(y-4)2=20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 大时,圆心坐标和半径分别为　　　　　、　　　　　.  (0,-1) 1 此时k=0. 圆心坐标为(0,-1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.[探究点一(角度2)]已知点A(-1,2)和B(3,4).求: (1)线段AB的垂直平分线l的方程; (2)以线段AB为直径的圆的标准方程. 解 由题意得线段AB的中点C的坐标为(1,3). (1)∵A(-1,2),B(3,4), ∴直线l的方程为y-3=-2(x-1),即2x+y-5=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又圆心为C(1,3),∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 B 级 关键能力提升练 10.圆C:x2+y2=4关于直线l:x+y-1=0对称的圆的方程为(　　) A.(x-1)2+(y-1)2=4 B.(x+1)2+(y+1)2=4 C.(x-2)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y+2)2=4 A 解析 由题设,圆C的圆心为(0,0),半径为2,则对称圆的半径为2,若对称圆的 所以对称圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.已知圆(x+1)2+(y+2)2=4关于直线ax+by+1=0(a>0,b>0)对称,则 的最小值为(　　) A. B.9 C.4 D.8 B 解析 圆(x+1)2+(y+2)2=4的圆心为(-1,-2),依题意,点(-1,-2)在直线ax+by+1=0上, ∴-a-2b+1=0,即a+2b=1(a>0,b>0), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.(多选题)已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成两段,弧长比为1∶2,则圆C的方程可能为(　　) AB 解析 根据题意,可设圆心为C(0,a),半径为r. 根据圆被x轴分成两段弧长之比为1∶2,可得圆被x轴截得的弧所对的圆心 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 AB 解析 由题意设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=b2,则有 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.已知圆心C在直线x+2y-1=0上,且该圆经过(3,0)和(1,-2)两点,则圆C的标准方程为　　　 　　.  (x-1)2+y2=4 解析 设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 因为圆心C在直线x+2y-1=0上,且该圆经过(3,0)和(1,-2)两点, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.已知圆C与y轴相切,圆心在直线x-2y=0上,且圆C被直线y=x截得的弦长为2 ,求圆C的方程. 当y0=2时,圆心C(4,2),半径r=4,此时圆C为(x-4)2+(y-2)2=16, 当y0=-2时,圆心C(-4,-2),半径r=4,此时圆C为(x+4)2+(y+2)2=16. C.(-1,0), D.(1,0), |AB|==5为半径, 由圆经过A,B两点且圆心C在直线l上,可得方程组 联立③⑤,解得代入①,得r2=5. 联立线段AB的垂直平分线方程和直线l的方程得方程组解得即圆心C的坐标为(2,1). 于是 即 二元一次方程组解此方程组,得代入(5-a)2+(1-b)2=r2,得 A.-2 B.- C. D.2 解析 由可得即圆心为(2,4). 又圆过原点,所以圆的半径r==2,故圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=20. 8.[探究点一(角度1)]若圆的方程为+(y+1)2=1-k2,则当圆的面积最 解析 ∵圆的方程为+(y+1)2=1-k2,∴r2=1-k2>0,rmax=1, ∴直线AB的斜率kAB=. ∵直线l垂直于直线AB, ∴直线l的斜率kl=-=-2, (2)∵A(-1,2),B(3,4), ∴|AB|==2, ∴以线段AB为直径的圆的半径R=|AB|=. 圆心为(m,n),则()在x+y-1=0上,即m+n-2=0. 由对称性,知圆心连线与直线l垂直,则·(-1)=-1,即m=n,所以m=n=1, ∴=()(a+2b)=5+≥5+2=9,当且仅当,即a=b=时取等号, ∴的最小值为9.故选B. A.x2+(y+)2= B.x2+(y-)2= C.(x-)2+y2= D.(x+)2+y2= 角为,所以tan=,解得a=±,所以半径r=, 所以圆的方程为x2+(y±)2=.故选AB. 13.(多选题)已知圆C和直线x-y=0及x轴都相切,且过点(3,0),则该圆的方程是(　　) A.(x-3)2+(y-)2=3 B.(x-3)2+(y+3)2=27 C.(x+3)2+(y-)2=3 D.(x-3)2+(y-3)2=27 解得 所以该圆的方程为(x-3)2+(y-)2=3或(x-3)2+(y+3)2=27.故选AB. 所以解得 所以圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4. 解 设圆心C(2y0,y0),半径r=|2y0|,圆心到直线x-y=0的距离为,由半径、弦心距、半弦长的关系得4=14+,∴y0=±2. $$